지은이: A. 아인슈타인
*역주: 이 논문은 아인슈타인이 1915년 11월 4일 프로이센 과학아카데미 전체 회의에서 발표한 “Zur allgemeinen Relativitätstheorie”(일반상대성이론에 관하여, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1915, 778–786쪽)로, 그해 11월에 발표한 네 편의 보고 가운데 첫째 것이다. 아인슈타인이 그로스만과 함께 만들었던 1913년의 “Entwurf”(구상) 이론 — 임의의 좌표변환에 대해서는 공변이지 않던 이론 — 을 버리고, 다시 일반공변(一般共變) 장방정식으로 돌아온다는 것을 선언하는 논문이다. 이 논문 자체에서 제시하는 장방정식 \(R_{\mu\nu} = -\varkappa T_{\mu\nu}\)는 아직 최종형이 아니며(에너지텐서의 자취가 사라진다는 부가조건이 걸려 있다), 그로부터 3주 뒤인 11월 25일 논문(이 프로젝트에서 이미 번역한 「중력장 방정식」)에 이르러서야 오늘날까지 쓰이는 최종형 \(G_{\mu\nu} = -\varkappa(T_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu}T)\)가 완성된다. 이 논문은 그 완성으로 가는 첫걸음이라는 점에서, 그리고 오늘날에도 표준적으로 쓰이는 \(\Gamma^\sigma_{\mu\nu}\) 표기(중력장의 “성분”)를 처음으로 도입·명명한다는 점에서 사료적으로 중요하다.
저본은 원 학술지 회보의 공개 스캔본(1915년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인)이며, 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다. 원문은 이 논문 바로 앞서(1914년) 발표한 “일반상대성이론의 형식적 기초”(“Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”, Sitzungsber. XLI, 1914, S. 1066–1077)를 “a. a. O.”(앞의 글)로 자주 인용하며, 그 논문의 식 번호를 그대로 참조한다. 이 번역에서는 그러한 인용을 “앞선 논문(1914)의 (n)식”과 같은 방식으로 옮겼다. 크리스토펠 기호는 원문처럼 옛 브레이스 표기 \(\{^{\mu\nu}_{\ \ \alpha}\}\)로 표기하되, §2에서 아인슈타인이 직접 \(\Gamma\) 기호를 도입하는 대목부터는 원문 그대로 \(\Gamma\)를 사용하였다. 그 밖의 용어는 이 프로젝트의 앞선 번역들과 일관되게 사용하였다. 수식 번호 (1)–(22a)는 원문의 것을 그대로 보존하였다.*
지난 몇 해 동안 나는, 균일하지 않은 운동에 대해서까지도 상대성의 전제 위에 일반상대성이론을 세우고자 애써 왔다. 실제로 나는, 상대성 공준의 뜻에 부합하며 그 유일한 해에 상응하는 중력법칙을 찾아냈다고 믿었고, 바로 지난해 이 회보에 실린 한 논문\(^{1)}\)에서 바로 이 해의 필연성을 밝히려 했었다.
그러나 새로이 가한 비판은, 내가 그곳에서 걸어간 길에서는 그러한 필연성이 결코 증명되지 않음을 보여 주었다 — 곧 그렇게 보였던 것은 착오였다. 상대성 공준은 — 내가 그곳에서 요구한 만큼은 — 언제나 충족되는데, 왜냐하면 해밀턴 원리를 근거로 삼으면, 실제로는 그것이 중력의 해밀턴 함수 \(H\)를 정하는 데 아무런 실마리도 주지 못하기 때문이다. 앞선 논문에서 \(H\)의 선택을 선형변환에 대해 국한하는 (77)식은, \(H\)가 가속도의 상대성이라는 요구와는 아무 관계도 없이 세워야 했던 요구를 표현할 뿐이다. 나아가 (77)식으로 정해지는 \(H\)의 선택은, (78)식에 의해서도 결코 확정되지 않는다.
이러한 근거로 인해 나는, 내가 앞서 제시했던 장방정식에 대한 신뢰를 완전히 잃었고, 그 대신 그 방정식들을 자연스러운 방식으로 좁혀낼 다른 길을 찾았다. 그리하여 나는, 방정식들의 일반화된 공변성을 요구하는 데로 되돌아갔는데, 이는 몇 해 전 내가 나의 벗 그로스만과 함께 연구했을 때 출발점으로 삼았으나, 그때는 무거운 마음으로 포기했던 요구였다. 실제로 그 당시에는 이미, 지금 제시하는 문제의 풀이에 매우 가까이 다가가 있었다.
특수상대성이론이, 그 방정식들이 (민코프스키의 뜻에서) 선형·직교 변환에 대해 공변이어야 한다는 공준 위에 세워진 것과 마찬가지로, 여기서 제시하려는 이론은, 그 방정식들이 행렬식 1을 갖는 임의의 변환에 대한 모든 방정식계의 공변성이라는 공준 위에 서 있다.
이 이론의 마법에 진정으로 사로잡히지 않을 수 있는 사람은 거의 없을 것이다. 이 이론은 가우스, 리만, 크리스토펠, 리치, 레비-치비타에 의해 세워진 절대미분법이라는 방법의 참된 승리를 뜻하기 때문이다.
| 각주 1) 일반상대성이론의 형식적 기초. Sitzungsberichte XLI, 1914, S. 1066–1077. 이하에서 이 논문의 방정식을 인용할 때는 부기 “a. a. O.”(앞의 글)를 붙여 이 논문의 방정식과 구별한다. |
내가 지난해 논문에서 절대미분법의 방법을 자세히 서술한 바 있으므로, 여기서 이 논문에 쓰일 공변량의 구성 법칙을 다루는 데는 짧게 그칠 수 있다. 우리가 살펴보아야 할 것은 오직, 공변량 이론이 행렬식 1을 갖는 치환으로 제한됨으로써 어떻게 바뀌는가 하는 점뿐이다.
임의의 치환에 대해 성립하는 방정식
\[d\tau' = \frac{\partial(x_1',\cdots,x_4')}{\partial(x_1,\cdots,x_4)}\,d\tau\]
는, 우리 이론의 전제에 따라
\[\frac{\partial(x_1',\cdots,x_4')}{\partial(x_1,\cdots,x_4)} = 1 \tag{1}\]
로 됨으로써
\[d\tau' = d\tau \tag{2}\]
로 넘어간다. 곧 4차원 부피요소 \(d\tau\)는 그 자체로 하나의 불변량이다. 나아가 (앞선 논문(1914)의 (17)식에 의해) \(\sqrt{-g}\,d\tau\)가 임의의 치환에 대해 불변량이므로, 우리가 관심을 두는 치환군에 대해서는
\[\sqrt{-g'} = \sqrt{-g} \tag{3}\]
도 성립한다. 그러므로 \(g_{\mu\nu}\)로 이루어진 행렬식은 하나의 불변량이다. \(\sqrt{-g}\)가 이렇게 스칼라의 성격을 갖는 덕분에, 일반공변성에 대해 성립하는 공변량 구성의 기본 공식들은, 간단하게 표현하면, 그 기본 공식에 인자 \(\sqrt{-g}\)와 \(\dfrac{1}{\sqrt{-g}}\)가 더는 나타나지 않고, 텐서와 \(V\)텐서(밀도텐서) 사이의 구별이 사라진다는 데서 비롯한 단순화를 허용한다. 구체적으로는 다음과 같다.
\[G_{iklm} = G^{iklm} = \delta_{iklm} \tag{4}\]
가 들어선다.
\[ A^{\rho_1\cdots\rho_{l-1}} = \sum_\tau\frac{\partial A^{\rho_1\cdots\rho_{l-1}\tau}}{\partial x_\tau} + \sum_{\sigma\tau}\left[\left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \alpha_1}\right\}A^{\sigma\rho_2\cdots\rho_{l-1}\tau} + \cdots + \left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \alpha_{l-1}}\right\}A^{\rho_1\cdots\rho_{l-2}\sigma\tau}\right] \tag{5} \]
그런데 (앞선 논문(1914)의 (24), (24a)식에 의해)
\[\sum_{\sigma\tau}\left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \sigma}\right\} = \frac{1}{2}\sum_{\sigma\tau}g^{\sigma\tau}\left(\frac{\partial g_{\sigma\rho}}{\partial x_\tau}+\frac{\partial g_{\tau\rho}}{\partial x_\sigma}-\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x_\rho}\right) = \frac{1}{2}g^{\sigma\tau}\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x_\rho} = \frac{\partial(\lg\sqrt{-g})}{\partial x_\rho} \tag{6}\]
이므로, 이 양은 (3)식에 의해 벡터의 성격을 가지지 않는다. 따라서 (5)식 우변의 마지막 항 자체가 이미 계수(階數) \(l\)의 반변텐서이다. 그러므로 우리는, (5)식 대신 발산에 대해 다음의 더 간단한 정의를 써도 좋다.
\[ A^{\rho_1\cdots\rho_{l-1}} = \sum_\tau\frac{\partial A^{\rho_1\cdots\rho_{l-1}\tau}}{\partial x_\tau} + \sum_{\sigma\tau}\left[\left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \alpha_1}\right\}A^{\sigma\rho_2\cdots\rho_{l-1}\tau} + \cdots + \left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \alpha_{l-1}}\right\}A^{\rho_1\cdots\rho_{l-2}\sigma\tau}\right] \tag{5a} \]
우리는 이를 일관되게 사용하고자 한다. 예컨대 앞선 논문(1914)의 (37)식의 정의
\[\Phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\sum_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}(\sqrt{-g}\,A^\alpha)\]
를, 더 간단한 정의
\[\Phi = \sum_\nu \frac{\partial A^\nu}{\partial x_\nu} \tag{7}\]
로 대체할 수 있다. 앞선 논문(1914)의 (40)식에 있는, 반변 6-벡터의 발산에 대한 방정식은, 더 간단한 다음 식으로 대체된다.
\[A^\nu = \sum_\sigma \frac{\partial A^{\nu\sigma}}{\partial x_\sigma} \tag{8}\]
우리가 정한 규칙에 따라, 앞선 논문(1914)의 (41a)식 대신 다음이 들어선다.
\[A_\tau = \sum_\nu\frac{\partial A_\tau^\nu}{\partial x_\nu} - \frac{1}{2}\sum_{\rho\sigma}g^{\rho\sigma}\frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x_\tau}A_\nu^\tau \tag{9}\]
(41b)식과 견주어 보면, 우리가 정한 규칙에서도 텐서 발산에 대한 법칙이, 일반미분법에 따른 발산 법칙과 같음을 알 수 있다. 이는 임의의 텐서 발산에 대해서도 성립함을 (5)식과 (5a)식으로부터 쉽게 이끌어낼 수 있다.
\[ (ik,\,lm) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x_k\,\partial x_l}+\frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x_i\,\partial x_m}-\frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x_k\,\partial x_m}-\frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x_i\,\partial x_l}\right) +\sum_{\rho\sigma}g^{\rho\sigma}\left(\left\{^{ik}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{lm}_{\ \ \sigma}\right\}-\left\{^{il}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{km}_{\ \ \sigma}\right\}\right) \tag{10} \]
중력의 문제는, 특히 이 4계 텐서와 \(g_{\mu\nu}\)를 내적곱(내부 곱셈)함으로써 이 4계 텐서로부터 얻을 수 있는 2계 텐서에 흥미를 갖게 한다. (10)식에서 드러나는 리만 텐서의 대칭성
\[ (ik,\,lm) = (lm,\,ik),\qquad (ik,\,lm) = -(ki,\,lm) \tag{11} \]
으로 인해, 그러한 구성은 오직 한 가지 방식으로만 이루어질 수 있으며, 이로써 다음 텐서를 얻는다.
\[G_{im} = \sum_{kl} g^{kl}(ik,\,lm) \tag{12}\]
우리는 이 텐서를, 우리의 목적을 위해서는 오히려, 크리스토펠이 (10)식의 텐서에 대해 제시한 다른 형태로부터 이끌어내는 편이 유리하다. 곧
\[ \left\{^{il}_{\ \ k}\right\} = \sum_t g^{lt}(ik,\,it) = \frac{\partial\left\{^{il}_{\ \ k}\right\}}{\partial x_m} - \frac{\partial\left\{^{im}_{\ \ k}\right\}}{\partial x_l} + \sum_\rho\left(\left\{^{il}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{zm}_{\ \ k}\right\} - \left\{^{im}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{zl}_{\ \ k}\right\}\right) \tag{13} \]
으로부터 이끌어낸다.\(^{1)}\) 이로부터, 텐서 \(G_{im}\)을, 이 텐서에 텐서
\[\delta_k^l = \sum_\sigma g_{k\sigma}g^{\sigma l}\]
를 곱함으로써(내적곱) 이끌어낸다.
\[G_{im} = \left\{^{il},\ lm\right\} = R_{im} + S_{im} \tag{13}\]
\[R_{im} = -\frac{\partial\left\{^{im}_{\ \ l}\right\}}{\partial x_l} + \sum_\rho\left\{^{il}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{\rho m}_{\ \ l}\right\} \tag{13a}\]
\[S_{im} = \frac{\partial\left\{^{im}_{\ \ l}\right\}}{\partial x_m} - \sum_\rho\left\{^{im}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{\rho l}_{\ \ l}\right\} \tag{13b}\]
| 각주 1) 이 표현이 텐서의 성격을 갖는다는 간단한 증명은, 여러 차례 인용한 나의 논문 1053쪽에서 찾을 수 있다. |
행렬식 1을 갖는 변환에 국한하면, \(G_{im}\)뿐 아니라 \(R_{im}\)과 \(S_{im}\)도 텐서의 성격을 갖는다. 실제로 (6)식으로부터, \(\sqrt{-g}\)가 스칼라이므로, \(\dfrac{\partial\left\{^{il}_{\ \ l}\right\}}{\partial x_i}\)가 공변 4-벡터임이 따라 나온다. \((S_{im})\)은 (앞선 논문(1914)의 (29)식에 의해) 이 4-벡터의 확장이므로, 이 또한 텐서이다. \((G_{im})\)과 \((S_{im})\)이 텐서의 성격을 가지므로, (13)식으로부터 \((R_{im})\)의 텐서적 성격도 따라 나온다. 이 마지막 텐서는 중력에 관한 이론에서 가장 중요한 의미를 갖는다.
\[\sum_\tau \frac{\partial T_\nu^\tau}{\partial x_\tau} = \frac{1}{2}\sum_{\sigma\tau}g^{\sigma\tau}\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x_\nu}T_\sigma^\tau + K_\nu \tag{14}\]
여기서 \(T_\nu^\tau\)는 보통의 텐서를, \(K_\nu\)는 (텐서가 아닌) 보통의 공변 4-벡터를 나타낸다. 이 보존방정식에 결부하여, 이후를 위해 중요한 지적을 하나 해 두고자 한다. 이 보존방정식은 이전에 나로 하여금 양
\[\frac{1}{2}\sum_{\sigma\tau}g^{\sigma\tau}\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x_\nu}\]
를 중력장 성분의 자연스러운 표현으로 여기도록 이끌었으나, 절대미분법의 공식들에 비추어 보면, 오히려 크리스토펠 기호
\[\left\{^{\nu\sigma}_{\ \ \tau}\right\}\]
를 그 양 대신 도입하는 편이 더 가깝다. 이는 불행한 선입견이었다. 크리스토펠 기호를 우대할 근거는 무엇보다도, 그 두 지표(여기서는 \(\nu\)와 \(\tau\))에 관한 공변적 성격에 있으며, 또한 그것이 물리적으로 근본적으로 중요한 측지선의 방정식(앞선 논문(1914)의 (23b)식)에 나타난다는 데 있다 — 이 방정식은 물리학적 관점에서 보면, 중력장 속 질점의 운동방정식이기 때문이다. (14)식은 이 점에서도 반론의 여지를 남기지 않는데, 그 우변의 첫째 항은
\[\sum_\sigma\left\{^{\sigma\nu}_{\ \ \tau}\right\}T_\sigma^\tau\]
의 형태로 나타낼 수 있기 때문이다.
그러므로 우리는 이후로, 중력장의 성분을 나타내는 것으로 다음 양을 표시하기로 한다.
\[\Gamma_{\nu\sigma}^\tau = -\left\{^{\nu\sigma}_{\ \ \tau}\right\} = -\sum_\rho g^{\sigma\rho}\left\{^{\nu\rho}_{\ \ \tau}\right\} = -\frac{1}{2}\sum_\rho g^{\sigma\rho}\left(\frac{\partial g_{\nu\rho}}{\partial x_\tau}+\frac{\partial g_{\rho\tau}}{\partial x_\nu}-\frac{\partial g_{\nu\tau}}{\partial x_\rho}\right) \tag{15}\]
\(T_\nu^\tau\)가 “물질적” 사건의 (전자기 현상을 포함한) 에너지텐서를 나타내고, \(K\)가 사라진다면, 보존법칙 (14)는 다음 형태를 취한다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial T_\nu^\alpha}{\partial x_\alpha} = -\sum_{\alpha\beta}\Gamma_{\nu\beta}^\alpha T_\alpha^\beta \tag{14a}\]
우리는 유의해 둔다. 앞선 논문(1914)의 (23b)식이 주는, 중력장 속 질점의 운동방정식은 이제 다음 형태를 취한다.
\[\frac{d^2x_\nu}{ds^2} = \sum_{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\beta}^\nu\frac{dx_\alpha}{ds}\frac{dx_\beta}{ds} \tag{15}\]
지금까지 말한 바에 따라, 중력의 장방정식을 다음 형태로 세우는 것이 자연스러워 보인다.
\[R_{\mu\nu} = -\varkappa T_{\mu\nu} \tag{16}\]
우리는 이미 이 방정식이 행렬식 1을 갖는 임의의 변환에 대해 공변임을 알고 있다. 실제로 이 방정식은, 우리가 세워야 하는 모든 조건을 만족한다. 이를 더 자세히 쓰면, (13a)식과 (15)식에 의해 다음과 같다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial\Gamma_{\mu\nu}^\alpha}{\partial x_\alpha} + \sum_{\alpha\beta}\Gamma_{\mu\beta}^\alpha\Gamma_{\nu\alpha}^\beta = -\varkappa T_{\mu\nu} \tag{16a}\]
이제 이 장방정식을 해밀턴 형태로 가져올 수 있음을 보이고자 한다.
\[\delta\left\{\int\left(\mathfrak{L} - \varkappa\sum_{\mu\nu}g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\right)d\tau\right\} = 0 \tag{17}\]
\[\mathfrak{L} = \sum_{\rho\sigma\tau}g^{\rho\tau}\Gamma_{\rho\sigma}^\sigma\Gamma_{\tau\rho}^\rho\]
여기서 \(g^{\mu\nu}\)를 변분 대상으로 삼고, \(T_{\mu\nu}\)는 상수로 다룬다. 실제로 (17)식은 다음 방정식들과 동치이다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial g_\alpha^{\mu\nu}}\right) - \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}} = -\varkappa T_{\mu\nu} \tag{18}\]
여기서 \(\mathfrak{L}\)을 \(g^{\mu\nu}\)와 \(\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_\alpha}(=g_\alpha^{\mu\nu})\)의 함수로 생각한다. 반면 다소 긴 계산이나 어려움 없이 수행할 수 있는 계산을 거치면 다음 관계가 나온다.
\[\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial g^{\mu\nu}} = -\sum_{\alpha\beta}\Gamma_{\mu\beta}^\alpha\Gamma_{\nu\alpha}^\beta \tag{19}\]
\[\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial g_\alpha^{\mu\nu}} = \Gamma_{\mu\nu}^\alpha \tag{19a}\]
이 두 식은 (18)식과 결합하여 장방정식 (16a)를 준다.
이제 에너지법칙과 운동량법칙이 충족됨도 쉽게 보일 수 있다. (18)식에 \(g^{\mu\nu}\)를 곱하고 지표 \(\mu\)와 \(\nu\)에 대해 더하면, 익숙한 변형을 거쳐 다음을 얻는다.
\[\sum_{\mu\nu\alpha}\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g_\alpha^{\mu\nu}\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial g_\alpha^{\mu\nu}}\right) - \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial x_\sigma} = -\varkappa\sum_{\mu\nu}T_{\mu\nu}g_\sigma^{\mu\nu}\]
한편 물질의 총에너지텐서에 대해서는, (14)식에 의해
\[\sum_\lambda \frac{\partial T_\sigma^\lambda}{\partial x_\lambda} = -\frac{1}{2}\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}T_{\mu\nu}\]
이다. 이 마지막 두 방정식으로부터
\[\sum_\lambda \frac{\partial}{\partial x_\lambda}(T_\sigma^\lambda + t_\sigma^\lambda) = 0 \tag{20}\]
이 따라 나오며, 여기서
\[t_\sigma^\lambda = \frac{1}{2\varkappa}\left(\mathfrak{L}\delta_\sigma^\lambda - \sum_{\mu\nu}g_\sigma^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^\lambda\Gamma_{\nu\lambda}^\alpha\right) \tag{20a}\]
라 하며, 이는 오직 선형 변환에 대해서만 텐서적 성격을 갖는, 중력장의 “에너지텐서”를 나타낸다. (20a)식과 (19a)식으로부터 간단한 변형을 거쳐 다음을 얻는다.
\[t_\sigma^\lambda = \frac{1}{2}\delta_\sigma^\lambda\sum_{\mu\nu\alpha}g^{\mu\alpha}\Gamma_{\mu\beta}^\alpha\Gamma_{\nu\alpha}^\beta - \sum_{\mu\nu}g^{\mu\alpha}\Gamma_{\mu\sigma}^\alpha\Gamma_{\nu\alpha}^\lambda \tag{20b}\]
끝으로, 장방정식으로부터 두 개의 스칼라 방정식을 이끌어내는 것도 흥미롭다. (16a)식에 \(g^{\mu\nu}\)를 곱하고 \(\mu\)와 \(\nu\)에 대해 더하면, 간단한 변형을 거쳐
\[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha\,\partial x_\beta} - \sum_{\alpha\beta\rho\sigma}g^{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\beta}^\rho\Gamma_{\rho\beta}^\sigma + \sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\lg\sqrt{-g}}{\partial x_\beta}\right) = -\varkappa\sum_\nu T_\nu^\nu \tag{21}\]
를 얻는다. 다른 한편으로 (16a)식에 \(g^{\sigma\alpha}\)를 곱하고 \(\mu\)에 대해 더하면
\[\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}(g^{\mu\alpha}\Gamma_{\mu\nu}^\sigma) - \sum_{\alpha\rho}g^{\alpha\rho}\Gamma_{\rho\beta}^\sigma\Gamma_{\alpha\nu}^\beta = -\varkappa T_\nu^\sigma\]
또는 (20b)식을 고려하면
\[\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}(g^{\sigma\alpha}\Gamma_{\mu\nu}^\alpha) - \frac{1}{2}\delta_\nu^\sigma\sum_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\beta}^\rho\Gamma_{\rho\beta}^\sigma = -\varkappa(T_\nu^\sigma + t_\nu^\sigma)\]
를 얻는다. 이로부터 (20)식을 고려하면서 더 나아가면 다음 방정식을 얻는다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\nu}\left[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha\,\partial x_\beta} - \sum_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\beta}^\rho\Gamma_{\rho\beta}^\sigma\right] = 0 \tag{22}\]
우리는 이를 다시 조금 더 강한 형태로 요구하기로 한다.
\[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha\,\partial x_\beta} - \sum_{\alpha\beta}g^{\alpha\beta}\Gamma_{\alpha\beta}^\rho\Gamma_{\rho\beta}^\sigma = 0 \tag{22a}\]
이로써 (21)식은 다음으로 넘어간다.
\[\sum_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\lg\sqrt{-g}}{\partial x_\beta}\right) = -\varkappa\sum_\nu T_\nu^\nu \tag{21a}\]
(21a)식으로부터, 좌표계를 \(\sqrt{-g}\)가 1이 되도록 택하는 것이 불가능함이 드러난다. 왜냐하면 에너지텐서의 스칼라를 언제나 0이 되도록 만들 수는 없기 때문이다. (22a)식은, 애초에 사용한 좌표계로부터 허용되지 않는 변환을 거쳐 얻어지는 새로운 좌표계에서는 더는 성립하지 않는 관계이며, 오직 \(g_{\mu\nu}\)에만 부과되는 조건이다. 그러므로 이 방정식은 곧, 좌표계가 그 다양체에 어떻게 맞추어져야 하는지를 말해 준다.
(1915년 회보.)