지은이: A. 아인슈타인 (I부, 물리학부) · M. 그로스만 (II부, 수학부)
*역주: 이 문헌은 아인슈타인과 그로스만이 1913년 공동으로 발표한 “Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation”(일반화된 상대성이론과 중력이론 초안, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913; “Zeitschrift für Mathematik und Physik” 제62권 별쇄본)이다. 이른바 “Entwurf(초안) 이론”으로 불리는 이 저작은, 1915년 최종적인 일반상대성이론이 완성되기까지 아인슈타인의 사고가 거쳐 간 가장 중요한 중간 단계이며, I부(물리학부)는 아인슈타인이, II부(수학부)는 그의 취리히 공과대학 동료 수학자 마르셀 그로스만이 담당하였다. 이 저작은 등가원리를 정적 중력장에서 임의의 중력장으로 확장하고, 리만·크리스토펠·리치·레비-치비타의 절대미분법(오늘날의 텐서해석)을 물리학에 본격적으로 도입한 점에서 결정적으로 중요하다. 그러나 이 초안의 장방정식은 (뒤에 드러나듯이) 오직 선형변환에 대해서만 공변이며 일반공변은 아니라는 근본적 한계를 지니고 있었고, 이 한계는 1915년 11월에야 비로소 극복된다.
저본은 원 별쇄본의 공개 스캔본이며(1913년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인 — 아인슈타인은 1955년, 그로스만은 1936년 사망), 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다. 확인 결과 이 별쇄본 자체의 본문은 3쪽(I부 시작)부터 38쪽(II부 끝)까지이며, PDF 파일에 표시된 전체 86쪽 가운데 39쪽 이후는 이 논문과 무관한, 같은 제본 합본에 함께 묶인 다른 자료(백지·표지 등)로 확인되었다.
이용자의 요청에 따라 이 문헌은 전문(全文)이 아니라 다음 다섯 부분을 중심으로 한 선별 번역이다: (1) 아인슈타인의 물리학적 문제 설정, (2) 등가원리와 일반공변성 논의, (3) Entwurf 장방정식의 제시와 근거, (4) 정적 중력장·뉴턴 극한 논의, (5) 그로스만의 수학부 가운데 장방정식의 이해에 필요한 부분. 다만 (4)에 관해서는 미리 밝혀 둘 것이 있다: 이 논문 자체에는 회전좌표계를 구체적으로 다루는 별도의 예시 대목이 없다(회전원판을 이용해 등가원리를 예증하는 논의는 아인슈타인의 1912년 논문들에서 더 상세히 전개된다). 따라서 아래 4부에서는 이 논문에 실제로 있는 정적 중력장·뉴턴 극한 논의를 번역하고, 회전계와의 관계는 역주로 보충하였다.
용어와 표기는 이 프로젝트의 다른 번역들과 일관되게 유지하였다(질점, 강체, 전하/전하밀도, 운동량-에너지, 발산, 보존법칙, 에너지텐서, 크리스토펠 기호, 리만-크리스토펠 텐서, 장방정식 등). 다만 이 논문 고유의 옛 브레이스(중괄호) 크리스토펠 기호 \(\{^{rs}_{\ u}\}\)·\([rs,t]\) 표기는 원문 그대로 유지하였으며, 아인슈타인 자신이 “Γ”, “Δ”, “S” 등으로 도입한 기호들도 원문 그대로 옮겼다.*
이하에서 서술하는 이론은, 물체의 관성질량과 중력질량 사이의 비례관계가 정확하게 성립하는 자연법칙이며, 이는 이미 이론물리학의 기초에서 표현을 얻어야 한다는 확신에서 비롯되었다. 나는 이미 몇몇 이전 연구\(^{1)}\)에서, 무거움(중력질량)을 관성질량으로 환원함으로써 이 확신에 표현을 부여하고자 하였다. 이러한 노력은 나를, (무한히 작은 범위에 걸쳐 균일한) 중력장이 기준계의 가속 상태로 물리적으로 완전히 대체될 수 있다는 가설로 이끌었다. 이 가설은 직관적으로 다음과 같이 표현할 수 있다: 상자 속에 갇힌 관찰자는, 그 상자가 정적 중력장 속에 정지해 있는 것인지, 아니면 중력장이 없는 공간에서 상자에 작용하는 힘에 의해 유지되는 가속운동을 하고 있는 것인지, 어떤 방법으로도 구별할 수 없다(등가가설, Äquivalenz-Hypothese).
관성질량과 중력질량의 비례법칙이 적어도 매우 높은 정밀도로 성립한다는 것은, 다음과 같은 고찰에 근거한 외트뵈시\(^{2)}\)의 근본적으로 중요한 연구를 통해 알려져 있다. 지구 표면에 정지해 있는 물체에는 중력과, 지구 자전에서 비롯되는 원심력이 함께 작용한다. 이 두 힘 가운데 첫 번째는 중력질량에, 두 번째는 관성질량에 비례한다. 만약 관성질량과 중력질량의 비례관계가 성립하지 않는다면, 이 두 힘의 합력의 방향 — 곧 겉보기 중력(연직 방향)의 방향 — 은 문제 삼는 물체의 물리적 본성에 따라 달라질 수밖에 없을 것이다. 그렇다면 이질적인 강체계의 각 부분에 작용하는 겉보기 중력들은 일반적으로 하나의 합력으로 합쳐지지 않을 것이며, 오히려 일반적으로는 겉보기 중력의 회전모멘트가 남아, 이 계를 비틀림이 없는 실에 매달았을 때 그것이 드러나야 할 것이다. 외트뵈시는 이러한 회전모멘트가 존재하지 않음을 대단히 세심하게 확인함으로써, 그가 조사한 물체들에 대해 두 질량의 비가 물체의 본성과 무관함을 — 곧 물질마다 이 비가 지닐 수 있는 상대적 차이가 이천만분의 일보다 작아야 함을 — 증명하였다.
방사성 물질이 붕괴할 때에는 상당한 양의 에너지가 방출되므로, 상대성이론에 따르면 그 에너지 감소에 대응하는 계의 관성질량 변화는 전체 질량에 비해 결코 작지 않다.\(^{1)}\) 예컨대 라듐이 붕괴할 때 그 감소량은 전체 질량의 1/10000에 이른다. 만약 이러한 관성질량의 변화에 대응하는 중력질량의 변화가 없다면, 외트뵈시의 실험이 허용하는 범위보다 훨씬 큰 관성질량과 중력질량의 어긋남이 존재해야 할 것이다. 그러므로 관성질량과 중력질량의 동일성이 정확하게 성립한다는 것은 매우 개연성이 높다고 보아야 한다. 이러한 이유에서, 중력질량과 관성질량이 물리적으로 본질적으로 같음을 표명하는 등가가설 역시 나에게는 높은 정도의 개연성을 지니는 것으로 여겨진다.\(^{2)}\)
| 각주 |
| 1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 4. 35. S. 898; 4. 38. S. 355; 4. 38. S. 443. |
| 2) B. Eötvös, Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn VIII 1890. Wiedemann, Beiblätter XV. S. 688 (1891). |
| 1) 방출된 에너지 \(E\)에 대응하는 관성질량의 감소는 잘 알려진 대로 \(E/c^2\)이며, 여기서 \(c\)는 광속을 나타낸다. |
| 2) 이 논문의 §7도 참조. |
통상적 상대성이론\(^{3)}\)에 따르면, 힘을 받지 않고 운동하는 점은 다음 방정식에 따라 움직인다.
\[\delta\left\{\int ds\right\} = \delta\left\{\int\sqrt{-dx^2-dy^2-dz^2+c^2dt^2}\right\} = 0. \tag{1}\]
왜냐하면 이 방정식은 질점이 등속직선운동을 한다는 것 이외에 다른 아무것도 의미하지 않기 때문이다. 이는 해밀턴 원리의 형태로 나타낸 운동방정식이다. 실제로 다음과 같이 둘 수도 있다.
\[\delta\left\{\int H\,dt\right\} = 0, \tag{1a}\]
여기서 \(m\)이 질점의 정지질량을 나타낸다면 \(H = -\dfrac{ds}{dt}\,m\)으로 둔 것이다. 이로부터 잘 알려진 방식으로 운동하는 점의 운동량 \(J_x, J_y, J_z\)와 에너지 \(E\)가 다음과 같이 얻어진다.
\[J_x = m\frac{\partial H}{\partial \dot x} = m\frac{\dot x}{\sqrt{c^2-q^2}};\ \text{등},\qquad E = \frac{\partial H}{\partial \dot x}\dot x + \frac{\partial H}{\partial \dot y}\dot y + \frac{\partial H}{\partial \dot z}\dot z - H = \frac{mc^2}{\sqrt{c^2-q^2}}. \tag{2}\]
이 표현 방식은, 통상적 표현에서 \(J_x, J_y, J_z\) 및 \(E\)가 인자 \(c\)를 하나 더 지닌다는 점에서만 통상적 방식과 다르다. 그런데 통상적 상대성이론에서는 \(c\)가 상수이므로, 여기 주어진 체계는 통상적 체계와 동등하다. 유일한 차이는 \(J\)와 \(E\)가 통상적 표현 방식과는 다른 차원을 지닌다는 점뿐이다.
나는 이전의 연구들에서, 등가가설이 광속 \(c\)가 중력퍼텐셜에 의존한다는 결론으로 이어짐을 보인 바 있다. 이로부터 나는, 통상적 상대성이론이 실재에 대한 하나의 근사에 지나지 않으며, 이는 고찰하는 시공 영역에서 중력퍼텐셜이 지나치게 크게 다르지 않은 극한적인 경우에만 성립해야 한다는 견해에 이르렀다. 더 나아가 나는, 정적 중력장 속에서 질점의 운동방정식으로서 다시 방정식 (1) 내지 (1a)를 얻었다. 다만 여기서는 \(c\)를 상수가 아니라, 중력퍼텐셜의 척도를 나타내는 공간좌표의 함수로 파악해야 한다.
(1a)로부터 잘 알려진 방식으로 운동방정식
\[\frac{d}{dt}\left\{\frac{m\dot x}{\sqrt{c^2-q^2}}\right\} = -\frac{mc\,\dfrac{\partial c}{\partial x}}{\sqrt{c^2-q^2}} \tag{3}\]
가 따라 나온다. 운동량은 위와 같은 표현으로 나타남을 알 수 있다. 정적 중력장 속에서 운동하는 질점에 대해서는 일반적으로 (2)식이 그대로 성립한다. (3)식의 우변은 중력장이 질점에 미치는 힘 \(\mathfrak{R}_x\)를 나타낸다. 정지(\(q=0\))의 특수한 경우에는
\[\mathfrak{R}_x = -m\frac{\partial c}{\partial x}\]
이다. 이로부터 \(c\)가 중력퍼텐셜의 역할을 함을 알 수 있다.
느리게 운동하는 점에 대해서는 (2)로부터
\[J_x = \frac{m\dot x}{c},\qquad E - mc = \frac{\tfrac12 m q^2}{c} \tag{4}\]
가 얻어진다. 주어진 속도에서 운동량과 운동에너지는 곧 \(c\)에 반비례한다. 달리 말하면, 운동량과 에너지에 들어가는 관성질량은 \(m/c\)이며, 여기서 \(m\)은 질점에 고유하고 중력퍼텐셜과 무관한 상수를 나타낸다. 이는, 관성이 고찰하는 질점과 그 밖의 모든 질량 사이의 상호작용에서 비롯된다는 마흐의 대담한 사상과 잘 들어맞는다. 왜냐하면 고찰하는 질점 부근에 질량을 쌓아 올리면 그만큼 중력퍼텐셜 \(c\)가 작아지고, 따라서 관성을 규정하는 양 \(m/c\)는 커지기 때문이다.
| 각주 |
| 3) M. Planck, Verh. d. deutsch. phys. Ges. 1906. S. 136 참조. |
양 \(c\)의 공간적 가변성을 도입함으로써 우리는 오늘날 ’상대성이론’이라 불리는 이론의 틀을 이미 깨뜨린 셈이다. 왜냐하면 이제 \(ds\)로 표시한 표현이 좌표의 직교선형변환에 대해 더 이상 불변량이 아니게 되기 때문이다. 그러므로 — 이에는 의심의 여지가 없거니와 — 상대성 원리를 견지하려면, 앞서 그 요소만을 암시한 정적 중력장 이론을 특수한 경우로 포함하도록 상대성이론을 일반화해야 한다.
임의의 치환
\[x' = x'(x,y,z,t),\quad y' = y'(x,y,z,t),\quad z' = z'(x,y,z,t),\quad t' = t'(x,y,z,t)\]
를 통해 새로운 시공계 \(K'(x',y',z',t')\)를 도입하고, 원래의 계 \(K\)에서 중력장이 정적이었다면, 이 치환에 의해 (1)식은 다음과 같은 형태의 방정식으로 옮아간다.
\[\delta\left\{\int ds'\right\} = 0,\]
여기서
\[ds'^2 = g_{11}dx'^2 + g_{22}dy'^2 + \cdots + 2g_{12}dx'dy' + \cdots\]
로 두었으며, 양 \(g_{\mu\nu}\)는 \(x',y',z',t'\)의 함수이다. \(x',y',z',t'\) 대신 \(x_1,x_2,x_3,x_4\)를 쓰고 다시 \(ds'\) 대신 \(ds\)라 쓰면, \(K'\)에 대한 질점의 운동방정식은 다음의 형태를 얻는다.
\[\delta\left\{\int ds\right\}=0,\qquad ds^2=\sum_{\mu\nu}g_{\mu\nu}\,dx_\mu dx_\nu. \tag{1''}\]
이렇게 하여 우리는, 일반적인 경우 중력장이 열 개의 시공 함수
\[\begin{matrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}&g_{14}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}&g_{24}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}&g_{34}\\g_{41}&g_{42}&g_{43}&g_{44}\end{matrix}\qquad(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu})\]
로 특성지어진다는 견해에 이른다. 이 함수들은 통상적 상대성이론의 경우에는
\[\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+c^2\end{matrix}\]
으로 환원되며, 여기서 \(c\)는 상수를 뜻한다. 앞서 고찰한 종류의 정적 중력장에서도 같은 종류의 퇴화가 나타나는데, 다만 이 경우에는 \(g_{44}=c^2\)이 \(x_1,x_2,x_3\)의 함수라는 점이 다르다.
따라서 해밀턴 함수 \(H\)는 일반적인 경우 다음의 값을 갖는다.
\[H=-m\frac{ds}{dt}=-m\sqrt{g_{11}\dot x_1^2+\cdots+2g_{12}\dot x_1\dot x_2+\cdots+2g_{14}\dot x_1+\cdots+g_{44}}. \tag{5}\]
이에 딸린 라그랑주 방정식
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial H}{\partial x}=0 \tag{6}\]
으로부터 곧바로, 점의 운동량 \(J\)와 중력장이 점에 미치는 힘 \(\mathfrak{R}\)에 대한 표현이 얻어진다.
\[J_x=-m\,\frac{g_{11}\dot x_1+g_{12}\dot x_2+g_{13}\dot x_3+g_{14}}{ds/dt}=-m\,\frac{g_{11}dx_1+g_{12}dx_2+g_{13}dx_3+g_{14}dx_4}{ds}, \tag{7}\]
\[\mathfrak{R}_x=-\frac12 m\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_1}\frac{dx_\mu dx_\nu}{ds\cdot dt}=-\frac12 m\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_1}\cdot\frac{dx_\mu}{ds}\cdot\frac{dx_\nu}{dt}. \tag{8}\]
나아가 점의 에너지 \(E\)에 대해서는
\[-E=-\Big(\dot x\frac{\partial H}{\partial \dot x}+\cdots\Big)+H=-m\Big(g_{41}\frac{dx_1}{ds}+g_{42}\frac{dx_2}{ds}+g_{43}\frac{dx_3}{ds}+g_{44}\frac{dx_4}{ds}\Big) \tag{9}\]
이 얻어진다.
통상적 상대성이론의 경우에는 오직 선형 직교치환만이 허용된다. 이제 우리는, 중력장이 물질적 과정에 미치는 작용에 대해, 임의의 치환에 대해서도 공변인 방정식을 세울 수 있음을 보이고자 한다.
우선 질점의 운동법칙에서 \(ds\)가 담당하는 의미로부터, \(ds\)가 절대적 불변량(스칼라)이어야 한다는 결론을 이끌어낼 수 있다. 이로부터, 양 \(g_{\mu\nu}\)가 공변 2계 텐서를 이룬다는 것이 따라 나오는데, 이를 우리는 공변 기본텐서(基本텐서)라 부르기로 한다. 이 텐서가 중력장을 규정한다. 나아가 (7)식과 (9)식으로부터, 질점의 운동량과 에너지가 함께 공변 1계 텐서, 곧 공변 벡터를 이룬다는 것이 따라 나온다.
(역주: 이어지는 §3에서 아인슈타인은, \(ds\)를 국소적으로 민코프스키 좌표 \(d\xi_1,\dots,d\xi_4\)로 옮겨 \(ds^2=d\xi_1^2+d\xi_2^2+d\xi_3^2-d\xi_4^2\)가 되도록 함으로써 \(ds\)가 실제로 측정 가능한 시공 간격임을 보이며, §4에서는 이러한 임의의 중력장 속에서 비간섭적 연속물질의 운동으로부터 반변 운동량-에너지텐서 \(\Theta^{\mu\nu}=\varrho_0\dfrac{dx_\mu}{ds}\dfrac{dx_\nu}{ds}\)와 그 보존법칙 (10)식을 이끌어낸다. 이 보존법칙이 3부에서 다루는 장방정식 유도의 출발점이 된다.)
물질적 과정(역학적, 전기적, 그 밖의 과정)에 대한 운동량-에너지 방정식을 중력장과 관련지어 세운 뒤, 우리에게는 다음의 과제가 남는다. 물질적 과정에 대한 텐서 \(\Theta_{\mu\nu}\)가 주어졌다고 하자. 양 \(g_{ik}\), 곧 중력장을 규정할 수 있게 해 주는 미분방정식은 어떤 것인가? 달리 말하면 우리는 푸아송 방정식
\[\Delta\varphi = 4\pi k\varrho\]
의 일반화를 찾고 있다.
이 과제를 푸는 데 있어서 우리는, 앞서 다룬 문제의 풀이만큼 완전히 필연적인 방법을 찾아내지 못하였다. 몇 가지 가정을 도입할 수밖에 없었는데, 그 정당성은 그럴듯하게 보이기는 하나 자명하지는 않다.
찾고자 하는 일반화는 아마도 다음과 같은 형태를 취할 것이다.
\[\kappa\cdot\Theta_{\mu\nu} = \Gamma_{\mu\nu}, \tag{11}\]
여기서 \(\kappa\)는 상수이고, \(\Gamma_{\mu\nu}\)는 기본텐서 \(g_{\mu\nu}\)로부터 미분연산을 통해 얻어지는 반변 2계 텐서이다. 뉴턴-푸아송 법칙에 대응하여, 이 방정식 (11)이 2계(二階)여야 한다고 요구하고 싶은 마음이 들 것이다. 그러나 강조해야 할 것은, 이러한 가정 아래에서는 \(\Delta\varphi\)의 일반화이면서 동시에 임의의 변환에 대해 텐서로 판명되는 미분표현 \(\Gamma_{\mu\nu}\)를 찾아내는 것이 불가능하다는 사실이 드러난다는 점이다. 물론 선험적으로는, 중력에 대한 최종적이고 정확한 방정식이 2계보다 높은 차수일 가능성을 부정할 수 없다. 따라서 완전히 정확한 중력의 미분방정식이 임의의 치환에 대해 공변일 수 있는 가능성은 여전히 남아 있다. 그러나 이러한 가능성을 논의하려는 시도는, 중력장의 물리적 성질에 관한 우리의 지식이 현재 처한 상태에서는 시기상조일 것이다. 그러므로 우리로서는 2계로 제한하는 것이 불가피하며, 따라서 임의의 변환에 대해 공변임이 판명되는 중력방정식을 세우는 일은 단념할 수밖에 없다. 그런데 우리에게는 중력방정식의 일반공변성을 뒷받침할 어떠한 단서도 없다는 점 또한 강조해 두어야 한다.\(^{1)}\)
(역주: 이 대목은 Entwurf 이론 전체의 운명을 가르는 가장 중요한 고백이다. 아인슈타인은 여기서 이미, 자신이 세우려는 장방정식이 일반공변이 아니라 선형변환에 대해서만 공변일 것임을 명시적으로 인정하고 있다. 이 한계는 1915년 11월에야 리치 텐서를 이용한 완전히 일반공변인 장방정식으로 극복된다.)
라플라스 연산자와 유사한 미분연산자 \(\Gamma_{\mu\nu}\)를 구성하는 절차는, 그로스만이 II부 §2에서 정식화한 확장(Erweiterung)과 발산(Divergenz) 연산 — 아래 5부에서 다룬다 — 을 선형변환에 한하여 임의의 계수까지 반복 적용함으로써 이루어진다. 이렇게 얻어지는 연산자를 \(\Delta_{\mu\nu}(\gamma)\)라 부른다.
이 연산자가 라플라스 연산자와 관계가 있다는 것은, 다음의 고찰을 통해서도 알 수 있다. (중력장이 없는) 상대성이론에서는
\[g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1,\quad g_{44}=c^2,\quad g_{\mu\nu}=0\ (\mu\neq\nu),\]
곧
\[\gamma_{11}=\gamma_{22}=\gamma_{33}=-1,\quad \gamma_{44}=\frac1{c^2},\quad \gamma_{\mu\nu}=0\ (\mu\neq\nu)\]
로 두어야 할 것이다.
충분히 약한 중력장이 존재한다면 — 곧 \(g_{\mu\nu}\)와 \(\gamma_{\mu\nu}\)가 방금 제시한 값들과 무한소로만 차이가 난다면 — 2차 항들을 무시할 때, \(\Delta_{\mu\nu}(\gamma)\)의 주요 항으로서 다음의 표현을 얻는다.
\[-\left(\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_3^2}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_4^2}\right).\]
이제 장이 정적이고 오직 \(g_{44}\)만 변화한다면, 이렇게 구성된 표현을 (상수 인자를 무시하고) 양 \(\Gamma_{\mu\nu}\)로 삼을 경우, 우리는 뉴턴 중력이론의 경우로 되돌아가게 된다.
아인슈타인은 이어서, 정전기학에서 포텐셜 방정식이 운동량 보존법칙(임펄스 정리)을 만족시킨다는 항등식을 본보기로 삼아, 같은 방법으로 \(\Gamma_{\mu\nu}\)가 만족해야 할 항등식을 구성한다.\(^{2)}\) 이 항등식을 풀어 얻어지는 것이 다음의 양이다.
\[-2\kappa\cdot\vartheta_{\mu\nu}=\sum_{\alpha\beta\tau\rho}\left(\gamma_{\alpha\mu}\gamma_{\beta\nu}\frac{\partial\gamma_{\tau\rho}}{\partial x_\alpha}\cdot\frac{\partial\gamma_{\tau\rho}}{\partial x_\beta}-\frac12\gamma_{\mu\nu}\gamma_{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\tau\rho}}{\partial x_\alpha}\cdot\frac{\partial\gamma_{\tau\rho}}{\partial x_\beta}\right). \tag{13}\]
\(\vartheta_{\mu\nu}\)를 ’중력장의 반변 운동량-에너지텐서’라 부르기로 한다.
이로부터, 중력방정식에 들어가는 미분텐서에 대한 표현으로서
\[\Gamma_{\mu\nu} = \Delta_{\mu\nu}(\gamma) - \kappa\cdot\vartheta_{\mu\nu} \tag{17}\]
가 따라 나온다. 그러므로 중력방정식 (11)은 다음과 같이 쓰인다.
\[\Delta_{\mu\nu}(\gamma) = \kappa(\Theta_{\mu\nu}+\vartheta_{\mu\nu}). \tag{18}\]
이 방정식들은, 우리가 보기에 중력의 상대성이론에 반드시 요구되어야 할 조건을 충족시킨다. 곧, 이 방정식들은 중력장의 텐서 \(\vartheta_{\mu\nu}\)가 물질적 과정의 텐서 \(\Theta_{\mu\nu}\)와 똑같은 방식으로 장을 일으키는 원천으로 작용함을 보여 준다. 중력에너지가 다른 모든 종류의 에너지에 대해 예외적 지위를 갖는다면, 이는 받아들일 수 없는 귀결로 이어질 것이다.
(10)식과 앞서 얻은 항등식을 더하고 (18)식을 고려하면 다음을 얻는다.
\[\sum_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x_\nu}\Big\{\sqrt{-g}\cdot g_{\sigma\mu}(\Theta_{\mu\nu}+\vartheta_{\mu\nu})\Big\}=0.\qquad(\sigma=1,2,3,4) \tag{19}\]
이로부터, 물질과 중력장을 합한 전체에 대해 보존법칙이 성립함을 알 수 있다.
아인슈타인은 이어서, 지금까지 반변텐서 위주로 전개한 서술을 공변텐서로도 똑같이 나타낼 수 있음을 보인다. 물질적 과정의 공변 운동량-에너지텐서를 \(T_{\mu\nu}=\sum_{\alpha\beta} g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\Theta_{\alpha\beta}\)로 도입하면, 중력장의 방정식은 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.
\[-D_{\mu\nu}(g) = \kappa(t_{\mu\nu}+T_{\mu\nu}), \tag{21}\]
여기서 \(t_{\mu\nu}\)는 \(\vartheta_{\mu\nu}\)에 대응하는 공변 중력장 텐서이고, \(D_{\mu\nu}(g)\)는 \(\Delta_{\mu\nu}(\gamma)\)에 대응하여 기본텐서 \(g\)에 대해 수행한 미분연산이다. 이에 대응하여 보존법칙 (19)도
\[\sum_{\nu}\frac{\partial}{\partial x_\nu}\Big\{\sqrt{-g}\cdot\gamma_{\sigma\mu}(T_{\mu\nu}+t_{\mu\nu})\Big\}=0 \tag{22}\]
의 형태로 쓸 수 있다.
(역주: 이렇게 얻어진 장방정식 (18) \(\Delta_{\mu\nu}(\gamma)=\kappa(\Theta_{\mu\nu}+\vartheta_{\mu\nu})\)이 바로 “Entwurf 장방정식”이다. 이어지는 §6에서 아인슈타인은 이 이론이 전자기 현상, 곧 맥스웰 방정식의 일반화에도 적용됨을 보이고, §7에서는 중력장을 하나의 스칼라로 환원하려는 대안 이론을 논박한다. 두 절 모두 이 5번째 목표 항목의 범위를 벗어나므로 여기서는 다루지 않는다.)
| 각주 |
| 1) 이러한 사정에 관해서는 §6의 첫머리에서 제시하는 고찰도 참조하라. |
| 2) 이 유도의 세부 절차는 II부 §4, Nr. 3에서 엄밀하게 증명된다 (5부 참조). |
이 논문에서 뉴턴 중력이론과의 관계를 직접 다루는 대목은, 위 3부에서 이미 번역한 §5의 다음 구절이다(중복을 피하기 위해 요지만 다시 정리한다):
(역주: 이용자께서 요청하신 “회전계·뉴턴 극한 논의” 가운데 뉴턴 극한 부분은 위와 같이 이 논문 §5에 명시적으로 들어 있다. 그러나 “회전계”(rotierendes Bezugssystem)를 구체적인 예로 들어 등가원리·비유클리드 시공 구조를 예증하는 대목은, 확인한 바로는 이 1913년 Entwurf 논문 자체에는 나오지 않는다. 회전원판 위의 관측자가 겪는 비유클리드적 기하(원주와 반지름의 비가 \(2\pi\)에서 벗어남)와 회전계에서 시계가 위치에 따라 다르게 가는 현상을 구체적으로 다루는 것은, 이보다 앞선 아인슈타인의 1912년 논문 “Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes”와 “Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes”에서이다. 다만 그 사상적 연결고리는 이 Entwurf 논문에도 뚜렷이 남아 있다: 1부에서 번역한 서론의 등가가설 — “상자 속에 갇힌 관찰자는 …… 중력장이 없는 공간에서 상자에 작용하는 힘에 의해 유지되는 가속운동을 하고 있는 것인지 …… 어떤 방법으로도 구별할 수 없다” — 은 회전운동을 포함한 모든 가속운동을 원리적으로 포괄하며, 2부에서 번역한 §2의 “정적 중력장을 임의의 중력장(beliebiges Schwerefeld)으로 일반화한다”는 프로그램 역시 회전계에서 나타나는 것과 같은 비정적(非靜的)이고 비유클리드적인 계량을 다루기 위한 것이다. 요컨대 회전계는 이 논문이 다루는 “임의의 중력장” 개념의 동기가 되는 대표적 사례이지만, 이 논문 자체에서 독립된 절로 상세히 전개되지는 않는다.)
역주: 이하는 II부(수학부, 마르셀 그로스만 지음)의 §1, §2, §4에서, 3부에 나온 Entwurf 장방정식의 기호와 연산을 이해하는 데 직접 필요한 대목만을 추려 옮긴 것이다. 특수텐서(§3, 판별식텐서·쌍대텐서)는 §6의 맥스웰 방정식 일반화에 주로 쓰이므로 이 선별 번역에서는 생략하였다.
선소(線素)의 불변성
\[ds^2 = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu}\,dx_\mu dx_\nu\]
로 특성지어지는 중력장의 벡터해석을 전개하는 데 필요한 수학적 도구는, 이차미분형식의 변환에 관한 크리스토펠의 근본적인 논문\(^{1)}\)으로 거슬러 올라간다. 리치와 레비-치비타\(^{2)}\)는 크리스토펠의 결과에서 출발하여, 좌표계에 무관한 절대미분법을 발전시켰으며, 이는 수리물리학의 미분방정식에 불변적인 형태를 부여할 수 있게 해 준다.
\[ds^2 = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu}\,dx_\mu dx_\nu \tag{1}\]
를, 무한히 가까운 두 시공점 사이의 거리를 나타내는 불변적 척도인 선소의 제곱이라 하자.
변수의 치환 \(x_i=x_i(x_1',\dots,x_n')\) 또는 그 미분의 치환
\[dx_i=\sum_k \frac{\partial x_i}{\partial x_k'}dx_k' = \sum_k p_{ik}\,dx_k',\qquad dx_k'=\sum_i \frac{\partial x_k'}{\partial x_i}dx_i=\sum_i \pi_{ki}\,dx_i \tag{3}\]
에 대해, 선소의 계수들은 다음 식에 따라 변환된다.
\[g'_{rs}=\sum_{\mu\nu} p_{\mu r}p_{\nu s}\,g_{\mu\nu}. \tag{4}\]
\(g\)를 미분형식 (1)의 판별식, 곧 행렬식 \(g=|g_{\mu\nu}|\)라 하자. \(\gamma_{\mu\nu}\)를 \(g\)의 원소 \(g_{\mu\nu}\)에 대한 여인수를 판별식으로 나눈(“정규화한”) 것이라 하면, 이 양 \(\gamma_{\mu\nu}\)는 다음 식에 따라 변환된다.
\[\gamma'_{rs}=\sum_{\mu\nu}\pi_{\mu r}\pi_{\nu s}\,\gamma_{\mu\nu}. \tag{5}\]
이제 우리는 다음과 같이 정의한다.
I. 변수 \(x\)의 함수들의 계 \(T_{i_1i_2\cdots i_\lambda}\)가, 다음 식에 따라 변환될 때 이를 \(\lambda\)계(階) 공변텐서라 부른다.
\[T'_{r_1r_2\cdots r_\lambda}=\sum p_{i_1r_1}p_{i_2r_2}\cdots p_{i_\lambda r_\lambda}\cdot T_{i_1i_2\cdots i_\lambda}. \tag{6}\]
II. 변수 \(x\)의 함수들의 계 \(\Theta^{i_1i_2\cdots i_\lambda}\)가, 다음 식에 따라 변환될 때 이를 \(\lambda\)계 반변텐서라 부른다.
\[\Theta^{r_1r_2\cdots r_\lambda}=\sum \pi_{i_1r_1}\pi_{i_2r_2}\cdots\pi_{i_\lambda r_\lambda}\cdot\Theta^{i_1i_2\cdots i_\lambda}. \tag{7}\]
III. 변수 \(x\)의 함수들의 계가, 공변으로는 \(\mu\)계, 반변으로는 \(\nu\)계로서 (6),(7)에 대응하는 방식으로 변환될 때, 이를 혼합텐서라 부른다. (8식, 구조는 위와 마찬가지이므로 생략)
이 정의들과 (4),(5)식으로부터 다음이 따라 나온다.
양 \(g_{\mu\nu}\)는 공변, 양 \(\gamma_{\mu\nu}\)는 반변인 2계 텐서를 이루며, 이들은 \(n=4\)인 경우 중력장의 기본텐서이다. 양 \(dx_i\)는 (3)식에 따라 반변 1계 텐서를 이룬다. 1계 텐서는 제1종 벡터, 곧 \(n=4\)일 때 사원벡터(四元벡터)라고도 부른다.
우리는 다음과 같은 일반적 정의를 도입한다.
I. \(\lambda\)계 공변(반변) 텐서의 확장(擴張, Erweiterung)이란, 그로부터 ’공변(반변) 미분’을 통해 얻어지는 \((\lambda+1)\)계 공변(반변) 텐서를 말한다.
크리스토펠에 따르면
\[T_{r_1r_2\cdots r_\lambda s}=\frac{\partial T_{r_1r_2\cdots r_\lambda}}{\partial x_s}-\sum_k\left(\Big\{{\textstyle r_1s\atop k}\Big\}T_{kr_2\cdots r_\lambda}+\Big\{{\textstyle r_2s\atop k}\Big\}T_{r_1k\cdots r_\lambda}+\cdots+\Big\{{\textstyle r_\lambda s\atop k}\Big\}T_{r_1r_2\cdots k}\right) \tag{16}\]
은 \(\lambda\)계 공변텐서로부터 얻어지는 \((\lambda+1)\)계 공변텐서이다. 리치와 레비-치비타는 이 식 우변의 미분연산을 텐서 \(T_{r_1r_2\cdots r_\lambda}\)의 ’공변미분’이라 부른다. 여기서
\[\Big\{{\textstyle rs\atop u}\Big\}=\sum_t \gamma_{ut}[rs,t], \tag{17}\]
\[[rs,t]=\frac12\left(\frac{\partial g_{rt}}{\partial x_s}+\frac{\partial g_{st}}{\partial x_r}-\frac{\partial g_{rs}}{\partial x_t}\right) \tag{18}\]
이다. \([rs,t]\)와 \(\{{\textstyle rs\atop u}\}\)는 각각 제1종·제2종 크리스토펠 삼중지표 기호이며, (17)식을 풀면
\[[rs,u]=\sum_t g_{ut}\Big\{{\textstyle rs\atop t}\Big\} \tag{19}\]
를 얻는다.
(16)식에서 공변텐서 대신 그에 상반(相反, reziprok)하는 반변텐서를 대입하면, ’반변 확장’으로서
\[\Theta^{r_1r_2\cdots r_\lambda s}=\sum_i\gamma_{si}\left(\frac{\partial\Theta^{r_1r_2\cdots r_\lambda}}{\partial x_i}+\Big\{{\textstyle ik\atop r_1}\Big\}\Theta^{kr_2\cdots r_\lambda}+\cdots+\Big\{{\textstyle ik\atop r_\lambda}\Big\}\Theta^{r_1r_2\cdots k}\right) \tag{20}\]
를 얻는다.
II. \(\lambda\)계 공변(반변) 텐서의 발산(發散, Divergenz)이란, 그 확장을 반변(공변) 기본텐서와 내적(內積)으로 곱함으로써 얻어지는 \((\lambda-1)\)계 공변(반변) 텐서를 말한다.
이에 따라 공변텐서 \(T_{r_1r_2\cdots r_\lambda}\)의 발산은 텐서
\[T_{r_2\cdots r_\lambda}=\sum_{sr_1}\gamma_{sr_1}T_{r_1r_2\cdots r_\lambda s} \tag{21}\]
이고, 반변텐서 \(\Theta^{r_1r_2\cdots r_\lambda}\)의 발산은 텐서
\[\Theta^{r_2\cdots r_\lambda}=\sum_{sr_1}g_{sr_1}\Theta^{r_1r_2\cdots r_\lambda s} \tag{22}\]
이다. 텐서의 발산은 그 텐서로부터 유일하게 정해지지 않는다. (21),(22)식에서 \(r_1\) 대신 지표 \(r_2,r_3,\dots,r_\lambda\) 가운데 어느 것을 택하는가에 따라 결과가 일반적으로 달라진다.
III. 텐서에 대한 일반화된 라플라스 연산이란, 확장과 발산을 차례로 시행하는 것을 말한다. 그러므로 일반화된 라플라스 연산은 하나의 텐서로부터, 그와 같은 종류이며 같은 계수를 갖는 텐서를 만들어낸다.
(역주: 3부에서 아인슈타인이 도입한 연산자 \(\Delta_{\mu\nu}(\gamma)\)와 \(D_{\mu\nu}(g)\)는, 바로 여기서 정의한 ‘확장 다음에 발산을 시행하는’ 일반화된 라플라스 연산을 기본텐서 \(\gamma_{\mu\nu}\) 자신 — 곧 2계 텐서 — 에 적용한 것이다.)
특수한 경우로서, 출발텐서가 스칼라 \(T\)라면 \(T_r=\dfrac{\partial T}{\partial x_r}\)는 스칼라 \(T\)의 공변 확장, 곧 ’기울기(그래디언트)’라 부르는 공변 1계 텐서(사원벡터)이다. 이 기울기의 발산을 구하면
\[\frac{1}{\sqrt g}\sum_r \frac{\partial}{\partial x_r}\left(\sqrt g\,\gamma_{rs}\frac{\partial T}{\partial x_r}\right) \tag{25}\]
의 형태로 쓸 수 있다. 기울기의 발산은 스칼라 \(T\)에 대해 일반화된 라플라스 연산을 시행한 결과이며, 스칼라 \(T\)의 제2 벨트라미 미분매개변수와 일치한다.
(역주: 이 (25)식이야말로, 3부 §5에서 아인슈타인이 “찾고자 하는 것은 푸아송 방정식 \(\Delta\varphi=4\pi k\varrho\)의 일반화”라고 말할 때 염두에 둔 바로 그 일반화된 라플라시안의 원형이다.)
I부 10쪽의 (10)식 — 인자 \(\sqrt{-1}\)을 제외하면 다음과 같다 —
\[\sum_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x_\nu}(\sqrt{-g}\cdot g_{\sigma\mu}\cdot\Theta_{\mu\nu})-\frac12\sqrt{-g}\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\cdot\Theta_{\mu\nu}=0\qquad(\sigma=1,2,3,4)\]
가 임의의 변환에 대해 공변으로 거동함을 증명해야 한다.
(역주: 이하의 증명 과정은 §2에서 정의한 발산 연산을 (10)식에 직접 적용하는 대수적 절차이며, 결론만 옮기면 다음과 같다.)
그리하여
\[T_\sigma=\sum_{\mu\nu}\frac1{\sqrt g}\frac{\partial}{\partial x_\nu}(\sqrt g\cdot g_{\sigma\mu}\Theta_{\mu\nu})-\frac12\sum_{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\cdot\Theta_{\mu\nu}\]
가 남으며, 이는 인자 \(1/\sqrt g\)를 제외하면 바로 문제의 방정식의 좌변이다. 따라서 그 방정식을 \(\sqrt g\)로 나누면, 좌변은 공변벡터의 \(\sigma\)성분을 나타내며, 그러므로 실제로 공변이다. 그러므로 이 네 방정식의 내용은 다음과 같이도 말할 수 있다: 물질적 흐름 내지 물리적 과정의 (반변) 운동량-에너지텐서의 발산은 사라진다.
중력장의 미분방정식을 세우는 문제(I부 §5)는, 이차미분형식 \(ds^2=\sum g_{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu\)의 미분불변량과 미분공변량에 우리의 주의를 돌리게 한다.
이 미분공변량의 이론은, 우리의 일반벡터해석의 관점에서, 하나의 중력장과 함께 주어지는 미분텐서들로 이어진다. (임의의 변환에 대한) 이 미분텐서들의 완전한 체계는, 리만이 발견하고 그와 독립적으로 크리스토펠이 발견한 공변 4계 미분텐서로 거슬러 올라간다. 이를 우리는 리만 미분텐서라 부르기로 하며, 그 표현은 다음과 같다.
\[R_{iklm}=(ik,lm)=\frac12\left(\frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x_k\partial x_l}+\frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x_i\partial x_m}-\frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x_k\partial x_m}-\frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x_i\partial x_l}\right)+\sum_{\rho\sigma}\gamma_{\rho\sigma}\big([im,\rho][kl,\sigma]-[il,\rho][km,\sigma]\big). \tag{43}\]
공변인 대수적·미분적 연산을 통해, 이 리만 미분텐서와 판별식텐서(§3, 식 38)로부터 다양체의 미분텐서(따라서 미분불변량 역시)의 완전한 체계를 얻을 수 있다.
\((ik,lm)\)은 또한 제1종 크리스토펠 사중지표 기호라고도 부른다. (제2종 사중지표 기호와 그 관계식은 생략)
미분기하학에서 이러한 개념 구성이 갖는 두드러진 의의는, 이 일반적인 미분텐서들이 중력장의 미분방정식 문제에도 의미를 지닐 수 있으리라는 것을 선험적으로 그럴듯하게 만든다. 실제로 우선, 그 방정식에 들어갈 수 있는 공변 2계·2차 미분텐서 \(G_{im}\)을 다음과 같이 제시할 수 있다.
\[G_{im}=\sum_{kl}\gamma_{ki}(ik,lm)=\sum_k\Big\{{\textstyle ik\atop km}\Big\}. \tag{46}\]
그러나 이 텐서는, 무한히 약한 정적 중력장이라는 특수한 경우에 표현 \(\Delta\varphi\)로 환원되지 않는다는 것이 드러난다. 그러므로 우리는, 중력장과 결부된 미분텐서에 관한 일반이론이 중력방정식의 문제와 어떤 관계를 맺는지의 물음을 미해결로 남겨 둘 수밖에 없다. 만약 중력방정식이 임의의 치환을 허용해야 한다면 이러한 관계가 반드시 존재해야 할 것이다. 그러나 바로 그 경우에는 2계 미분방정식을 찾아내는 것이 불가능해 보인다. 이와 반대로, 중력방정식이 오직 어떤 특정한 변환군만을 허용한다는 것이 확정된다면, 일반이론이 제공하는 미분텐서만으로는 충분하지 않다는 것도 이해할 수 있는 일이 될 것이다. 물리학부에서 상술한 바와 같이, 우리는 이 물음들에 대해 결론을 내릴 수 있는 처지에 있지 않다. —
(역주: 여기서 그로스만이 제시한 텐서 \(G_{im}=\sum_k\{{\textstyle ik\atop km}\}\)은 리만 텐서를 축약하여 얻은 것으로, 오늘날의 리치 텐서 \(R_{im}\)에 해당한다. 그로스만과 아인슈타인은 이를 중력장방정식의 좌변으로 시도해 보았으나, 정적 약한 장의 극한에서 뉴턴의 \(\Delta\varphi\)로 환원되지 않는다고 판단하여 이를 포기하였다. 이 판단은 훗날 오류로 판명된다 — 좌표조건 없이 리치 텐서만으로는 그 극한이 성립하지 않지만, 적절한 조화좌표 조건(\(\sqrt{-g}=1\) 등)을 덧붙이면 실제로 성립하기 때문이다. 이 점은 1915년 최종 이론에 이르러서야 비로소 인식되고 해결된다. 이런 뜻에서 이 대목은 일반상대성이론 형성사에서 가장 유명한 “아깝게 놓친 기회”로 꼽힌다.)
아인슈타인이 기술한 중력방정식의 유도(I부 §5)는, 세부적으로 다음과 같이 수행된다.
우리는 에너지수지에서 반드시 나타나리라고 예상되는 항
\[U=\sum_{\alpha\beta\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha}\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\Big(\sqrt g\,\gamma_{\alpha\beta}\frac{\partial\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\beta}\Big) \tag{47}\]
에서 출발하여, 부분적분을 통해 이를 변형한다.
(역주: 이하 이어지는 계산은, 항 \(U\)에 부분적분을 반복 적용하여 새로운 양 \(A\), \(B\)와 보조량 \(V\), \(W\), \(X\)를 차례로 정의하고, 최종적으로 이들 사이의 항등식 \[2U - V + W + 2X = 2A - B\] 를 얻는 대수적 절차이다. 이 항등식은 I부 §5에서 제시된 항등식과 동일함이 확인되며, 이로써 \(\Gamma_{\mu\nu}=\Delta_{\mu\nu}(\gamma)-\kappa\vartheta_{\mu\nu}\)라는 결과, 곧 3부의 (13)·(17)식이 엄밀하게 정당화된다. 순전히 기계적인 미분·재정렬 절차인 세부 전개는 여기서는 생략한다.)
이 항등식은 곧 I부 §5에서 제시된 항등식과 동일하다.
(맺음말: 이상으로 Entwurf 논문 3쪽부터 38쪽까지에 걸친 다섯 항목의 선별 번역을 마친다. 이 논문은 일반상대성이론이 완성되기까지의 결정적 중간 기착지로서, 등가원리의 일반화, 계량텐서를 통한 중력장의 표현, 절대미분법의 물리학 도입, 그리고 (뒤늦게 판명되지만) 리치 텐서에 이미 근접했던 그로스만의 통찰을 모두 담고 있다. 동시에 아인슈타인 스스로 밝히듯, 이 이론의 장방정식이 일반공변이 아니라 선형변환에 대해서만 공변이라는 근본적 한계 역시 뚜렷이 드러난다. 이 한계를 극복하는 과정이 바로 이 프로젝트에서 이미 번역한 1915년 11월의 네 논문(일반상대성이론에 관하여, 그 추록, 수성 근일점 운동의 설명, 그리고 최종 장방정식)으로 이어진다.)