지은이: A. 아인슈타인
*역주: 이 논문은 아인슈타인이 1915년 11월 18일 프로이센 과학아카데미 회의에서 발표한 “Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie”(일반상대성이론에 의한 수성 근일점 운동의 설명, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1915, 831–839쪽)으로, 그해 11월에 발표한 네 편의 보고 가운데 셋째 것이다. 이 논문은 르베리에(Le Verrier)가 19세기에 발견했으나 뉴턴 역학으로는 설명할 수 없었던 수성의 근일점 세차운동 — 100년에 약 43각초 — 을 아무런 추가 가정 없이 일반상대성이론의 중력장 방정식만으로 정량적으로 도출해 낸, 상대성이론의 첫 관측적 검증이다. 저본은 원 학술지 회보의 공개 스캔본(1915년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인)이며, 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다.
이 논문에서 아인슈타인은 이미 이 시점부터 크리스토펠 기호를 \(\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\)로 표기하고 있으며(옛 브레이스 표기 \(\{^{\mu\nu}_{\ \alpha}\}\)와의 관계는 (2)식에서 명시된다), 이는 앞서 번역한 「중력장 방정식」(1915년 11월 25일)과 같은 표기이다. 이 번역에서도 이를 그대로 따랐다. “질점”·“에너지텐서”·“장방정식” 등의 용어는 이 프로젝트의 앞선 번역들과 일관되게 사용하였다. 수식 번호 (1)–(14)는 원문의 것을 그대로 보존하였다.*
나의 최근 두 편의 보고서로부터, 진공 속의 중력장이 행렬식 1을 갖는 임의의 변환에 대해 적절히 선택된 기준계에서 다음 방정식들을 만족해야 함이 드러난 바 있다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial\Gamma^\alpha_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha} + \sum_{\alpha\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha} = 0 \tag{1}\]
여기서 \(\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\)는 다음 식으로 정의된다.
\[\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = -\left\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\right\} = -\frac{1}{2}\sum_\beta g^{\alpha\beta}\left(\frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\beta}}{\partial x_\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\beta}\right) \tag{2}\]
나아가 지난번 보고에서 근거를 갖춘 가정, 곧 “물질”의 에너지텐서의 스칼라는 언제나 사라진다는 가정을 적용하면, 여기에 행렬식 방정식
\[|g_{\mu\nu}| = -1 \tag{3}\]
이 더해진다.
좌표 원점에 질점(태양)이 있다고 하자. 이 질점이 만들어 내는 중력장은, 이 방정식들로부터 逐次근사(逐次近似, 잇단 근사)에 의해 구할 수 있다.
여기서 유의할 점은, 주어진 태양 질량에 대해 (1)식과 (3)식만으로는 \(g_{\mu\nu}\)가 수학적으로 아직 완전히 결정되지 않는다는 것이다. 이는 이 방정식들이 행렬식 1을 갖는 임의의 변환에 대해 공변이기 때문이다. 그러나 그러한 변환으로 서로 옮겨질 수 있는 해들은, 물리적으로는 서로 구별되지 않는 것으로 간주할 수 있다고 전제해도 좋을 것으로 보인다 — 다만 (주어진 경계조건에서) 이렇게 서로 구별되지 않는 해들만이 이 조건을 만족한다는 것을 아직 증명한 것은 아니다. 이 확신을 좇아, 나는 지금으로서는 여기서 하나의 해를 이끌어내는 것으로 만족하고자 하며, 그 해가 유일한 해인지 묻는 문제는 다루지 않기로 한다.
우리는 이제 다음과 같은 방식으로 나아간다. \(g_{\mu\nu}\)는 “0차 근사”에서, 원래의 상대성이론에 대응하는 다음 도식으로 주어진다고 하자.
\[ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \end{pmatrix} \tag{4} \]
또는 더 간단히
\[g_{\rho\sigma} = -\delta_{\rho\sigma},\qquad g_{\rho 4} = g_{4\rho} = 0,\qquad g_{44} = 1 \tag{4a}\]
여기서 \(\rho\)와 \(\sigma\)는 지표 1, 2, 3을 뜻하며, \(\delta_{\rho\sigma}\)는 \(\rho=\sigma\)인지 \(\rho\neq\sigma\)인지에 따라 1 또는 0이다.
이하에서는 \(g_{\mu\nu}\)가 (4a)식에서 정한 값들과, 1에 비해 작은 양만큼만 다르다고 전제한다. 이 편차를 우리는 “\(n\)차 크기”의 작은 양의 \(n\)차 함수로 다루며, “\(n\)차 근사”라 부르기로 한다. (1)식과 (3)식에서 출발하여, (4a)식이 나타내는 상태로부터 잇달아 근사해 나가면서, 중력장을 \(n\)차 크기까지 정확하게 계산해 낼 수 있다. 이러한 뜻에서 우리는 “\(n\)번째 근사”라 말하며, (4a)식은 “0번째 근사”를 이룬다.
아래에 제시하는 해는, 다음의 좌표계를 정하는 성질들을 갖는다.
(4a)식이 주는 값들과 \(g_{\mu\nu}\)의 차이가 오로지 1에 비해 작은 양이라 하고, 이 편차를 “1차 크기”의 작은 양의 함수로 다룬다. 이 뜻에서 우리는, (4a)식으로부터 시작하여, \(n\)차 크기까지 정확하게 중력장을 잇달아 근사해 계산해 낸다. 다음 시도로 얻는 해는 위에서 말한 4가지 조건을 만족한다.
\[ g_{\rho\sigma} = -\delta_{\rho\sigma} - \alpha\left(\frac{\partial^2 r}{\partial x_\rho\,\partial x_\sigma} - \frac{\delta_{\rho\sigma}}{r}\right) = -\delta_{\rho\sigma} - \alpha\frac{x_\rho x_\sigma}{r^3} \] \[ g_{44} = 1 - \frac{\alpha}{r} \tag{4b} \]
여기서 \(g_{\rho4}\) 및 \(g_{4\rho}\)는 조건 3에 의해 정해지며, \(r\)은 \(+\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\)를, \(\alpha\)는 태양의 질량으로 정해지는 어떤 상수를 뜻한다.
(4b)식이 1차의 크기에서 조건 3을 만족한다는 것은 곧바로 알 수 있다. 또한 (1)식이 1차 근사에서도 만족됨을 간단히 확인할 수 있는데, 이는 2차 이상 크기의 항을 무시하면 방정식 (1)의 좌변을
\[\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\right\} = \sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\nu}\left\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\right\}\]
로 대체할 수 있기 때문이며 — 여기서 \(\alpha\)는 1부터 3까지만 지난다.
(4b)식으로부터 알 수 있듯이, 우리 이론은, 정지한 질량의 경우에도 이미 성분 \(g_{11}\)부터 \(g_{33}\)까지가 1차 크기에서 0이 아니라는 것을 시사한다. 뒤에서 보게 되겠지만, 이 때문에 (1차 근사에서의) 뉴턴 법칙과의 모순이 생기지는 않는다. 다만 이로부터, 중력장이 광선에 미치는 영향이 나의 앞선 연구들과는 다르게 나온다는 결론이 나온다. 왜냐하면 빛의 속도는 다음 식으로 정해지기 때문이다.
\[\sum g_{\mu\nu}\,dx_\mu\,dx_\nu = 0 \tag{5}\]
호이겐스(Huygens)의 원리를 이용하면, (5)식과 (4b)식으로부터 간단한 계산을 거쳐, 태양으로부터 거리 \(\Delta\)만큼 지나가는 광선이 겪는 각편향이
\[\frac{2\alpha}{\Delta}\]
만큼임을 알 수 있는데, 이는 \(\Sigma\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = 0\)이라는 가정을 근거로 삼지 않았던 앞선 계산들이 준 값의 두 배이다. 태양 표면을 스쳐 지나가는 광선은 1.7″(0.85″가 아니라)의 편향을 겪어야 한다. 반면 중력퍼텐셜에 의한 스펙트럼선의 이동에 관한 결과는 — 이는 프로인틀리히(Freundlich) 선생이 최근 항성들에서 그 크기까지 확인해 준 바 있는데 — 이 효과가 오직 \(g_{44}\)에만 좌우되므로 바뀌지 않고 그대로 남는다.
1차 근사에서 \(g_{\mu\nu}\)를 구했으므로, 이제 (2)식으로부터 중력장의 성분 \(\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\) 역시 1차 근사로 계산할 수 있다. (4b)식으로부터
\[\Gamma^\tau_{\rho\sigma} = -\alpha\left(\delta_{\rho\sigma}\frac{x_\tau}{r^3} - \frac{3}{2}\frac{x_\rho x_\sigma x_\tau}{r^5}\right) \tag{6a}\]
를 얻으며, 여기서 \(\rho,\,\sigma,\,\tau\)는 지표 1, 2, 3 가운데 임의의 것을 뜻한다. 그리고
\[\Gamma^\sigma_{4\sigma} = \Gamma^4_{4\sigma} = -\frac{\alpha}{2}\frac{x_\sigma}{r^3} \tag{6b}\]
를 얻으며, 여기서 \(\sigma\)는 지표 1, 2, 3 가운데 하나이다. 지표 4가 두 번 또는 세 번 나타나는 성분들은 모두 사라진다.
앞으로 밝혀지겠지만, 행성 궤도를 그에 대응하는 정밀도로 결정하는 데는, 세 성분 \(\Gamma^\tau_{4\sigma}\)만을 2차 크기까지 정확히 알아내면 충분하다. 이를 위해서는 우리가 구하는 해에 부과한 일반 조건들과 결합한 마지막 장방정식만으로도 충분하다. (6b)식을 고려하면서 3차 이상의 크기를 무시하면, 마지막 장방정식
\[\sum_\tau \frac{\partial\Gamma^\tau_{4\sigma}}{\partial x_\tau} + \sum_{\tau\rho}\Gamma^\tau_{4\rho}\Gamma^\rho_{4\tau} = 0\]
은 다음으로 넘어간다.
\[\sum_\tau \frac{\partial\Gamma^\tau_{4\sigma}}{\partial x_\tau} = \frac{\alpha^2}{2r^4}\]
(6b)식과 대칭성을 고려하면, 이로부터 우리의 해에 대해
\[\Gamma^\sigma_{44} = -\frac{\alpha}{2}\frac{x_\sigma}{r^3}\left(1 - \frac{\alpha}{r}\right) \tag{6c}\]
가 따라 나온다.
일반상대성이론에서 얻는, 중력장 속 질점의 운동방정식은 다음과 같다.
\[\frac{d^2x_\tau}{ds^2} = \sum_{\mu\nu}\Gamma^\tau_{\mu\nu}\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} \tag{7}\]
우리는 우선 이 방정식들로부터, 그것이 뉴턴의 운동방정식을 1차 근사로서 포함하고 있음을 이끌어내고자 한다. 실제로 점의 운동이 빛의 속도에 비해 작은 속도로 일어난다면, \(dx_1,\,dx_2,\,dx_3\)는 \(dx_4\)에 비해 작다. 그러므로 우리는 1차 근사를 얻는데, 우변에서 매번 오직 \(\sigma=\tau=4\)인 항만을 고려함으로써 얻어진다. 그러면 (6b)식을 고려하여
\[\frac{d^2x_\nu}{ds^2} = \Gamma^\nu_{44} = -\frac{\alpha}{2}\frac{x_\nu}{r^3}\quad(\nu=1,2,3) \tag{7a}\] \[\frac{d^2x_4}{ds^2} = 0\]
를 얻는다. 이 방정식들은, 1차 근사에 대해서는 \(s=x_4\)로 두어도 좋음을 보여 준다. 그러면 앞의 세 방정식은 바로 뉴턴의 그것이 된다. 궤도평면에서 극좌표 \(r,\,\varphi\)를 도입하면, 잘 알려진 에너지법칙과 면적법칙에 의해 다음 두 방정식이 나온다.
\[ \frac{1}{2}u^2 + \Phi = A,\qquad r^2\frac{d\varphi}{ds} = B \tag{8} \]
여기서 \(A,\,B\)는 에너지법칙 및 면적법칙의 상수를 뜻하며, 줄여 쓰기 위해
\[\Phi = -\frac{\alpha}{2r},\qquad u^2 = \frac{dr^2 + r^2\,d\varphi^2}{ds^2} \tag{8a}\]
라 두었다.
이제 우리는 방정식 (7)을 한 차수 더 정밀하게 계산하고자 한다. (7)의 마지막 것은, (6b)식과 함께
\[\frac{d^2x_4}{ds^2} = 2\sum_\tau\Gamma^4_{4\tau}\frac{dx_4}{ds}\frac{dx_\tau}{ds} = -\frac{dg_{44}}{dx_\tau}\frac{dx_\tau}{ds}\]
또는 1차 크기까지 정확하게는
\[\frac{dx_4}{ds} = 1 + \frac{\alpha}{r} \tag{9}\]
를 준다.
이제 우리는 (7)의 처음 세 방정식으로 눈을 돌린다. 우변은
\[\Gamma^\nu_{44}\left(\frac{dx_4}{ds}\right)^2\]
또는 (6c)식과 (9)식을 고려하여 2차 크기까지 정확하게는
\[-\frac{\alpha}{2}\frac{x_\nu}{r^3}\left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)\]
를 준다.
\[-\frac{\alpha x_\nu}{r^3}\sum_{\rho\sigma}\left(\delta_{\rho\sigma} - \frac{3}{2}\frac{x_\rho x_\sigma}{r^2}\right)\frac{dx_\rho}{ds}\frac{dx_\sigma}{ds}\]
를 준다.\(^{1)}\) 그 합은 다음과 같이 나온다.
\[-\frac{\alpha x_\nu}{r^3}\left(u^2 - \frac{3}{2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\right)\]
| 각주(§2) 1) 이런 사정에 맞추어, 장 성분 \(\Gamma^\tau_{\rho\sigma}\)에 관해서는, (6a)식에서 준 1차 근사 값에 만족해도 좋다. |
이를 고려하면, 운동방정식은 2차 크기까지 정확한 형태로
\[\frac{d^2x_\nu}{ds^2} = -\frac{\alpha x_\nu}{r^3}\left(1+\frac{\alpha}{r}+2u^2-3\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\right) \tag{7b}\]
를 얻는다. 이 식은 (9)식과 함께 질점의 운동을 완전히 정한다. 여기서 언급해 둘 것은, (7b)식과 (9)식이, 원운동의 경우에는 케플러의 제3법칙으로부터의 편차를 전혀 주지 않는다는 점이다.
(7b)식으로부터, 먼저 다음 방정식이 정확하게 성립함이 따라 나온다.
\[r^2\frac{d\varphi}{ds} = B \tag{10}\]
여기서 \(B\)는 하나의 상수를 뜻한다. 곧 면적법칙은, 시간 측정에 “고유시(固有時)”를 쓰는 한, 2차 크기까지 정확하게 성립한다. 이제 궤도타원의 근일점의 세속적 회전을 (7b)식으로부터 구하기 위해서는, (7b)식의 대괄호 안의 1차 크기 항을, (10)식과 (8)식 가운데 첫째 식을 매개로 삼아 표현하는 것이 가장 유리하다. 이때 그 자체로 2차 크기인 항은 바뀌지 않는다. 그렇게 하면 대괄호는 다음 형태를 취한다.
\[\left(1 - 2A + \frac{3B^2}{r^2}\right)\]
끝으로 \(s\sqrt{1-2A}\)를 새 시간변수로 택하고, 다시 \(s\)라 부르되 상수 \(B\)의 뜻을 조금 바꾸어 두면, 다음을 얻는다.
\[ \frac{d^2x_\nu}{ds^2} = -\frac{\partial\Phi}{\partial x_\nu},\qquad \Phi = -\frac{\alpha}{2}\left[1+\frac{B^2}{r^2}\right] \tag{7c} \]
궤도의 형태를 결정하는 데는, 이제 뉴턴의 경우에서와 완전히 같은 방식으로 나아가면 된다. (7c)식으로부터 먼저
\[\frac{dr^2+r^2\,d\varphi^2}{ds^2} = 2A - 2\Phi\]
를 얻는다. 이 식에서 (10)식을 이용해 \(ds\)를 소거하고, \(\dfrac{1}{r}\)을 나타내는 \(x\)를 도입하면
\[\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = \frac{2A}{B^2} + \frac{\alpha}{B^2}x - x^2 + \alpha x^3 \tag{11}\]
이라는, 뉴턴 이론에서 대응하는 식과 우변 마지막 항에서만 다른 방정식을 얻는다.
근일점과 원일점 사이에서 동경(動徑)벡터가 그려내는 각은, 이에 따라 다음 타원적분으로 주어진다.
\[\varphi = \int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{\dfrac{2A}{B^2}+\dfrac{\alpha}{B^2}x - x^2+\alpha x^3}}\]
여기서 \(x_1,\,x_2\)는 다음 방정식의 근이다.
\[\frac{2A}{B^2}+\frac{\alpha}{B^2}x-x^2+\alpha x^3 = 0\]
이는 마지막 항을 생략함으로써 얻어지는 방정식의, 서로 아주 가까운 두 근에 대응하는 근들이다.
우리가 요구하는 정밀도에 맞추어, 이를 위해 다음과 같이 둘 수 있다.
\[\varphi = [1+\alpha(x_1+x_2)]\cdot\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(1-\alpha x)}}\]
또는 \((1-\alpha x)^{-\frac{1}{2}}\)을 전개하면
\[\varphi = [1+\alpha(x_1+x_2)]\int_{x_1}^{x_2}\frac{\left(1+\dfrac{\alpha}{2}x\right)dx}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)}}\]
적분을 실행하면
\[\varphi = \pi\left[1+\frac{3}{4}\alpha(x_1+x_2)\right]\]
를 주며, \(x_1,\,x_2\)가 각각 태양으로부터의 최대·최소 거리의 역수를 뜻함을 고려하면
\[\varphi = \pi\left(1+\frac{3}{2}\frac{\alpha}{a(1-e^2)}\right) \tag{12}\]
를 준다. 한 바퀴 공전마다 근일점은 궤도 운동 방향으로
\[\varepsilon = 3\pi\,\frac{\alpha}{a(1-e^2)} \tag{13}\]
만큼 전진하며, 여기서 \(a\)는 궤도장반경, \(e\)는 이심률을 뜻한다.
공전주기 \(T\)(초 단위)를 도입하고, \(c\)를 진공 속 빛의 속도(cm/초)라 하면, 다음을 얻는다.
\[\varepsilon = 24\pi^3\,\frac{a^2}{T^2c^2(1-e^2)} \tag{14}\]
이 계산은 수성이라는 행성에 대해, 근일점이 100년에 43″만큼 전진함을 준다. 반면 천문학자들은, 관측과 뉴턴 이론 사이의 설명되지 않는 잔여분으로 \(45''\pm5''\)을 제시한다. 이는 완전한 일치를 뜻한다.
지구와 화성에 대해서는 천문학자들이 각각 100년에 11″와 9″의 근일점 전진을 제시하는 반면, 우리 공식은 오직 4″와 1″만을 준다. 그러나 이 값들은, 이 행성들 궤도의 작은 이심률로 인해, 그리 정밀하지 못한 것으로 보인다. 근일점 이동의 확인에 대한 신뢰도를 좌우하는 것은, 오히려 그 이심률과의 곱 \(\left(e\dfrac{d\pi}{dt}\right)\)이다. 뉴콤(Newcomb)이 제시한, 이 양에 대한 값들 — 이는 프로인틀리히 선생 덕분에 얻은 것인데 — 을 살펴보면
\[ \begin{aligned} &\text{수성} \dotfill & 8.48'' &\pm 0.43 \\ &\text{금성} \dotfill & -0.05'' &\pm 0.25 \\ &\text{지구} \dotfill & 0.10'' &\pm 0.13 \\ &\text{화성} \dotfill & 0.75'' &\pm 0.35 \end{aligned} \]
이며, 이로부터 근일점 전진이 실제로 확인된 것은 오직 수성에 대해서뿐이라는 인상을 받게 된다. 다만 이에 관한 최종 판단은 기꺼이 전문 천문학자들에게 맡기고자 한다.
(1915년 11월 18일 전체 회의에서 발표.)