지은이: A. 아인슈타인
*역주: 이 논문은 아인슈타인이 1916년 6월 22일 프로이센 과학아카데미 물리·수학분과 회의에서 발표한 “Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation”(중력장 방정식의 근사적 적분, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1916, 688–696쪽)으로, 1918년 후속 논문과 함께 아인슈타인이 중력파의 존재를 처음으로 예측하고 그 에너지 방출을 정량적으로 계산한 역사적 논문이다. 저본은 원 학술지 회보의 공개 스캔본(1916년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인)이며, 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다.
이 논문에서 아인슈타인은 특수상대성이론에서와 같은 이유로 허수 시간변수 \(x_4 = it\)를 사용하며(따라서 계량은 부호수 \((+,+,+,+)\)로 나타나고, \(\delta_{\mu\nu}\)는 크로네커 델타이다), 약한장 근사 \(g_{\mu\nu} = -\delta_{\mu\nu} + \gamma_{\mu\nu}\)를 도입한다. 이 번역에서는 원문의 허수 시간좌표 표기와 \(\gamma_{\mu\nu}\) 표기를 그대로 보존하였다 — 이는 현대의 실수 시간좌표·로렌츠 부호수 표기와는 다르지만, 원 논문의 계산 구조를 있는 그대로 보여 주는 것이 이 프로젝트의 사료적 목적에 맞는다고 판단했기 때문이다. 크리스토펠 기호는 원문처럼 옛 브레이스 표기 \(\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\}\)로 남겨 두었다(이는 리치 텐서·리만 텐서의 축약에 쓰이는 표준 기호이며, 이 논문의 §1에서 \(R_{\mu\nu}\)·\(S_{\mu\nu}\)를 정의하는 데 쓰인다). 그 밖의 물리 용어는 이 프로젝트의 앞선 번역들과 일관되게 사용하였다. 수식 번호 (1)–(23b)는 원문의 것을 그대로 보존하였다. 논문 말미의 “추록(追錄, Nachtrag)”은 원문에 실제로 딸려 있는 저자 자신의 정정으로, 본문에서 도입한 세 가지 파동형(a, b, c형) 가운데 에너지를 나르지 않는 것으로 계산된 유형들이 사실은 “참된” 파동이 아니라 좌표계 선택에서 비롯한 “겉보기” 파동에 지나지 않음을 보인다.*
대개 중력이론 분야의 특수한(원리적이지 않은) 문제들을 다룰 때는, \(g_{\mu\nu}\)를 1차 근사로 계산하는 것으로 만족할 수 있다. 이때 특수상대성이론에서와 같은 이유로, 허수 시간변수 \(x_4 = it\)를 쓰는 것이 유리하다. 여기서 “1차 근사”란 다음 식으로 정의되는 양 \(\gamma_{\mu\nu}\)가
\[g_{\mu\nu} = -\delta_{\mu\nu} + \gamma_{\mu\nu} \tag{1}\]
선형 직교변환에 대해 텐서적 성격을 갖는 것으로 다룰 수 있을 만큼 작아서, 그 제곱과 곱을 1차 항에 비해 무시할 수 있다는 뜻이다. 이때 \(\delta_{\mu\nu}\)는 \(\mu=\nu\)이면 1, \(\mu\neq\nu\)이면 0이다.
우리는, 이렇게 계산된 \(\gamma_{\mu\nu}\)가 전기역학의 지연퍼텐셜과 유사한 방식으로 계산될 수 있음을 보이고자 한다. 이로부터 먼저, 중력장이 빛의 속도로 전파된다는 것이 따라 나온다. 이 결과에 이어, 우리는 중력파와 그 발생 방식을 일반적으로 살펴보고자 한다. 밝혀지겠지만, 이 계산에서 내가 앞서 제안한, 조건 \(g = |g_{\mu\nu}| = -1\)에 따르는 기준계 선택은, 1차 근사에서 장을 계산하는 데는 유리하지 않다. 이는 천문학자 드 지터(de Sitter)의 편지를 통해 알게 되었는데, 그는 정지한 질점의 중력장에 관해, 내가 앞서 제시했던 것과는 다른, 더 간단한 표현식에 이르는 다른 기준계 선택이 있음을 발견하였다.\(^{1)}\) 그러므로 나는 이하에서 일반적으로 공변인 장방정식에 근거를 두기로 한다.
| 각주 1) Sitzungsber. XLVII, 1915, S. 833. |
장방정식은 그 공변형으로 다음과 같이 쓰인다.
\[ R_{\mu\nu} + S_{\mu\nu} = -\varkappa\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) \] \[ R_{\mu\nu} = -\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left\{^{\mu\alpha}_{\ \ \alpha}\right\} + \sum_{\alpha\beta}\left\{^{\mu\alpha}_{\ \ \beta}\right\}\left\{^{\nu\beta}_{\ \ \alpha}\right\} \] \[ S_{\mu\nu} = \frac{\partial\log\sqrt{g}}{\partial x_\mu\,\partial x_\nu} - \sum_\alpha\left\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\right\}\frac{\partial\log\sqrt{g}}{\partial x_\alpha} \tag{1} \]
여기서 굽은 괄호는 잘 알려진 크리스토펠 기호를, \(T_{\mu\nu}\)는 물질의 공변 에너지텐서를, \(T\)는 그에 딸린 스칼라를 뜻한다. 이 방정식들은, 우리가 관심을 두는 근사에서 전개하면, 곧바로 다음 방정식으로 이어진다.
\[ \sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu\,\partial x_\alpha} + \sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu\,\partial x_\alpha} - \sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha^2} - \frac{\partial^2}{\partial x_\mu\,\partial x_\nu}\left(\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha}\right) = -2\varkappa\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha T_{\alpha\alpha}\right) \tag{2} \]
좌변 마지막 항은, 내가 선호하는 좌표계 선택에서는 사라지는 양 \(S_{\mu\nu}\)에서 비롯한 것이다. 방정식 (2)는 다음의 시도로써 풀 수 있다.
\[\gamma_{\mu\nu} = \gamma_{\mu\nu}' + \psi\,\delta_{\mu\nu} \tag{3}\]
여기서 \(\gamma_{\mu\nu}'\)은 부가조건
\[\sum_\alpha \frac{\partial\gamma_{\mu\alpha}'}{\partial x_\alpha} = 0 \tag{4}\]
을 만족한다. (3)식을 (2)식에 대입하면, 좌변 대신
\[ -\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\alpha^2} - \frac{\partial^2}{\partial x_\mu\,\partial x_\nu}\left(\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha}'\right) + 2\frac{\partial^2\psi}{\partial x_\mu\,\partial x_\nu} - \delta_{\mu\nu}\sum_\alpha\frac{\partial^2\psi}{\partial x_\alpha^2} - \frac{\partial^2\psi}{\partial x_\mu\,\partial x_\nu} \]
를 얻는다. 둘째, 셋째, 다섯째 항의 기여는 사라지는데, 이는
\[\sum_\alpha \gamma_{\alpha\alpha}' + 2\psi = 0 \tag{5}\]
으로 택할 때 그러하며, 우리는 이렇게 정하기로 한다. 이를 고려하면 (2)식 대신 다음을 얻는다.
\[ \sum_\alpha\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha^2}\left(\gamma_{\mu\nu}' - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_\rho\gamma_{\rho\rho}'\right) = 2\varkappa\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha T_{\alpha\alpha}\right) \]
또는
\[\sum_\alpha \frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\alpha^2} = 2\varkappa\,T_{\mu\nu} \tag{6}\]
여기서 유의할 것은, 식 (6)이 식 (4)와 부합한다는 점이다. 왜냐하면 우리가 목표로 삼는 정밀도에서는, 물질에 대한 운동량-에너지 법칙이 다음 식으로 표현됨을 먼저 쉽게 보일 수 있기 때문이다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial T_{\mu\alpha}}{\partial x_\alpha} = 0 \tag{7}\]
(6)식에 연산 \(\displaystyle\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\)를 시행하면, (4)식에 의해 좌변만이 아니라 (7)식에 의해 우변도 사라짐을 알 수 있다. 우리가 유의해 둘 것은, (3)식과 (5)식으로부터 다음 두 방정식이 성립한다는 점이다.
\[\gamma_{\mu\nu} = \gamma_{\mu\nu}' - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha}' \tag{8}\] \[\gamma_{\mu\nu}' = \gamma_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha} \tag{8a}\]
\(\gamma_{\mu\nu}'\)은 지연퍼텐셜의 방식으로 계산할 수 있으므로, 이로써 우리가 해결하고자 한 과제는 풀린 셈이다. 곧
\[\gamma_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi}\int \frac{T_{\mu\nu}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t-r)}{r}\,dV_0 \tag{9}\]
여기서 \(x,\,y,\,z,\,t\)는 실수 좌표를 나타내며, 첨자 없는 것은 (관측)점의 좌표를, 첨자 “0”이 붙은 것은 적분 요소의 좌표를 나타낸다. \(dV_0\)는 적분 영역인 공간 부분의 3차원 부피요소이며, \(r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\)는 그 공간적 거리이다.
이하에서는 나아가 중력장의 에너지 성분이 필요하다. 우리는 이를, 식 (6)에 \(\dfrac{\partial\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\rho}\)를 곱하고 \(\mu\)와 \(\nu\)에 대해 더한 뒤, 익숙한 방식으로 변형하여, 가장 간단하게 직접 얻는다.
\[ \frac{\partial}{\partial x_\rho}\left[\sum_{\mu\nu}\frac{\partial\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\rho}\frac{\partial\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\mu} - \frac{1}{2}\delta_{\rho\sigma}\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\sigma}\right)^2\right] \]
이 대괄호로 묶인 양은, 비례상수를 제외하면, 명백히 에너지 성분 \(t_{\rho\sigma}\)를 나타낸다. 그 비례상수는 우변을 계산하면 쉽게 정해진다. 무시하지 않고 쓰면, 물질의 운동량-에너지 법칙은
\[ \sum_\rho \frac{\partial\sqrt{-g}\,T_\nu^\rho}{\partial x_\rho} + \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_\nu}\sqrt{-g}\,T_{\rho\sigma} = 0 \]
이다. 우리가 원하는 근사 차수에서는 이를
\[\sum_\rho \frac{\partial T_{\mu\rho}}{\partial x_\rho} + \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}\frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x_\mu}T_{\rho\sigma} = 0 \tag{7a}\]
로 두어도 좋다. 이는 (7)식보다 한 차수 더 정밀한 정식화이다. 이로부터, 앞서 다룬 변형에서 (6)식의 우변이 결과적으로
\[-4\varkappa\sum_\rho \frac{\partial T_{\mu\rho}}{\partial x_\rho}\]
를 준다는 것이 따라 나온다. 그러므로 보존법칙은 다음과 같이 된다.
\[\sum_\rho \frac{\partial(T_{\mu\rho} + t_{\mu\rho})}{\partial x_\rho} = 0 \tag{10}\]
여기서
\[t_{\mu\nu} = \frac{1}{4\varkappa}\left[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\mu}\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\nu} - \frac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\rho}\right)^2\right] \tag{11}\]
는 중력장의 에너지 성분이다.
가장 간단한 응용 사례로, 좌표 원점에 정지해 있는 질량 \(M\)을 가진 질점의 중력장을 계산해 보자. 힘의 효과를 무시하면, 물질의 에너지텐서는
\[T_{\mu\nu} = \varrho\,\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} \tag{12}\]
로 주어지며, 이는 1차 근사에서 에너지의 공변텐서를 반변텐서로 대체할 수 있음을 고려한 것이다. 스칼라 \(\varrho\)는 (자연스럽게 잰) 질량밀도이다. (9)식과 (12)식으로부터, \(\gamma_{44}'\)을 제외한 모든 \(\gamma_{\mu\nu}'\)이 사라지며, 이 마지막 성분에 대해서는
\[\gamma_{44}' = -\frac{\varkappa}{2\pi}\frac{M}{r} \tag{13}\]
이 나옴을 알 수 있다.
이로부터 (8)식과 (1)식을 이용해 \(g_{\mu\nu}\)에 대해 다음 값들을 얻는다.
\[ \begin{aligned} &{-1-\dfrac{\varkappa}{4\pi}\dfrac{M}{r}} && 0 && 0 && 0 \\ &0 && {-1-\dfrac{\varkappa}{4\pi}\dfrac{M}{r}} && 0 && 0 \\ &0 && 0 && {-1-\dfrac{\varkappa}{4\pi}\dfrac{M}{r}} && 0 \\ &0 && 0 && 0 && {1-\dfrac{\varkappa}{4\pi}\dfrac{M}{r}} \end{aligned} \tag{14} \]
이 값들은, 기준계 선택으로 인해서만 내가 앞서 제시했던 값들과 다르다. 이는 드 지터 선생이 편지로 알려 준 것으로, 이로부터 나는 위에 제시한 간단한 근사해에 이르게 되었다. 다만 유의해 둘 것은, 여기서 쓴 좌표 선택이 일반적인 경우에 대해서는, 앞서 쓴 것과 대등한 지위를 갖는 것으로는 남지 않는다는 점이다. 왜냐하면 \(\gamma_{\mu\nu}\)와 \(\gamma_{\mu\nu}'\)은, 임의의 치환이 아니라 오직 선형·직교 치환에 대해서만 텐서적 성격을 갖기 때문이다.
방정식 (6)과 (9)로부터, 중력장은 언제나 속도 1, 곧 빛의 속도로 전파됨이 따라 나온다. 양의 \(x\)축 방향으로 진행하는 평면 중력파는, 그러므로 다음 시도로 구할 수 있다.
\[\gamma_{\mu\nu}' = a_{\mu\nu}\,f(x_1+ix_4) = a_{\mu\nu}\,f(x-t) \tag{15}\]
여기서 \(a_{\mu\nu}\)는 상수이고, \(f\)는 인수 \(x-t\)의 함수이다. 고찰하는 공간에 물질이 없다고, 곧 \(T_{\mu\nu}=0\)이라고 하자. 그러면 \(T_{\mu\nu}\)가 사라지므로 방정식 (6)은 이 시도로써 만족된다. 방정식 (4)는 \(a_{\mu\nu}\) 사이에 다음 관계를 준다.
\[ a_{11}+ia_{14} = 0,\qquad a_{21}+ia_{24}=0,\qquad a_{31}+ia_{34}=0,\qquad a_{41}+ia_{44}=0 \tag{16} \]
10개의 상수 \(a_{\mu\nu}\) 가운데 따라서 6개가 자유로이 선택될 수 있다. 우리는 이렇게 고찰하는 종류의 가장 일반적인 파동을, 다음 여섯 가지 유형을 중첩(重疊)함으로써 구성할 수 있다.
\[ \begin{aligned} &\text{a)}\quad a_{11}+ia_{14}=0,\quad a_{14}+ia_{44}=0 \\ &\text{b)}\quad a_{12}+ia_{24}=0 \\ &\text{c)}\quad a_{13}+ia_{34}=0 \\ &\text{d)}\quad a_{23}\neq0 \\ &\text{e)}\quad a_{22}\neq0 \\ &\text{f)}\quad a_{33}\neq0 \end{aligned} \tag{17} \]
이 표는, 각 유형에서 그 조건에 명시적으로 나오지 않은 \(a_{\mu\nu}\)는 모두 사라짐을 뜻하는 것으로 읽어야 한다. 곧 유형 a에서는 \(a_{11},\,a_{14},\,a_{44}\)만이 0이 아니며, 이하도 마찬가지이다. 대칭성으로 보면, 유형 a는 종파(縱波)에, 유형 b와 c는 횡파(橫波)에 대응하는 반면, 유형 d, e, f는 새로운 종류의 대칭 성격을 갖는다. 유형 b와 c는 오직 \(y\)축과 \(z\)축에 대한 방향만 서로 다를 뿐 본질적으로는 다르지 않으며, 유형 d, e, f도 마찬가지이다. 그러므로 본질적으로 서로 다른 파동 유형은 실제로는 세 가지만 존재한다.
우리가 무엇보다 관심을 갖는 것은, 이 파동들이 나르는 에너지이며, 이는 에너지흐름 \(\displaystyle\mathfrak{f} = \frac{1}{i}t_{41}\)로 잰다. 각 유형에 대해 (11)식으로부터 다음을 얻는다.
\[ \begin{aligned} \text{a)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}(a_{11}^2+a_{14}^2+a_{41}^2+a_{44}^2) = 0 \\ \text{b)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}(a_{12}^2+a_{24}^2) = 0 \\ \text{c)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}(a_{13}^2+a_{34}^2) = 0 \\ \text{d)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}a_{23}^2 = \frac{1}{4\varkappa}\left(\frac{\partial\gamma_{23}'}{\partial t}\right)^2 \\ \text{e)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}a_{22}^2 = \frac{1}{4\varkappa}\left(\frac{\partial\gamma_{22}'}{\partial t}\right)^2 \\ \text{f)}\quad &\frac{1}{i}t_{11} = \frac{f'^2}{4\varkappa}a_{33}^2 = \frac{1}{4\varkappa}\left(\frac{\partial\gamma_{33}'}{\partial t}\right)^2 \end{aligned} \]
곧 결과적으로, 마지막 유형(d, e, f)의 파동만이 에너지를 나르며, 임의의 평면파가 나르는 에너지흐름은 다음과 같이 주어진다.
\[ \mathfrak{f}_x = \frac{1}{i}t_{11} = \frac{1}{4\varkappa}\left[\left(\frac{\partial\gamma_{23}'}{\partial t}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial\gamma_{22}'}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial\gamma_{33}'}{\partial t}\right)^2\right] \tag{18} \]
방출을 조사하려는 계는, 좌표 원점 주변에 계속 자리잡고 있다고 하자. 우리는 계가 만들어 내는 중력장을, 좌표 원점으로부터의 거리 \(R\)이 계의 크기에 비해 큰 관측점에 대해서만 다루기로 한다. 관측점을 양의 \(x\)축 위에 두기로, 곧
\[x_1 = R,\qquad x_2 = x_3 = 0\]
이라 하자.
그러면 문제는, 관측점에서 양의 \(x\)축 방향으로 진행하는 파동 형태의 복사가 존재하는지이며, 이 파동은 §2의 논의에 따르면 오직 성분 \(\gamma_{22}',\,\gamma_{23}',\,\gamma_{33}'\)만을 통해 관측점에 전달될 수 있다. 우리가 계산해야 할 것은 오직 이것들뿐이다. (9)식으로부터
\[\gamma_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi}\int \frac{T_{\mu\nu}(x_0,\,y_0,\,z_0,\,t-r)}{r}\,dV_0\]
이다. 계의 크기가 그리 크지 않고, 그 에너지 성분이 그다지 급격히 변하지 않는다면, 적분에서 인수 \(t-r\)을 오차 없이 상수 \(t-R\)로 대체할 수 있다. 그리고 \(\dfrac{1}{r}\)을 대부분의 경우 충분한 근사식으로 \(\dfrac{1}{R}\)로 대체하면, 다음의 근사방정식을 얻는다.
\[\gamma_{22}' = -\frac{\varkappa}{2\pi R}\int T_{22}\,dV_0 \tag{19}\]
여기서 적분은 통상적인 방식으로, 곧 시간을 상수로 잡고 시행한다. 이 식은, 물질계에 대한 계산에 더 편리한 형태로 바꾸어 쓸 수 있다.
\[ \frac{\partial T_{21}}{\partial x_1} + \frac{\partial T_{22}}{\partial x_2} + \frac{\partial T_{23}}{\partial x_3} + \frac{\partial T_{24}}{\partial x_4} = 0 \]
으로부터, \(x_2\)를 곱하고 계 전체에 대해 적분하고서, 둘째 항을 부분적분함으로써
\[-\int T_{22}\,dV + \frac{\partial}{\partial x_4}\left(\int T_{24}\,x_2\,dV\right) = 0 \tag{20}\]
을 얻는다. 나아가
\[ \frac{\partial T_{41}}{\partial x_1} + \frac{\partial T_{42}}{\partial x_2} + \frac{\partial T_{43}}{\partial x_3} + \frac{\partial T_{44}}{\partial x_4} = 0 \]
으로부터, \(\dfrac{x_2^2}{2}\)를 곱하는 비슷한 방식으로
\[-\int T_{24}\,x_2\,dV + \frac{\partial}{\partial x_4}\left(\int T_{44}\,\frac{x_2^2}{2}\,dV\right) = 0 \tag{21}\]
이 따라 나온다. (20)식과 (21)식으로부터
\[\int T_{22}\,dV = \frac{\partial^2}{\partial x_4^2}\left(\int T_{44}\,\frac{x_2^2}{2}\,dV\right)\]
가 따라 나오며, 실수 좌표를 도입하고, 근사에서는 임의로 운동하는 물질의 밀도 \((-T_{44})\)에 대해서도 이를 그대로 두는 것을 허용하면
\[\int T_{22}\,dV = \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\int\varrho\,y^2\,dV\right) \tag{22}\]
를 얻는다. 그러므로
\[\gamma_{22}' = -\frac{\varkappa}{4\pi R}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\int\varrho\,y^2\,dV\right) \tag{23}\]
도 얻는다. 이와 마찬가지 방식으로
\[\gamma_{33}' = -\frac{\varkappa}{4\pi R}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\int\varrho\,z^2\,dV\right) \tag{23a}\] \[\gamma_{23}' = -\frac{\varkappa}{4\pi R}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\int\varrho\,yz\,dV\right) \tag{23b}\]
를 계산한다. (23), (23a), (23b)식에 나오는 적분은, 시간에 따라 변하는 관성모멘트에 다름 아니며, 이하에서는 줄여서 \(J_{22},\,J_{33},\,J_{23}\)이라 부르기로 한다. 이로써 (18)식에 의해, 복사의 세기 \(\mathfrak{f}\)는 다음과 같이 나온다.
\[ \mathfrak{f} = \frac{\varkappa}{64\pi^2R^2}\left[\left(\frac{\partial^3J_{33}}{\partial t^3}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial^3J_{23}}{\partial t^3}\right)^2 + \left(\frac{\partial^3J_{22}}{\partial t^3}\right)^2\right] \tag{20} \]
이로부터 나아가, 모든 방향에 대해 평균한 에너지복사는 다음으로 주어짐을 알 수 있다.
\[\frac{\varkappa}{64\pi^2R^2}\cdot\frac{2}{3}\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial^3J_{\alpha\beta}}{\partial t^3}\right)^2\]
여기서 합은 지표 1–3의 아홉 가지 조합 전체에 대해 이루어진다. 왜냐하면 이 표현은 한편으로는 (3차원) 좌표계의 공간적 회전에 대해 불변인데, 이는 \(J_{\alpha\beta}\)의 (3차원) 텐서적 성격으로부터 쉽게 따라 나오는 사실이며, 다른 한편으로는 구대칭인 경우(\(J_{11}=J_{22}=J_{33}\), \(J_{23}=J_{31}=J_{12}=0\))에 대해서는 (20)식과 일치하기 때문이다. 이로부터, 계가 단위시간당 방출하는 복사량 \(A\)를, \(4\pi R^2\)을 곱함으로써 얻는다.
\[A = \frac{\varkappa}{24\pi}\sum_{\alpha\beta}\left(\frac{\partial^3J_{\alpha\beta}}{\partial t^3}\right)^2 \tag{21}\]
시간을 초 단위로, 에너지를 에르그 단위로 재고자 한다면, 이 식에 곱셈인수 \(\dfrac{1}{c^5}\)을 덧붙여야 한다. 또한 \(\varkappa = 1.87\times10^{-27}\)임을 고려하면, \(A\)는 생각할 수 있는 모든 경우에 사실상 소멸하는 값을 가질 수밖에 없음을 알 수 있다.
원자들도 원자 내부의 전자 운동으로 인해, 전자기적으로만이 아니라 중력적으로도 — 다만 아주 작은 양이나마 — 복사를 방출해야 할 것이다. 이는 실제 자연에서는 성립하지 않을 것으로 보이므로, 양자론이 맥스웰 전기역학뿐 아니라 새로운 중력이론까지도 변형시켜야 할 것으로 여겨진다.
중력파 가운데 에너지를 나르지 않는 것으로 나온 유형(a, b, c형)이 존재해야 한다는 이 기이한 결과는, 다음과 같이 쉽게 밝혀진다. 곧 이는 “참된” 파동이 아니라 “겉보기” 파동에 지나지 않으며, 이는 파동꼴로 진동하는 기준계를 사용한 데서 비롯한다는 것이다. 이는 다음과 같이 편리하게 밝힐 수 있다.
앞서와 마찬가지로 좌표계를, \(\sqrt{g}=1\)이 되도록 미리 택하고, 물질이 없을 때는 (2)식 대신 장방정식으로
\[\sum_\alpha \frac{\partial^2\gamma_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu\,\partial x_\alpha} + \sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu\,\partial x_\alpha} - \sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha^2} = 0\]
을 취하기로 하자. 이 방정식에 직접 다음 시도를 대입하면
\[\gamma_{\mu\nu} = a_{\mu\nu}\,f(x_1+ix_4)\]
상수 \(a_{\mu\nu}\) 사이에 10개의 방정식이 나오는데, 이로부터 오직 \(a_{44},\,a_{33},\,a_{23}\)만이 0이 아닐 수 있음이 드러난다(다만 \(a_{22}+a_{33}=0\)이라는 조건이 붙는다). 그러므로 이러한 기준계 선택에서는, 오로지 에너지를 나르는 저 파동 유형(d, e, f형)만이 존재한다. 나머지 파동 유형들은 이 좌표계 선택으로써 없애 버릴 수 있으며, 이는 이 논의에서 말한 뜻에서 “참된” 파동이 아니다.
이 연구에서 애초에는 기준계의 선택에 아무런 제약도 두지 않는 것이 편리해 보였으나, 1차 근사를 계산하는 문제에 관한 한, 우리의 마지막 결과는 오히려 \(\sqrt{-g}=1\)이라는 조건에 따른 좌표계 선택이 깊은 물리적 정당성을 지님을 보여 준다.
(1916년 6월 29일 발행.)