지은이: A. 아인슈타인
역주: 이 논문은 아인슈타인이 1907년에 발표한 “Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen”(상대성원리와 그로부터 이끌어낸 결론들)으로, 학술지 Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik* 제4권(1907), 411–462쪽에 실린 총설 논문이다. 1905년의 특수상대성이론 논문(“운동하는 물체의 전기역학에 대하여”)을 발표한 지 2년 뒤에 쓴 이 글에서 아인슈타인은 특수상대성이론 전체를 처음부터 체계적으로 재구성해 제시하는 한편, 마지막 제5부에서는 가속계와 중력을 다루며 등가원리(等價原理)를 세계 최초로 도입한다 — 이는 이후 일반상대성이론(1915–16)으로 이어지는 첫걸음이라는 점에서 이 논문의 가장 중요한 사료적 가치이다.
저본은 원 학술지 권호의 공개 스캔본(1907년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인)이며, 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다. 이 논문에는 짧은 절이 매우 많으므로(전체 5부, 총 20여 개 절), 절 제목과 번호는 원문의 것을 그대로 보존하였다. 크리스토펠 기호나 텐서 표기는 아직 등장하지 않으며(이 논문은 특수상대성이론 단계이므로), 좌표·속도·힘 표기는 이 프로젝트의 앞선 번역들과 마찬가지로 현재 한국 대학 물리학 표준 표기와 용어를 따랐다. 수식 번호는 원문의 것을 보존하되, 원문이 절마다 (1)부터 다시 시작하는 경우 절 제목 옆에 이를 명시하였다.*
어떤 물리적 사건을 기술하려면, 공간의 각 점에서 일어나는 사건들을 장소와 시간에 따라 정할 수 있어야 한다.
공간의 한 점에서 무한히 짧은 시간 동안 일어나는 사건(점사건)을 장소에 따라 정하려면, 서로 수직으로 세워지고 서로 단단히 연결된 세 개의 강체 막대로 이루어진 데카르트 좌표계, 그리고 하나의 강체 단위자를 필요로 한다.\(^{1)}\) 기하학은 한 점의 위치, 곧 점사건의 자리를, 세 개의 수치(좌표 \(x,\,y,\,z\))로 정할 수 있게 해 준다.\(^{2)}\) 점사건을 시간에 따라 정하려면, 좌표계에 대해 정지해 있으면서 그 점사건이 일어나는 자리에 아주 가까이 놓인 시계를 사용한다. 점사건의 시각은 그 시계가 사건과 동시에 가리키는 값으로 정의된다.
우리는 좌표계에 대해 정지해 있는 시계를 여러 점에 두루 놓아 생각한다. 이 시계들은 모두 같은 성능을 가진 것으로 하며, 곧 나란히 놓았을 때 두 시계가 가리키는 값의 차이는 바뀌지 않아야 한다. 이 시계들을 어떤 방식으로든 맞추어 놓으면, 시계들이 서로 충분히 촘촘한 간격으로 배열되어 있는 한, 임의의 점사건 — 곧 가장 가까운 시계로 — 을 시간에 따라 정할 수 있게 된다.
그러나 이렇게 놓인 시계들의 총체만으로는, 우리가 물리학적 목적을 위해 필요로 하는 “시간”이 아직 주어지지 않는다. 오히려 우리는 이 시계들을 서로 어떻게 맞추어야 하는지에 관한 별도의 규정을 필요로 한다.
이제 우리는, 진공 속을 지나는 임의의 광선의 전파 속도가 — 이 시계들로 측정할 때 — 어디서나 하나의 보편 상수 \(c\)와 같도록 시계를 맞출 수 있다고 가정한다. 다만 이는 좌표계가 가속되어 있지 않다는 것을 전제로 한다. \(A\)와 \(B\)를 좌표계에 대해 정지해 있고 서로 거리 \(r\)만큼 떨어진 두 점이라 하고, \(t_A\)를 진공을 지나 \(A\)에서 \(B\) 방향으로 나아가는 광선이 \(A\)점에 도달하는 순간 \(A\)의 시계가 가리키는 값, \(t_B\)를 그 광선이 \(B\)점에 도달하는 순간 \(B\)의 시계가 가리키는 값이라 하면, 광선을 방출하는 광원이나 다른 물체들이 어떻게 움직이고 있든 관계없이 언제나
\[t_B - t_A = \frac{r}{c} \tag{1}\]
이어야 한다.
우리가 여기서 “빛의 속도 불변의 원리”라 부르고자 하는 이 가정이 실제 자연에서 성립하는지는 결코 자명하지 않다. 그럼에도 이 가정은 — 적어도 어떤 특정한 운동 상태에 있는 좌표계에 대해서는 — 절대적으로 정지한 에테르를 가정하는 로렌츠 이론이 뒷받침을 얻어 온 여러 실험적 확증에 의해 개연성이 높은 것으로 보인다.\(^{1)}\)
여기서 정의된 대로 맞추어진 시계들 각각이 가리키는 값 전체를, 우리는 좌표계의 각 점에 정지해 있는 것으로 생각할 수 있는 한, 그 사용된 좌표계에 속하는 시간, 줄여서 이 계(系)의 시간이라 부른다.
사용하는 좌표계와 그에 딸린 단위자, 그리고 계의 시간을 결정하는 데 쓰이는 시계들을 통틀어 우리는 “기준계 \(S\)”라 부른다. 우리는 이제 기준계 \(S\)에 대해 자연법칙이 결정되어 있다고 생각하며, 이 계는 처음에는 어떤 태양에 대해 정지해 있다고 하자. 이제 기준계 \(S\)가 어떤 외부 원인에 의해 얼마간 가속되었다가 다시 가속이 없는 상태로 돌아온다고 하자. 그 사건들이 이제 다른 운동 상태에 있게 된 기준계 \(S\)와 관련될 때, 자연법칙은 어떻게 나타날 것인가?
이 물음에 관해 우리는, 미켈슨과 몰리의 실험에 의해서도 뒷받침되는, 생각할 수 있는 가장 단순한 가정을 세운다. 곧, 자연법칙은 기준계의 운동 상태와 무관하다 — 적어도 그 기준계가 가속되어 있지 않은 한. 이 가정을 우리는 “상대성원리”라 부르며, 위에서 제시한 빛의 속도 불변의 원리와 더불어 이 뒤로 우리 논의의 토대로 삼기로 한다.
| 각주(§1) 1) 여기서 “강체”라 함은, 그 길이나 시계의 진행 속도가 정지와 운동 사이를 오가는 과정에서 지속적인 변화를 겪지 않는다는 물리적 전제 위에 세운 것이다. 2) \(\varphi(v) = -1\)이 되는 경우는 물론 여기서 고려 대상이 아니다. |
우리는 서로 가속 없이(즉 서로에 대해 정지해) 있는 강체들 여럿을 생각한다. 상대성원리에 따라, 이 물체들의 공통 운동 상태가 바뀌더라도, 그 물체들이 서로에 대해 공간적으로 어떻게 무리 지을 수 있는지를 규정하는 법칙 자체는 바뀌지 않는다고 결론지을 수 있다. 여기서 강체의 배치 가능성을 규정하는 기하학의 법칙은, 그 물체들의 공통 운동 상태와 무관하게 언제나 같은 방식으로 성립한다는 결론이 따라 나온다. 가속 없이 운동하는 물체의 형태에 관한 언명은 그 자체로 직접적인 의미를 가진다. 우리는 이렇게 정의된 뜻에서 물체의 형태를, 그 운동 상태와 무관한 것으로서, “기하학적 형태”라 부르고자 한다.
§1에서 정의한 대로, 시간에 대한 진술은 오직 정해진 운동 상태에 있는 하나의 기준계와 관련해서만 의미를 가진다. 따라서 (뒤에서 드러나겠지만) 어떤 기준계 \(S\)에 대해 동시(同時)인, 공간적으로 떨어진 두 점사건이, 다른 운동 상태에 있는 기준계 \(S'\)에 대해서는 일반적으로 동시가 아니리라는 것을 짐작할 수 있다.
물질점들로 이루어진 물체가 어떤 기준계 \(S\)에 대해 임의로 운동하고 있다고 하자. \(S\)의 시각 \(t\)에서, 이 물체의 각 물질점 \(P\)는 \(S\)에서 어떤 특정한 위치를 차지하며, 곧 \(S\)에 대해 정지해 있는 점 \(\varPi\)와 일치한다. \(S\)의 좌표계에 대한 이 점들 \(\varPi\)의 위치 전체를, 우리는 시각 \(t\)에서의 물체의 위치라 부르며, 이 점들 \(\varPi\) 상호간의 위치관계 전체를, \(S\)에 대한 그 시각의 물체의 운동학적 형태라 부른다. 물체가 \(S\)에 대해 정지해 있다면, \(S\)에 대한 그 운동학적 형태는 그 기하학적 형태와 동일하다.
\(S\)에 대해 정지해 있는 어떤 관찰자는, 자신에 대해 운동하는 물체의 운동학적 형태만을 확인할 수 있을 뿐, 그 물체의 기하학적 형태는 확인할 수 없음이 분명하다.
이후 우리는 기하학적 내용과 운동학적 내용을 명시적으로 구별하지 않는 경우가 많을 것이다. 어떤 진술이 기하학적 내용에 관한 것인지 운동학적 내용에 관한 것인지는, 그것이 하나의 기준계 \(S\)와 관련된 것인지 아닌지에 따라 정해진다.
\(S\)와 \(S'\)을 동등한 두 기준계라 하자 — 곧, 이 두 물체가 서로 상대적으로 정지한 상태에 있다면 같은 길이의 단위자와 같은 속도로 가는 시계를 갖는 기준계들이다. \(S\)에서 성립하는 자연법칙은, \(S'\)이 \(S\)에 대해 균일한 병진운동을 하고 있는 경우, \(S'\)에서도 정확히 같은 형태로 성립한다는 것이 자명하다. 상대성원리는, \(S'\)이 \(S\)에 대해 균일한 병진운동을 한다는 경우에도 이러한 완전한 일치가 성립할 것을 요구한다. 특히, 두 기준계에 대해 진공 속 빛의 속도는 같은 값으로 나와야 한다.
점사건 하나가 \(S\)에 대해서는 변수 \(x,\,y,\,z,\,t\)로, \(S'\)에 대해서는 변수 \(x',\,y',\,z',\,t'\)로 정해진다고 하자. 다만 \(S\)와 \(S'\)은 가속 없이 서로 운동하고 있다. 우리는 첫째 조의 변수들과 둘째 조의 변수들 사이에 성립하는 방정식을 구하고자 한다.
이 방정식들 가운데, 우리는 곧바로 다음을 말할 수 있다. 곧, 공간과 시간의 균질성(均質性)이 요구하는 바에 따라, 이 방정식들은 언급된 변수들에 대해 선형(線型)이어야 한다는 것이다. 이로부터 특히, \(S'\)의 좌표 평면들은 — \(S\)에 대해 본 — 균일하게 운동하는 평면들이어야 한다는 결론이 따라 나온다. 다만 이 평면들이 일반적으로 서로 수직일 필요는 없다. 그러나 우리는 \(x'\)축의 위치를, \(S\)에 대해 본 \(S'\)의 병진운동 방향과 같은 방향을 갖도록 택하기로 한다. 그러면 대칭성의 근거에 의해, \(S'\)의 좌표 평면들은 — \(S\)에 대해 본 — 서로 수직이어야 한다는 것이 따라 나온다. 우리는 이제 두 좌표계의 위치를, 특별히, \(S\)의 \(x\)축과 \(S'\)의 \(x'\)축이 늘 겹치고, \(S'\)의 \(y'\)축은 — \(S\)에 대해 본 — \(S\)의 \(y\)축과 평행하도록 택할 수 있고 또 그렇게 택하고자 한다. 나아가 우리는 두 계에서 시간의 원점을, 두 좌표계의 원점이 일치하는 순간으로 택하고자 한다. 그러면 구하려는 선형 변환방정식은 동차식(同次式)이 된다.
이제 이렇게 알려진, \(S\)에 대해 본 \(S'\)의 좌표 평면들의 위치로부터, 우리는 곧바로 다음 방정식들의 짝이 각각 서로 뜻이 같음을 말할 수 있다.
\[x' = 0 \ \text{와}\ x - vt = 0\] \[y' = 0 \ \text{와}\ y = 0\] \[z' = 0 \ \text{와}\ z = 0\]
따라서 구하는 변환방정식은 다음 형태를 가진다.
\[x' = a(x - vt)\] \[y' = by\] \[z' = cz\]
한편, 빛의 진공 속 전파 속도는 두 기준계에 대해 똑같이 \(c\)이어야 하므로, 다음 두 방정식
\[x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2\]
과
\[x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2 t'^2\]
은 서로 뜻이 같아야 한다. 이로부터, 그리고 방금 \(x',\,y',\,z'\)에 대해 구한 식들로부터, 간단한 계산을 거치면 구하는 변환방정식은 다음 형태를 가져야 함을 알 수 있다.
\[t' = \varphi(v)\cdot\beta\cdot\left(t - \frac{v}{c^2}x\right)\] \[x' = \varphi(v)\cdot\beta\cdot(x - vt)\] \[y' = \varphi(v)\cdot y\] \[z' = \varphi(v)\cdot z\]
여기서
\[\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\]
라 두었다.
아직 정해지지 않은 함수 \(\varphi(v)\)를 이제 정하기로 하자. \(S,\,S'\)과 동등하며 \(S'\)에 대해 속도 \(-v\)로 운동하되 \(S'\)이 \(S\)에 대해 놓인 것과 같은 방식으로 배향된 셋째 기준계 \(S''\)을 도입하면, 방금 얻은 방정식을 두 번 적용하여 다음을 얻는다.
\[t'' = \varphi(v)\cdot\varphi(-v)\cdot t\] \[x'' = \varphi(v)\cdot\varphi(-v)\cdot x\] \[y'' = \varphi(v)\cdot\varphi(-v)\cdot y\] \[z'' = \varphi(v)\cdot\varphi(-v)\cdot z\]
그런데 \(S\)와 \(S''\)의 좌표 원점은 항상 일치하고, 두 축은 같은 방향을 향하며, 두 계는 “동등”하므로, 이 대체는 항등변환이어야 한다.\(^{1)}\) 따라서
\[\varphi(v)\cdot\varphi(-v) = 1\]
한편 \(y\)와 \(y'\) 사이의 관계는 \(v\)의 부호에 좌우될 수 없으므로,
\[\varphi(v) = \varphi(-v)\]
이다. 따라서 \(\varphi(v) = 1\)이며,\(^{2)}\) 변환방정식은 다음과 같이 된다.
\[ t' = \beta\left(t - \frac{v}{c^2}x\right),\qquad x' = \beta(x - vt),\qquad y' = y,\qquad z' = z \tag{1} \]
여기서
\[\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\]
이다.
(1)식을 \(x,\,y,\,z,\,t\)에 대해 풀면, 똑같은 형태의 방정식을 얻되, 다만 “붙임표(′)”가 있는 양들이 같은 이름의 “붙임표 없는” 양들로, 그 역도 마찬가지로 바뀌고, \(v\)가 \(-v\)로 바뀐다. 이는 상대성원리로부터, 그리고 \(S\)가 \(S'\)에 대해 속도 \(-v\)로 \(X'\)축 방향의 평행이동을 한다는 고찰로부터도 바로 얻어진다.
일반적으로, 상대성원리에 의해, (\(S'\)에 대해 정의된) “붙임표 있는” 양과 (\(S\)에 대해 정의된) “붙임표 없는” 양 사이의 옳은 관계식이 있으면, 그로부터 붙임표 없는 양을 그에 대응하는 붙임표 있는 양으로, 또 그 역으로 바꾸고, \(v\)를 \(-v\)로 바꾸면, 오직 하나의 유형에 속하는 양들 사이에서도 다시 옳은 관계식을 얻는다.
| 각주(§3) 1) 이 추론은, 자와 시계의 길이나 진행 속도가 정지와 운동 사이를 오가는 과정에서 지속적인 변화를 겪지 않는다는 물리적 전제 위에 세운 것이다. 2) \(\varphi(v) = -1\)이 되는 경우는 물론 여기서 고려 대상이 아니다. |
\[ x_2 - x_1 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\,(x_2' - x_1'),\qquad y_2 - y_1 = y_2' - y_1',\qquad z_2 - z_1 = z_2' - z_1' \tag{2} \]
따라서 균일한 병진운동을 하는 물체의 운동학적 형태는 기준계에 대한 그 속도에 좌우되며, 물체의 운동학적 형태는 그 기하학적 형태와 오직 상대운동 방향으로 \(1 : \sqrt{1 - v^2/c^2}\)의 비율만큼 짧아진다는 점에서만 다르다. 기준계에 대해 빛보다 빠른 속도로 상대운동하는 것은 우리 원리와 양립할 수 없다.
이 시계는 시간 눈금 \(t_n' = n/\nu_0\)마다 매번 한 주기를 마치는데, 여기서 \(n\)은 자연수 전체를 지난다. 그리고 이 시계에 대해서는 늘 \(x' = 0\)이다. 앞서 얻은 두 첫 변환방정식을 이 시간 눈금 \(t_n'\)에 적용하면, \(S\)에서 볼 때 이 시계가 각 주기를 마치는 시각은
\[t_n = \beta\, t_n' = \frac{\beta}{\nu_0}\, n\]
이 된다. 따라서 \(S\)계에서 보면, 이 시계는 단위 시간마다
\[\nu = \frac{\nu_0}{\beta} = \nu_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
번의 주기를 수행한다. 곧, 속도 \(v\)로 어떤 기준계에 대해 균일하게 운동하는 시계는, 그 기준계에서 판정할 때, 그 시계가 그 기준계에 대해 정지해 있을 때에 비해 \(1 : \sqrt{1 - v^2/c^2}\)의 비율만큼 느리게 간다.
위 식 \(\nu = \nu_0\sqrt{1 - v^2/c^2}\)은 매우 흥미로운 응용을 하나 허락한다. 슈타르크(J. Stark)는 작년에\(^{1)}\), 카날선(음극선관의 양극선)을 이루는 이온이 선스펙트럼을 방출하되, 도플러 효과로 해석할 수 있는 스펙트럼선의 이동을 보인다는 것을 보였다.
하나의 스펙트럼선에 대응하는 진동 현상은 원자 내부의 과정으로 볼 수 있으며, 그 진동수는 이온 자체에 의해 정해진다고 볼 수 있으므로, 우리는 이러한 이온 하나를 어떤 특정한 진동수 \(\nu_0\)를 갖는 시계로 볼 수 있다. 이 진동수는 예컨대, 관찰자에 대해 정지해 있는 같은 종류의 이온이 방출하는 빛을 조사할 때 얻어지는 값이다. 위의 고찰은 이제, 관찰자가 확인할 빛의 진동수에 미치는 운동의 영향이, 도플러 효과만으로는 아직 완전히 주어지지 않음을 보여 준다. 운동은 오히려 이에 더해, 방출하는 이온의 (겉보기) 고유 진동수를 위 관계식에 따라 감소시킨다.\(^{2)}\)
| 각주(§4) 1) J. Stark, Ann. d. Phys. 21, 401, 1906. 2) 이에 관해서는 §6의 식 (4a)를 참조하라. |
\(S'\)계에 대해 한 점이 다음 식에 따라 균일하게 운동한다고 하자.
\[x' = u_x' t',\qquad y' = u_y' t',\qquad z' = u_z' t'\]
\(x',\,y',\,z',\,t'\)을 변환방정식 (1)을 이용해 그에 대응하는 \(x,\,y,\,z,\,t\)의 식으로 바꾸면, \(x,\,y,\,z\)를 \(t\)의 함수로, 곧 \(S\)에 대한 이 점의 속도 성분 \(w_x,\,w_y,\,w_z\)를 얻는다. 계산하면
\[ u_x = \frac{u_x' + v}{1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}},\qquad u_y = \frac{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}}\, u_y',\qquad u_z = \frac{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{1 + \dfrac{v u_x'}{c^2}}\, u_z' \tag{3} \]
이다. 속도의 평행사변형 법칙은 오로지 첫째 근사에서만 성립한다.
\[u^2 = u_x^2 + u_y^2 + u_z^2,\qquad u'^2 = u_x'^2 + u_y'^2 + u_z'^2\]
이라 두고, \(x'\)축(즉 \(v\)의 방향)과 점의 (\(S'\)에 대한, 곧 \(u'\)의) 운동방향 사이의 각을 \(\alpha\)라 하면,
\[ u = \frac{\sqrt{(v^2 + u'^2 + 2vu'\cos\alpha) - \left(\dfrac{vu'\sin\alpha}{c}\right)^2}}{1 + \dfrac{vu'\cos\alpha}{c^2}} \]
이다. 만약 두 속도(\(v\)와 \(u'\))가 같은 방향을 향한다면,
\[u = \frac{v + u'}{1 + \dfrac{vu'}{c^2}}\]
이다. 이 식으로부터, \(c\)보다 작은 두 속도를 합성하면 언제나 \(c\)보다 작은 속도가 나온다는 것이 따라 나온다. 실제로 \(v = c - k\), \(u' = c - \lambda\)(\(k,\,\lambda\)는 양수이고 \(c\)보다 작다)라 두면,
\[u = c\,\frac{2c - k - \lambda}{2c - k - \lambda + \dfrac{k\lambda}{c}} < c\]
이다. 나아가, 빛의 속도와 “빛보다 느린 속도”를 합성하면 다시 빛의 속도 \(c\)가 나온다는 것도 따라 나온다.
속도의 합성정리로부터 다시, 진공 속의 빛보다 빠르게 전파되는, 임의의 신호를 전하는 데 쓰일 수 있는 어떠한 작용도 있을 수 없다는 흥미로운 결론이 나온다. 실제로, \(S\)의 \(x\)축을 따라 물질 줄무늬 하나가 뻗어 있고, 그것에 대해 어떤 작용이 속도 \(W\)로 전파될 수 있으며, \(S\)에 대해 정지한 관찰자가 \(x\)축 위의 점 \(x=0\)(\(A\)점)과 점 \(x=\lambda\)(\(B\)점) 모두에 있다고 하자. \(A\)에 있는 관찰자가 방금 말한 작용을 매개로, 정지해 있지 않고 음의 \(x\)방향으로 속도 \(v(<c)\)로 운동하는 그 물질 줄무늬를 통해, \(B\)에 있는 관찰자에게 신호를 보낸다고 하자. 이 신호는 앞의 식 (3) 가운데 첫째 식에서 보듯이, 속도
\[\dfrac{W - v}{1 - \dfrac{Wv}{c^2}}\]
로 \(A\)에서 \(B\)로 전달된다. 이때 필요한 시간 \(T\)는 따라서
\[T = \lambda\,\frac{1 - \dfrac{Wv}{c^2}}{W - v}\]
이다. 속도 \(v\)는 \(c\)보다 작은 임의의 값을 취할 수 있다. 그러므로 우리가 가정한 대로 \(W > c\)라면, \(T < 0\)이 되도록 \(v\)를 언제나 택할 수 있다. 이 결과는, 우리가 어떤 전달 메커니즘을 상정할 수 있다면, 그 사용으로 얻어진 작용이 그 원인보다 앞서 일어난다는 것을 뜻한다. 이 결과는 나의 생각으로는, 순전히 논리적으로만 보면 아무런 모순도 담고 있지 않지만, 그럼에도 이는 우리가 지금까지 쌓아 온 모든 경험의 성격과 이토록 어긋나므로, 이로써 \(W > c\)라는 가정이 불가능함이 충분히 증명된 것으로 보인다.
진공 속을 전파하는 평면광파의 광벡터가, \(S\)계에 대해서는
\[\sin\omega\left(t - \frac{lx + my + nz}{c}\right)\]
에 비례하고, \(S'\)계에 대해서는 같은 과정의 광벡터가
\[\sin\omega'\left(t' - \frac{l'x' + m'y' + n'z'}{c}\right)\]
에 비례한다고 하자. §3에서 이끌어낸 변환방정식은, 양 \(\omega,\,l,\,m,\,n\)과 \(\omega',\,l',\,m',\,n'\) 사이에 다음 관계가 성립할 것을 요구한다.
\[ \omega' = \omega\,\beta\left(1 - l\frac{v}{c}\right),\qquad l' = \frac{l - \dfrac{v}{c}}{1 - l\dfrac{v}{c}},\qquad m' = \frac{m}{\beta\left(1 - l\dfrac{v}{c}\right)},\qquad n' = \frac{n}{\beta\left(1 - l\dfrac{v}{c}\right)} \tag{4} \]
\(\omega'\)에 대한 이 식은, 관찰자를 운동하는 것으로 보고 (무한히 먼) 광원을 정지한 것으로 보는지, 아니면 거꾸로 전자를 정지한 것으로 보고 후자를 운동하는 것으로 보는지에 따라, 서로 다른 두 가지 방식으로 해석할 수 있다.
\[\nu' = \nu\,\frac{1 - \cos\varphi\,\dfrac{v}{c}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\]
\[\nu = \nu_0\,\frac{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{1 - \cos\varphi\,\dfrac{v}{c}} \tag{4a}\]
이 마지막 두 식은 도플러 원리를 그 일반적 형태로 나타낸다. 마지막 식은, 카날선을 이루는 이온이 방출(또는 흡수)하는 빛의 관측 가능한 진동수가, 그 이온의 운동 속도와 시선 방향에 어떻게 좌우되는지를 보여 준다.
파면법선(광선 방향)과 \(S\)에 대한 \(S'\)의 상대운동 방향(곧 \(x\)축 또는 \(x'\)축) 사이의 각을 각각 \(\varphi,\,\varphi'\)이라 부르면, \(l'\)에 대한 위 식은 다음 형태를 취한다.
\[\cos\varphi' = \frac{\cos\varphi - \dfrac{v}{c}}{1 - \cos\varphi\,\dfrac{v}{c}}\]
이 식은 관찰자의 상대운동이 무한히 먼 광원의 겉보기 위치에 미치는 영향(광행차)을 보여 준다.
우리는 이제 빛이 광선 방향으로 운동하는 매질 속에서 얼마나 빠르게 전파되는지를 살펴보기로 하자. 매질은 \(S'\)계에 대해 정지해 있고, 광벡터는
\[\sin\omega'\left(t' - \frac{x'}{V'}\right)\]
에, 또는
\[\sin\omega\left(t - \frac{x}{V}\right)\]
에 비례한다고 하자. 다만 이는 그 과정을 \(S'\)에 대해 보는지 \(S\)에 대해 보는지에 따른다. 변환방정식으로부터
\[\omega = \beta\,\omega'\left(1 + \frac{v}{V'}\right),\qquad \frac{\omega}{V} = \beta\,\frac{\omega'}{V'}\left(1 + \frac{V'v}{c^2}\right)\]
를 얻는다. 여기서 \(V'\)은 정지한 물체의 광학으로부터 알려진 \(\omega'\)의 함수로 볼 수 있다. 이 두 식을 나누면
\[V = \frac{V' + v}{1 + \dfrac{V'v}{c^2}}\]
를 얻는데, 이 식은 속도의 합성정리를 직접 응용해서도 얻을 수 있었을 것이다.\(^{1)}\) \(V'\)을 안다고 본다면, 이 마지막 식은 문제를 완전히 풀어 준다. 그러나 “정지한” 계 \(S\)에 대해 정한 진동수(\(\omega\))만을 안다고 본다면, 위 두 식은, \(\omega',\,V',\,V\)라는 세 미지수를 구하기 위해, \(\omega'\)과 \(V'\) 사이의 관계와 함께 그 유명한 피조(Fizeau)의 실험과 결부되어야 한다.
나아가 \(G\)와 \(G'\)을 각각 \(S\)와 \(S'\)에 대해 정한 군속도(群速度)라 하면, 속도의 합성정리에 의해
\[G = \frac{G' + v}{1 + \dfrac{G'v}{c^2}}\]
이다. \(G'\)과 \(\omega'\) 사이의 관계는 정지한 물체의 광학으로부터 얻을 수 있고,\(^{2)}\) \(\omega'\)은 위에서 본 대로 \(\omega\)로부터 계산할 수 있으므로, 군속도 \(G\) 역시 계산해 낼 수 있다.
| 각주(§6) 1) M. Laue, Ann. d. Phys. 23, 989, 1907을 참조하라. 2) 실제로 \(G' = -V'/\left(1 + \dfrac{1}{V'}\dfrac{dV'}{d\omega'}\right)\)이다. |
이 논의는, \(S\)에 대해 정한 빛의 진동수와 물체의 성질 및 운동 속도만 주어지면 충분함을 보여 준다.
우리는 다음 방정식들에서 출발한다.
\[ \frac{1}{c}\left\{u_x\varrho + \frac{\partial X}{\partial t}\right\} = \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z} \] \[ \frac{1}{c}\left\{u_y\varrho + \frac{\partial Y}{\partial t}\right\} = \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x} \] \[ \frac{1}{c}\left\{u_z\varrho + \frac{\partial Z}{\partial t}\right\} = \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \tag{5} \]
\[ \frac{1}{c}\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial M}{\partial t} = \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x} \tag{6} \]
이 방정식들에서 \((X,\,Y,\,Z)\)는 전기장 세기 벡터, \((L,\,M,\,N)\)은 자기장 세기 벡터, \(\varrho = \dfrac{\partial X}{\partial x} + \dfrac{\partial Y}{\partial y} + \dfrac{\partial Z}{\partial z}\)는 전기량의 \(4\pi\)배 밀도, \((u_x,\,u_y,\,u_z)\)는 전기량의 속도벡터를 뜻한다.
이 방정식들은, 전기적 질량이 작은 강체(이온, 전자)에 변함없이 결부되어 있다는 가정과 함께, 로렌츠의 운동하는 물체의 전기역학 및 광학의 토대를 이룬다.
\(S\)계에 대해 성립하는 것으로 하는 이 방정식들을, 지금까지의 논의에서와 마찬가지로 \(S\)에 대해 운동하는 계 \(S'\)에 대해, 변환방정식 (1)을 이용해 변환하면, 다음 방정식들을 얻는다.
\[ \frac{1}{c}\left\{u_x'\varrho' + \frac{\partial X'}{\partial t'}\right\} = \frac{\partial N'}{\partial y'} - \frac{\partial M'}{\partial z'} \] \[ \frac{1}{c}\left\{u_y'\varrho' + \frac{\partial Y'}{\partial t'}\right\} = \frac{\partial L'}{\partial z'} - \frac{\partial N'}{\partial x'} \] \[ \frac{1}{c}\left\{u_z'\varrho' + \frac{\partial Z'}{\partial t'}\right\} = \frac{\partial M'}{\partial x'} - \frac{\partial L'}{\partial y'} \tag{5$'$} \]
\[ \frac{1}{c}\frac{\partial L'}{\partial t'} = \frac{\partial Y'}{\partial z'} - \frac{\partial Z'}{\partial y'} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial M'}{\partial t'} = \frac{\partial Z'}{\partial x'} - \frac{\partial X'}{\partial z'} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial N'}{\partial t'} = \frac{\partial X'}{\partial y'} - \frac{\partial Y'}{\partial x'} \tag{6$'$} \]
여기서 다음과 같이 두었다.
\[ X' = X,\qquad Y' = \beta\left(Y - \frac{v}{c}N\right),\qquad Z' = \beta\left(Z + \frac{v}{c}M\right) \tag{7a} \] \[ L' = L,\qquad M' = \beta\left(M + \frac{v}{c}Z\right),\qquad N' = \beta\left(N - \frac{v}{c}Y\right) \tag{7b} \] \[ \varrho' = \frac{\partial X'}{\partial x'} + \frac{\partial Y'}{\partial y'} + \frac{\partial Z'}{\partial z'} = \beta\left(1 - \frac{vu_x}{c^2}\right)\varrho \tag{8} \] \[ u_x' = \frac{u_x - v}{1 - \dfrac{u_xv}{c^2}},\qquad u_y' = \frac{u_y}{\beta\left(1 - \dfrac{u_xv}{c^2}\right)},\qquad u_z' = \frac{u_z}{\beta\left(1 - \dfrac{u_xv}{c^2}\right)} \tag{9} \]
얻어진 방정식은 방정식 (5), (6)과 같은 형태를 갖는다. 한편 상대성원리로부터, 전기역학적 과정은 \(S'\)에 대해서도 \(S\)에 대해서와 같은 법칙에 따라 진행된다는 결론이 따라 나온다. 이로부터 우리는 우선, \(X',\,Y',\,Z'\)과 \(L',\,M',\,N'\)이 다름 아니라 \(S'\)에 대해 정한 전기장 세기 및 자기장 세기의 성분이라는 것을 결론짓는다.\(^{1)}\) 나아가 식 (9)에 등장하는 양 \(u_x',\,u_y',\,u_z'\)이 식 (3)에 의해 \(S'\)에 대한 전기량의 속도 성분과 같으므로, \(\varrho'\)은 \(S'\)에 대해 정한 전기량의 밀도이다. 그러므로 전기역학의 토대는 상대성원리에 부합한다.
식 (7a)의 해석에 관해 다음을 살펴보자. \(S\)에 대해 정지해 있고 “1”이라는 크기의 점 모양의 전기량이 있다고 하고, 마찬가지로 \(S\)에 대해 정지해 있는 같은 크기의 전기량이 그로부터 1cm 떨어진 곳에 1다인(Dyn)의 힘을 미친다고 하자. 상대성원리에 의해, 이 전기적 질량은 \(S'\)에 대해 정지해 관찰될 때도 마찬가지로 “1”이다.\(^{1)}\) 이 전기량이 \(S\)에 대해 정지해 있다면, 정의상 \((X,\,Y,\,Z)\)는 그 위에 작용하는 힘과 같으며, 이는 예컨대 \(S\)에 대해 정지한 용수철저울로 측정할 수 있다. \((X',\,Y',\,Z')\)도 \(S'\)에 대해 이와 유사한 뜻을 가진다.
식 (7a)와 (7b)로부터 다음이 드러난다. 전기 또는 자기 세기는 그 자체만으로는 존재를 갖지 않는다. 좌표계를 어떻게 택하느냐에 따라, 어떤 자리에(더 정확히는 어느 점사건의 국소적·시간적 주변에) 전기 세기가 존재하는지 자기 세기가 존재하는지가 달라질 수 있기 때문이다. 나아가 알 수 있는 것은, 지금까지 도입된 “기전력”— 자기장 속에서 운동하는 전기적 질량에 작용하는 힘 — 이란, 관찰에 쓰이는 기준계에 대해 정지해 있는 것으로 간주된 전기량에 작용하는 “전기적” 힘과 다름없다는 점이다. 따라서 (단극 발전기에서와 같은) 기전력의 “소재”에 관한 물음은 무의미해진다. 그 답이 사용된 기준계의 운동 상태에 따라 다르게 나오기 때문이다.
식 (8)의 뜻은 다음과 같이 알 수 있다. 전기를 띤 물체 하나가 \(S'\)에 대해 정지해 있다고 하자. \(S'\)에 대해 정한 그 총전하량 \(\varepsilon'\)은 그러면 \(\displaystyle\int\frac{\varrho'}{4\pi}\,dx'\,dy'\,dz'\)이다. \(S\)의 어떤 정해진 시각 \(t\)에서 볼 때, 그 총전하량 \(\varepsilon\)은 얼마인가?
식 (1)의 마지막 세 식으로부터, \(t\)가 일정할 때 다음 관계가 성립함이 따라 나온다.
\[dx'\,dy'\,dz' = \beta\,dx\,dy\,dz\]
이 경우 식 (8)은
\[\varrho' = \frac{1}{\beta}\varrho\]
로 된다. 이 두 식으로부터
\[\varepsilon' = \varepsilon\]
이어야 함이 따라 나온다. 곧 식 (8)이 말하는 바는, 전기적 질량은 기준계의 운동 상태와 무관한 양이라는 것이다. 임의로 운동하는 물체의 전하가 함께 운동하는 기준계의 관점에서 볼 때 일정하다면, 다른 어떤 기준계에 대해서도 그 전하는 일정하게 남는다.
식 (1), (7), (8), (9)를 이용하면, 오로지 속도만이 등장하고 가속도는 등장하지 않는 운동하는 물체의 전기역학·광학의 모든 문제를, 정지한 물체의 전기역학·광학의 여러 문제로 되돌릴 수 있다.
여기서 전개한 관계식들의 간단한 응용 사례를 하나 더 다루어 보자. 진공 속을 \(S\)에 대해 전파하는 한 평면 광파가 다음 식으로 표현된다고 하자.
\[X = X_0\sin\Phi,\quad Y = Y_0\sin\Phi,\quad Z = Z_0\sin\Phi\] \[L = L_0\sin\Phi,\quad M = M_0\sin\Phi,\quad N = N_0\sin\Phi\] \[\Phi = \omega\left(t - \frac{lx+my+nz}{c}\right)\]
이 파동을 \(S'\)계에 대해 정하면 그 성질은 어떠할지 묻는다. 변환방정식 (1)과 (7)을 적용하면 다음을 얻는다.
\[X' = X_0\sin\Phi',\qquad L' = L_0\sin\Phi'\] \[Y' = \beta\left(Y_0 - \frac{v}{c}N_0\right)\sin\Phi',\qquad M' = \beta\left(M_0 + \frac{v}{c}Z_0\right)\sin\Phi'\] \[Z' = \beta\left(Z_0 + \frac{v}{c}M_0\right)\sin\Phi',\qquad N' = \beta\left(N_0 - \frac{v}{c}Y_0\right)\sin\Phi'\] \[\Phi' = \omega'\left(t' - \frac{l'x'+m'y'+n'z'}{c}\right)\]
이로부터, 함수 \(X'\) 등이 방정식 (5′)과 (6′)을 만족해야 한다는 사실로부터, \(S'\)에 대해서도 파면법선과 전기력·자기력이 서로 수직이며, 뒤의 두 힘의 크기가 서로 같다는 것이 따라 나온다. 항등식 \(\Phi=\Phi'\)로부터 나오는 관계들은 이미 §6에서 다루었다. 여기서는 다만 \(S'\)에 대한 파동의 진폭과 편광 상태만을 정하면 된다.
\(X\)-\(Y\) 평면을 파면법선에 평행하게 택하고, 먼저 전기 진동이 \(Z\)축에 평행한 경우를 다루기로 하자. 그러면 다음과 같이 두어야 한다.
\[X_0 = 0,\qquad Y_0 = 0,\qquad Z_0 = A,\qquad L_0 = -A\sin\varphi,\qquad M_0 = -A\cos\varphi,\qquad N_0 = 0\]
여기서 \(\varphi\)는 파면법선과 \(X\)축 사이의 각을 나타낸다. 위 논의에 따르면
\[X' = 0,\qquad Y' = 0,\qquad Z' = \beta\left(1 - \frac{v}{c}\cos\varphi\right)A\sin\Phi'\] \[L' = -A\sin\varphi\sin\Phi',\qquad M' = \beta\left(-\cos\varphi + \frac{v}{c}\right)A\sin\Phi',\qquad N' = 0\]
이다. 이제 \(A'\)을 \(S'\)에 대한 파동의 진폭이라 하면
\[A' = A\,\frac{1 - \dfrac{v}{c}\cos\varphi}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \tag{10}\]
이다.
자기력이 상대운동의 방향 및 파면법선 모두에 수직인 특수한 경우에도 분명히 같은 관계가 성립한다. 이 두 특수한 경우로부터 일반적인 경우를 중첩(重疊)에 의해 구성할 수 있으므로, 새로운 기준계 \(S'\)을 도입할 때 식 (10)의 관계가 일반적으로 성립하며, 편광면과 파면법선 및 상대운동 방향에 평행한 평면 사이의 각이 두 기준계에서 같다는 결론이 따라 나온다.
전자기장 속에서, 전기 전하 \(\varepsilon\)을 지닌 입자(이하 “전자”라 부른다) 하나가 운동한다고 하자. 그 운동법칙을 다음과 같이 가정한다.
전자가 어떤 특정 시각에 (가속 없는) 계 \(S'\)에 대해 정지해 있다면, 그다음 순간의 그 운동은 \(S'\)에 대해 다음 방정식들에 따라 일어난다.
\[ \mu\,\frac{d^2x_0'}{dt'^2} = \varepsilon X',\qquad \mu\,\frac{d^2y_0'}{dt'^2} = \varepsilon Y',\qquad \mu\,\frac{d^2z_0'}{dt'^2} = \varepsilon Z' \]
여기서 \(x_0',\,y_0',\,z_0'\)은 \(S'\)에 대한 전자의 좌표를 나타내며, \(\mu\)는 어떤 상수로서, 우리는 이를 전자의 질량이라 부르기로 한다.
이제 \(S'\)이 지금까지의 논의에서와 같은 방식으로 그에 대해 운동하는 계 \(S\)를 도입하고, 우리의 운동방정식을 변환방정식 (1)과 (7a)를 이용해 변환하자.
이 경우 앞의 방정식은 다음과 같이 된다.
\[t' = \beta\left(t - \frac{v}{c^2}x_0\right)\] \[x_0' = \beta(x_0 - vt)\] \[y_0' = y_0\] \[z_0' = z_0\]
이 방정식들로부터, \(\dfrac{dx_0}{dt} = \dot x_0\) 등으로 두면
\[\frac{dx_0'}{dt'} = \frac{\beta(\dot x_0 - v)}{\beta\left(1 - \dfrac{v\dot x_0}{c^2}\right)}\ \text{등등}\]
\[\frac{d^2x_0'}{dt'^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left\{\dfrac{\dot x_0 - v}{1 - \dfrac{v\dot x_0}{c^2}}\right\}}{\beta\left(1 - \dfrac{v\dot x_0}{c^2}\right)} = \frac{1}{\beta}\cdot\frac{\left(1 - \dfrac{v\dot x_0}{c^2}\right)\ddot x_0 + (\dot x_0 - v)\dfrac{v\ddot x_0}{c^2}}{\left(1 - \dfrac{v\dot x_0}{c^2}\right)^3}\ \text{등등}\]
를 얻는다. 이 값들을 위 방정식에 대입하되, 그 안의 \(\dot x_0 = v,\ \dot y_0 = 0,\ \dot z_0 = 0\)으로 둔 뒤 넣고, 동시에 \(X',\,Y',\,Z'\)을 식 (7a)를 이용해 치환하면, 다음을 얻는다.
\[\mu\beta^3\ddot x_0 = \varepsilon X\] \[\mu\beta\ddot y_0 = \varepsilon\left(Y - \frac{v}{c}N\right)\] \[\mu\beta\ddot z_0 = \varepsilon\left(Z + \frac{v}{c}M\right)\]
이 방정식들은, 문제의 순간에 \(\dot x_0 = v,\ \dot y_0 = 0,\ \dot z_0 = 0\)인 경우에 대한 전자의 운동방정식이다. 그러므로 좌변에서 \(v\) 대신, 다음 식으로 정의되는 속도
\[q = \sqrt{\dot x_0^2 + \dot y_0^2 + \dot z_0^2}\]
를 넣고, 우변에서는 \(v\) 대신 \(\dot x_0\)을 넣을 수 있다. 나아가, 지금 다루는 특수한 경우에는 사라지지만 순환치환(循環置換)으로 \(\dfrac{\dot x_0}{c}M\)과 \(-\dfrac{\dot x_0}{c}N\)으로부터 얻어지는 항들을 해당 자리에 덧붙인다. \(x_0\) 등에 붙은 첨자를 생략하면, 우리는 다루는 특수한 경우에 대해 위 방정식과 동치인 다음 방정식들을 얻는다.
\[ \frac{d}{dt}\left\{\frac{\mu\dot x}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\right\} = K_x,\qquad \frac{d}{dt}\left\{\frac{\mu\dot y}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\right\} = K_y,\qquad \frac{d}{dt}\left\{\frac{\mu\dot z}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\right\} = K_z \tag{11} \]
여기서 다음과 같이 두었다.
\[ K_x = \varepsilon\left\{X + \frac{\dot y}{c}N - \frac{\dot z}{c}M\right\} \] \[ K_y = \varepsilon\left\{Y + \frac{\dot z}{c}L - \frac{\dot x}{c}N\right\} \] \[ K_z = \varepsilon\left\{Z + \frac{\dot x}{c}M - \frac{\dot y}{c}L\right\} \tag{12} \]
이 방정식들은, 정지해 있던 좌표계를 다른 방향의 축을 가진 새 좌표계로 바꾸어도 형태가 바뀌지 않는다. 따라서 이 방정식은 \(\dot x = \dot y = 0\)인 경우만이 아니라 일반적으로 성립한다.
벡터 \((K_x,\,K_y,\,K_z)\)를 우리는 물질점에 작용하는 힘이라 부른다. \(q^2\)이 \(c^2\)에 비해 무시될 수 있는 경우, 식 (11)에 의해 \(K_x,\,K_y,\,K_z\)는 뉴턴의 정의에 따른 힘의 성분으로 넘어간다. 다음 절에서 더 자세히 다루겠지만, 상대론적 역학에서도 이 벡터는 고전역학에서 힘이 하는 것과 같은 역할을 한다.
우리는 방정식 (11)을, 물질점에 작용하는 힘이 전자기적 성질의 것이 아닌 경우에도 유지하고자 한다. 이 경우 식 (11)은 물리적 내용을 갖지 않으며, 오히려 힘의 정의방정식으로 받아들여야 한다.
방정식 (5)와 (6)에 차례로 \(\dfrac{X}{4\pi},\,\dfrac{Y}{4\pi},\,\cdots\,\dfrac{N}{4\pi}\)를 곱하고, 장의 세기가 그 경계에서 사라지는 어떤 공간에 대해 적분하면, 다음을 얻는다.
\[\int\frac{\varrho}{4\pi}(u_xX + u_yY + u_zZ)\,d\omega + \frac{dE_e}{dt} = 0 \tag{13}\]
여기서
\[E_e = \int\left[\frac{1}{8\pi}(X^2+Y^2+Z^2) + \frac{1}{8\pi}(L^2+M^2+N^2)\right]d\omega\]
는 고찰하는 공간의 전자기 에너지이다. 식 (13)의 첫째 항은 에너지원리에 의해, 단위 시간당 전자기장이 전기적 질량의 담지체(擔持體)에 건네주는 에너지와 같다. 전기적 질량이 물질점에 강체적으로 결부되어 있다면(전자), 이 에너지 가운데 그 물질점에 해당하는 몫은 다음 식으로 주어진다.
\[\varepsilon(X\dot x + Y\dot y + Z\dot z)\]
여기서 \((X,\,Y,\,Z)\)는 외부 전기장 세기, 곧 전자 자신의 전하로부터 비롯한 세기를 뺀 나머지를 나타낸다. 이 식은 식 (12)에 의해
\[K_x\dot x + K_y\dot y + K_z\dot z\]
로 바뀐다. 그러므로 앞 절에서 “힘”이라 이름 붙인 벡터 \((K_x,\,K_y,\,K_z)\)는, 이렇게 행해진 일과 뉴턴 역학에서와 같은 관계에 있다.
그러므로 방정식 (11)에 차례로 \(x,\,y,\,z\)를 곱하고 시간에 대해 더하고 적분하면, 물질점(전자)의 운동에너지가 나와야 한다. 계산하면
\[\int(K_x\dot x + K_y\dot y + K_z\dot z)\,dt = -\frac{\mu c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} + \text{const.} \tag{14}\]
를 얻는다.
운동방정식 (11)이 에너지원리와 부합한다는 것은 이로써 보인 셈이다. 이제 우리는 이 방정식이 운동량 보존의 원리와도 부합함을 보이고자 한다. 방정식 (6)의 둘째와 셋째 식에 각각 \(\dfrac{N}{4\pi},\,-\dfrac{M}{4\pi},\,-\dfrac{Z}{4\pi},\,\dfrac{Y}{4\pi}\)를 곱하고 더한 뒤, 장의 세기가 그 경계에서 사라지는 어떤 공간에 대해 적분하면, 다음을 얻는다.
\[ \frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN - ZM)\,d\omega\right] + \int\frac{\varrho}{4\pi}\left(X + \frac{u_y}{c}N - \frac{u_z}{c}M\right)d\omega = 0 \tag{15} \]
또는 식 (12)에 의해
\[ \frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN - ZM)\,d\omega\right] + \Sigma K_x = 0 \tag{15a} \]
전기적 질량이 자유로이 움직일 수 있는 물질점(전자)에 결부되어 있다면, 이 방정식은 (11)에 의해 다음과 같이 된다.
\[ \frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(YN - ZM)\,d\omega\right] + \Sigma\frac{\mu\dot x}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} = 0 \tag{15b} \]
이 방정식은, 순환치환으로 얻는 두 방정식과 결합하여, 여기서 다루는 경우에 대해 운동량 보존의 법칙을 나타낸다. 그러므로 양
\[\xi = \frac{\mu\dot x}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\]
는 물질점의 운동량의 역할을 하며, 방정식 (11)에 의해 고전역학에서와 마찬가지로
\[\frac{d\xi}{dt} = K_x\]
이다.
물질점의 운동량을 도입할 수 있는 까닭은, 운동방정식 안에서, 곧 방정식 (15)의 둘째 항에서 힘이 시간에 대한 미분계수의 형태로 나타낼 수 있기 때문이다.
나아가 우리 물질점의 운동방정식이 라그랑주의 운동방정식 형태로 주어질 수 있음도 곧바로 알 수 있다. 방정식 (11)에 의해
\[\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial H}{\partial \dot x}\right] = K_x\ \text{등등}\]
이며, 여기서
\[H = -\mu c^2\sqrt{1 - \frac{q^2}{c^2}} + \text{const}\]
라 두었다. 운동방정식은 또한 해밀턴 원리의 형태로도 나타낼 수 있다.
\[\int_{t_0}^{t_1}(dH + A)\,dt = 0\]
여기서 시간 \(t\)가 초기·최종 위치를 바꾸지 않는 가운데 변분되며, \(A\)는 가상일(假想仕事)을 나타낸다.
\[A = K_x\,\delta x + K_y\,\delta y + K_z\,\delta z\]
끝으로 해밀턴의 정준(正準) 운동방정식도 마련해 두자. 이를 위해 “운동량 좌표”(운동량의 성분) \(\xi,\,\eta,\,\zeta\)를 도입하는데, 위에서 정의한 것처럼
\[\xi = \frac{\partial H}{\partial \dot x} = \frac{\mu\dot x}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\ \text{등등}\]
이다. 운동에너지 \(L\)을 \(\xi,\,\eta,\,\zeta\)의 함수로 보고, \(\xi^2+\eta^2+\zeta^2 = \varrho^2\)이라 두면,
\[L = \mu c^2\sqrt{1 + \frac{\varrho^2}{\mu^2c^2}} + \text{const}\]
를 얻으며, 해밀턴의 운동방정식은 다음과 같이 된다.
\[ \frac{d\xi}{dt} = K_x,\qquad \frac{d\eta}{dt} = K_y,\qquad \frac{d\zeta}{dt} = K_z \] \[ \frac{dx}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \xi},\qquad \frac{dy}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \eta},\qquad \frac{dz}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \zeta} \]
앞 절에서 이끌어낸 결과를 경험과 비교해 볼 전망은, 전기 전하를 지닌 질점이 그 제곱이 \(c^2\)에 비해 무시할 수 없는 속도를 가질 때에만 있다. 이 조건은 더 빠른 음극선이나, 방사성 물질에서 방출되는 전자선(\(\beta\)선)에서 충족된다.
전자선에서는 서로 관계를 맺을 수 있는 세 가지 양이 있어 더 정밀한 실험적 검토의 대상이 될 수 있는데, 곧 생성 전위(전기장에 의한 광선의 운동에너지에 해당), 전기장에 의한 편향 가능성, 자기장에 의한 편향 가능성이다.
생성 전위 \(\Pi\)는 식 (14)에 의해 다음 식으로 주어진다.
\[\Pi\varepsilon = \mu\left\{\frac{c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} - 1\right\}\]
나머지 두 양을 계산하기 위해, 우리는 식 (11)의 마지막 식을 운동이 순간적으로 \(X\)축에 평행한 경우에 대해 적어 보자. \(\varepsilon\)을 전자의 전하의 절댓값이라 하면 다음을 얻는다.
\[-\frac{d^2z}{dt^2} = \frac{\varepsilon}{\mu}\sqrt{1-\frac{q^2}{c^2}}\left(Z + \frac{q}{c}M\right)\]
\(Z\)와 \(M\)이 유일한 편향 성분인 장이라면, 곡률은 \(XZ\)평면에 있으며, 곡률반경 \(R\)은
\[\frac{q^2}{R} = \left[\frac{d^2z}{dt^2}\right]\]
으로 주어진다. 전기적 편향 가능성 및 자기적 편향 가능성을, 오직 전기적 성분 또는 오직 자기적 성분만 있는 경우에 대해 각각 \(A_e = \dfrac{1}{R} : Z\), \(A_m = \dfrac{1}{R} : M\)이라는 양으로 정의하면
\[A_e = \frac{\varepsilon}{\mu}\,\frac{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}{q^2},\qquad A_m = \frac{\varepsilon}{\mu}\,\frac{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}{cq}\]
이다.
음극선에서는 \(\Pi,\,A_e,\,A_m\) 세 양이 모두 측정 대상이 될 수 있다. 다만 충분히 빠른 음극선에 대한 연구는 아직 이루어지지 않았다. \(\beta\)선에서는 (실용적으로) \(A_e\)와 \(A_m\)만이 관측 가능하다. 카우프만(W. Kaufmann)은 놀라운 정밀함으로, 라듐-브로마이드 알갱이가 방출하는 \(\beta\)선에 대해 \(A_m\)과 \(A_e\) 사이의 관계를 확정하였다.\(^{1)}\)
(역주: 원문에는 카우프만의 실험 장치와 그 결과 곡선을 나타내는 그림 두 점(Fig. 1, Fig. 2)이 실려 있다. 장치는 라듐 알갱이에서 나온 \(\beta\)선이 두 축전기판 사이의 좁은 틈과 지름 0.2mm의 조리개를 지나 사진건판에 닿도록 하고, 그 사이에 전기장과 자기장을 동시에 걸어 속도가 다른 전자들이 건판 위에 하나의 곡선을 그리게 하는 방식이다. 이 절의 요지는 본문으로 이어진다.)
이 곡선은, 이탈 배율(縮尺)을 제외하면, 가로축을 \(A_m\), 세로축을 \(A_e\)로 하여 이 둘 사이의 관계를 나타낸다. 이 곡선 위에는 십자 표시로, \(\dfrac{\varepsilon}{\mu} = 1.878\times10^{7}\)이라는 값을 취했을 때 상대성이론으로 계산한 곡선이 함께 표시되어 있다.
이 연구의 어려움을 고려할 때, 이 정도의 일치는 충분히 만족스럽다고 여겨도 좋을 것이다. 그러나 나타나는 편차는 체계적이며, 카우프만 연구의 오차 범위를 상당히 벗어난다. 카우프만 선생의 계산에 잘못이 없다는 것은, 플랑크 선생이 다른 계산 방식을 써서 카우프만 선생의 것과 완전히 일치하는 결과에 이르렀다는 사실로부터 드러난다.\(^{1)}\)
이 체계적인 편차가 아직 충분히 규명되지 않은 오차의 원인에서 비롯한 것인지, 아니면 상대성이론의 토대가 사실들과 부합하지 않는다는 데서 비롯한 것인지는, 더 다양한 관측 자료가 갖추어져야 비로소 확실하게 결정할 수 있을 것이다.
한 가지 더 언급해 둘 것은, 아브라함(M. Abraham)과 부헤러(A. H. Bucherer)의 전자운동 이론이, 상대성이론으로 구한 곡선보다 관측 곡선에 상당히 더 잘 들어맞는 곡선을 준다는 점이다. 그러나 내 생각으로는 이 이론들은 개연성이 상당히 낮은데, 왜냐하면 운동하는 전자의 크기에 관한 그 기본 가정이, 더 큰 현상의 복합체를 포괄하는 이론적 체계에 의해 뒷받침되지 못하기 때문이다.
| 각주(§9–§10) 1) W. Kaufmann, Über die Konstitution des Elektrons, Ann. d. Phys. 19, 1906. 그림 두 점은 카우프만의 논문에서 가져온 것이다. 2) M. Planck, Verhandl. d. Deutschen Phys. Ges. VIII. Jahrg. Nr. 20, 1906; IX. Jahrg. Nr. 14, 1907. 3) M. Abraham, Gött. Nachr. 1902. 4) A. H. Bucherer, Math. Einführung in die Elektronentheorie, S. 58, Leipzig 1904. |
복사(輻射)를 통과시키지 않는 외피(外皮)로 둘러싸인 어떤 물리적 계를 생각하자. 이 계는 공간에 자유로이 떠 있으며, 그를 둘러싼 공간의 전기적·자기적 힘의 작용 이외에는 다른 어떠한 힘도 받지 않는다고 하자. 이 힘을 통해, 일과 열의 형태로 에너지가 계에 전달될 수 있으며, 그 에너지는 계 내부에서 갖가지 변환을 겪을 수 있다. 계가 받아들인 에너지는, \(S\)계를 기준으로 할 때, 식 (13)에 의해 다음 식으로 주어진다.
\[\int dE = \int dt\int\frac{\varrho}{4\pi}(X_a u_x + Y_a u_y + Z_a u_z)\,d\omega\]
여기서 \((X_a,\,Y_a,\,Z_a)\)는 계에 속하지 않는 외부장의 장벡터를, \(\dfrac{\varrho}{4\pi}\)는 외피의 전기량 밀도를 나타낸다. 이 식을 우리는, 식 (1)이 정하는 함수행렬식
\[\frac{D(x',y',z',t')}{D(x,y,z,t)}\]
이 1과 같다는 것을 고려하면서, 식 (7a), (8), (9)의 역변환을 이용해 변환한다. 그러면
\[ \int dE = \beta\iint\frac{\varrho'}{4\pi}(u_x'X_a' + u_y'Y_a' + u_z'Z_a')\,d\omega'\,dt' \] \[ +\ \beta v\iint\frac{\varrho'}{4\pi}\left(X_a' + \frac{u_y'}{c}N_a' - \frac{u_z'}{c}M_a'\right)d\omega'\,dt' \]
를 얻으며, 이는 \(S'\)에 대해서도 에너지원리가 성립해야 한다는 점을 고려하면, 알기 쉽게 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[dE = \beta\,dE' + \beta v\int[\Sigma K_x']\,dt' \tag{16}\]
이제 이 방정식을, 고찰하는 계가 기준계 \(S'\)에 대해 정지해 있도록 균일하게 운동하는 경우에 적용해 보고자 한다. 그러면 계의 부분들이 \(S'\)에 대해 상대적으로 아주 느리게 움직여서, \(S'\)에 대한 그 속도의 제곱이 \(c^2\)에 비해 무시될 수 있다면, \(S'\)에 대해서는 뉴턴 역학의 정리들을 적용해도 좋다. 그러면 무게중심 정리에 의해, 고찰하는 계(더 정확히는 그 무게중심)가 계속 정지해 있으려면, 모든 \(t'\)에 대해
\[\Sigma K_x' = 0\]
이어야 한다. 그럼에도 식 (16) 우변의 둘째 항은 사라질 필요가 없는데, 왜냐하면 시간 적분이 \(t'\)의 두 정해진 값 사이에서가 아니라 \(t\)의 두 정해진 값 사이에서 이루어지기 때문이다.
그러나 고찰하는 물체계에 외력이 작용하지 않는 시간 구간의 처음과 끝에서는, 그 항이 사라지므로, 우리는 간단히
\[dE = \beta\,dE'\]
를 얻는다. 이 식으로부터 우선 다음을 결론짓는다. 외력의 영향을 받지 않는, (균일하게) 운동하는 계의 에너지는 두 변수의 함수이다. 곧 그와 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 계의 에너지 \(E_0\),\(^{1)}\) 그리고 계의 병진운동 속도 \(q\)의 함수이며, 우리는
\[\frac{\partial E}{\partial E_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\]
를 얻는다. 이로부터
\[E = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\,E_0 + \varphi(q)\]
가 따라 나오며, 여기서 \(\varphi(q)\)는 잠정적으로 미지인 \(q\)의 함수이다. \(E_0\)이 0인 경우, 곧 운동하는 계의 에너지가 오직 속도 \(q\)만의 함수인 경우는 이미 §8, §9에서 다룬 바 있다. 식 (14)로부터 곧바로 다음과 같이 두어야 함을 알 수 있다.
\[\varphi(q) = \frac{\mu c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} + \text{const}\]
따라서 우리는 (적분상수를 생략하고)
\[E = \left(\mu + \frac{E_0}{c^2}\right)\frac{c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} \tag{16a}\]
를 얻는다.
\(E\)에 대한 이 식을 식 (14)에 담긴 물질점의 운동에너지 표현과 비교하면, 다음을 알 수 있다. 두 식은 같은 형태를 가진다. 곧, 에너지가 병진운동 속도에 좌우되는 방식에 관한 한, 고찰하는 물리계는 질량 \(M\)을 가진 하나의 물질점처럼 거동하며, 그 \(M\)은 계의 에너지 함량 \(E_0\)에 따라 다음 식으로 정해진다.
\[M = \mu + \frac{E_0}{c^2} \tag{17}\]
이 결과는 이론적으로 대단히 중요한 의미를 지닌다. 왜냐하면 이 결과 안에서, 물리계의 관성질량과 에너지가 같은 종류의 것으로 나타나기 때문이다. 질량 \(\mu\)는 관성 면에서, 크기 \(\mu c^2\)의 에너지 함량과 동등하다. \(E_0\)의 영점(零點)을 우리 임의로 정할 수 있으므로, 우리는 계의 “참” 질량과 “겉보기” 질량을 구별할 수조차 없다. 오히려 모든 관성질량을 에너지의 저장고로 여기는 편이 훨씬 자연스러워 보인다.
질량 불변의 정리는, 우리의 결과에 따르면, 오직 하나의 물리계에 대해 그 에너지가 일정하게 유지될 때에만 성립하며, 그때는 에너지원리와 동치가 된다. 다만 잘 알려진 물리적 과정에서 물리계의 질량이 겪는 변화는 언제나 측정할 수 없을 만큼 작다. 1000그램칼로리를 방출하는 계의 질량 감소는, 예컨대 \(4.6\times10^{-11}\)그램이다.
방사성 물질의 붕괴에서는 엄청난 양의 에너지가 자유로워진다. 이 과정에서 나타나는 질량 감소는, 이를 확인할 수 있을 만큼 충분히 큰가?
플랑크 선생은 이에 관해 다음과 같이 쓴다. “프레히트(J. Precht)\(^{1)}\)에 따르면, 충분히 두꺼운 납 껍질로 둘러싸인 1그램원자의 라듐은, 시간당 \(134.4\times225 = 30240\)그램칼로리를 낸다. 이는 식 (17)에 의해, 한 시간에 대해 질량의 감소가
\[\frac{30240\cdot419\cdot10^5}{9\cdot10^{20}}\ \text{g} = 1.41\times10^{-6}\,\text{mgr}\]
곧 1년으로는 질량의 감소가 0.012mgr이 됨을 뜻한다. 다만 이 값은, 특히 라듐의 큰 원자량을 고려하면, 지금 가능한 관측의 범위를 아직은 벗어나 있을 만큼 여전히 미미하다.” 그렇다면 간접적인 방법으로 목표에 이를 수는 없는지 물어볼 만하다. 방사성 붕괴에서 생기는 종말산물의 원자량을 \(m_1,\,m_2\) 등이라 하면, 다음이 성립해야 한다.
\[M - \Sigma m = \frac{E}{c^2}\]
여기서 \(E\)는 1그램원자가 붕괴할 때 발생하는 에너지를 뜻하며, 이는 정상 상태에서 붕괴할 때 단위시간당 발생하는 에너지와 원자의 평균 붕괴 지속기간을 알면 계산해 낼 수 있다. 이 방법을 성공적으로 적용할 수 있는지는 무엇보다도, \(\dfrac{M-\Sigma m}{M}\)이 1에 비해 그리 작지 않은 방사성 반응이 존재하는지에 달려 있다. 라듐에 대해 — 그 수명을 2600년으로 잡을 때 — 앞서 말한 경우에는 대략
\[\frac{M - \Sigma m}{M} = \frac{12\times10^{-6}\times2600}{250} = 0.00012\]
이다. 따라서 라듐의 수명이 어느 정도 정확히 확정되어 있다면, 우리의 관계식을 검증하려면 문제되는 원자량을 소수점 다섯째 자리까지 정확히 알아야 할 것이다. 이는 물론 현재로서는 불가능하다. 그러나 원래 원자 질량의 상당히 더 큰 비율이 다양한 복사선의 에너지로 바뀌는 방사성 과정이 라듐 말고도 알려지게 될 가능성은 있다. 원자의 붕괴에서 발생하는 에너지가 물질마다 붕괴 속도만큼이나 서로 다를 것이라 짐작해 볼 만도 하다.
앞의 논의에서는, 이러한 질량 변화가 질량 측정에 통상 쓰이는 도구인 저울로도 측정될 수 있다는 것, 곧
\[M = \mu + \frac{E_0}{c^2}\]
라는 관계가 관성질량뿐 아니라 중력질량과 무거움(重)에 대해서도 성립한다는 것 — 다시 말해 어떤 계의 관성과 무게가 모든 경우에 정확히 비례한다는 것 — 을 암묵적으로 전제하였다. 예컨대 우리는, 공동(空洞) 속에 가두어진 복사가 관성만이 아니라 무게도 지닌다고 가정해야 할 것이다. 관성질량과 중력질량 사이의 이 비례관계는, 지금까지 이루어진 정밀도의 범위 안에서 모든 물체에 대해 예외 없이 성립하는 것으로 확인되어 있으므로, 우리는 그 반증이 나오기 전까지는 그 일반적 타당성을
| 각주(§11) 1) J. Precht, Ann. d. Phys. 21, 599, 1906. |
가정해야 할 것이다. 이 논문의 마지막 절에서 우리는 이 가정을 뒷받침하는 새로운 논거를 만나게 될 것이다.
우리는 다시, 앞 절에서와 마찬가지로, 복사를 통과시키지 않는 외피로 둘러싸여 공간에 자유로이 떠 있는 계를 생각한다. \(X_a,\,Y_a,\,Z_a\) 등으로 우리는 다시, 계와 다른 계 사이의 에너지 교환을 매개하는 외부 전자기장의 장 세기를 나타낸다. 이 외부장에 대해서는, 식 (15)로 이끈 것과 같은 논의를 적용할 수 있으며, 그 결과
\[ \frac{d}{dt}\left[\int\frac{1}{4\pi c}(Y_aN_a - Z_aM_a)\,d\omega\right] + \int\frac{\varrho}{4\pi}\left(X_a + \frac{u_y}{c}N_a - \frac{u_z}{c}M_a\right)d\omega = 0 \]
을 얻는다.
이제 우리는, 운동량 보존의 정리가 일반적으로 성립한다고 가정하고자 한다. 그러면 이 방정식의 둘째 항 가운데, 계 전체에 걸쳐 적분한 부분은, 계의 순간 상태에 의해 완전히 정해지는 어떤 양 \(G_x\)에 대한 시간 미분계수의 형태로 나타낼 수 있어야 하며, 우리는 이를 계의 운동량의 \(X\)성분이라 부른다. 우리는 이제 이 양 \(G_x\)의 변환법칙을 찾고자 한다. 변환방정식 (1), (7), (8), (9)를 적용하여, 앞 절에서와 완전히 유사한 방식으로
\[ \int dG_x = \beta\iint\frac{\varrho'}{4\pi}\left(X_a' + \frac{u_y'}{c}N_a' - \frac{u_z'}{c}M_a'\right)d\omega'\,dt' \] \[ +\ \frac{\beta v}{c^2}\iint\frac{\varrho'}{4\pi}(X_a'u_x' + Y_a'u_y' + Z_a'u_z')\,d\omega'\,dt' \]
또는
\[dG_x = \beta\,\frac{v}{c^2}\,dE' + \beta\int\{\Sigma K_x'\}\,dt' \tag{18}\]
를 얻는다. 물체가 다시 가속 없이 운동하여, \(S'\)에 대해 정지해 있다면, 다시
\[\Sigma K_x' = 0\]
이다. 그럼에도, 물체가 그 고찰하는 변화의 앞뒤에서 외력을 받지 않는다면, 시간적분 구간이 \(x'\)에 좌우된다 하더라도, 우변의 둘째 항은 사라진다. 그때는
\[dG_x = \beta\,\frac{v}{c^2}\,dE'\]
이다. 이로부터, 외력을 받지 않는 계의 운동량은 오직 두 변수의 함수임이 따라 나온다. 곧, 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 계의 에너지 \(E_0\)와, 그 병진운동 속도 \(q\)이다. 이는
\[\frac{\partial G}{\partial E_0} = \frac{q}{c^2\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\]
이다. 이로부터
\[G = \frac{q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\cdot\left(\frac{E_0}{c^2} + \psi(q)\right)\]
가 따라 나오며, \(\psi(q)\)는 잠정적으로 미지인 \(q\)의 함수이다. \(\psi(q)\)가 다름 아니라, 속도만으로 정해지는 경우의 운동량임을 고려하면, 식 (15b)로부터
\[\psi(q) = \frac{\mu q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\]
임을 결론짓는다. 따라서 우리는
\[G = \frac{q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\left\{\mu + \frac{E_0}{c^2}\right\} \tag{18a}\]
을 얻는다. 이 식은, 앞 절의 결과와 부합하여, 물질점의 운동량에 대한 식과, \(\mu\) 대신 \(\left(\mu + \dfrac{E_0}{c^2}\right)\)이 들어선다는 점에서만 다르다.
이제 우리는, 물체가 \(S\)에 대해 정지해 있되 그 물체에 계속해서 외력이 작용하는 경우에 대해, 에너지와 운동량을 구해 보고자 한다. 이 경우 모든 \(t'\)에 대해 여전히
\[\Sigma K_x' = 0\]
이지만, 식 (16)과 (18)에 등장하는 적분 \(\displaystyle\int[\Sigma K_x']\,dt'\)은 사라지지 않는다. 왜냐하면 이 적분은 \(t'\)의 두 정해진 값 사이가 아니라 \(t\)의 두 정해진 값 사이에서 이루어져야 하기 때문이다. 식 (1) 가운데 첫째 것을 뒤집으면
\[t = \beta\left(t' + \frac{v}{c^2}x'\right)\]
이므로, \(t'\)에 대한 적분 구간은
\[\frac{t_1}{\beta} - \frac{v}{c^2}x'\quad\text{와}\quad \frac{t_2}{\beta} - \frac{v}{c^2}x'\]
로 주어지며, 여기서 \(t_1\)과 \(t_2\)는 \(x',\,y',\,z'\)에 좌우되지 않는다. 곧 \(S'\)에 대한 시간적분의 구간은, 힘이 작용하는 지점의 위치에 좌우된다. 위 적분을 세 적분으로 나누면
\[\int[\Sigma K_x']\,dt' = \int_{\frac{t_1}{\beta}-\frac{vx'}{c^2}}^{t_1'} + \int_{t_1'}^{t_2'} + \int_{t_2'}^{\frac{t_2}{\beta}-\frac{vx'}{c^2}}\]
이다. 이 가운데 둘째 적분은, 시간 경계가 일정하므로 사라진다. 만약 힘 \(K_x'\)이 임의로 빠르게 변한다면, 나머지 두 적분은 계산해 낼 수 없으며, 그런 경우 우리가 여기서 쓰는 토대 위에서는 계의 에너지나 운동량에 관해 아예 말할 수 없다.\(^{1)}\) 그러나 이 힘들이 \(\dfrac{vx'}{c^2}\) 정도의 크기의 시간 동안에는 거의 변하지 않는다면, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\int_{\frac{t_1}{\beta}-\frac{vx'}{c^2}}^{t_1'}(\Sigma K_x')\,dt' = \Sigma K_x'\int_{\frac{t_1}{\beta}-\frac{vx'}{c^2}}^{t_1'}dt' = \frac{v}{c^2}\Sigma x' K_x'\]
셋째 적분도 마찬가지로 계산하면
\[\int(\Sigma K_x')\,dt' = -d\left\{\frac{v}{c^2}\Sigma x' K_x'\right\}\]
를 얻는다.
이제 식 (16)과 (18)로부터 에너지와 운동량을 어렵지 않게 계산할 수 있다. 우리는
\[ E = \left(\mu + \frac{E_0}{c^2}\right)\frac{c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} - \frac{q^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\,\Sigma(\delta_0 K_{0x}) \tag{16b} \]
\[ G = \frac{q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\left(\mu + \frac{E_0 - \Sigma(\delta_0 K_{0x})}{c^2}\right) \tag{18b} \]
를 얻는다. 여기서 \(K_{0x}\)는 함께 운동하는 기준계에 대해 정한, 운동방향으로의 힘의 성분을, \(\delta_0\)는 같은 계에서 잰, 그 힘의 작용점이 운동방향에 수직한 평면으로부터 떨어진 거리를 뜻한다.
이제 만약, 우리가 다음 절에서 가정할 것처럼, 외력이 방향과 무관하게 계의 표면 전체에 수직으로 작용하는 압력 \(p_0\)로 이루어져 있다면, 특히
\[\Sigma(\delta_0 K_{0x}) = -p_0 V_0 \tag{19}\]
이며, 여기서 \(V_0\)는 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 계의 부피이다. 그러면 식 (16b)와 (18b)는 다음 형태를 취한다.
\[ E = \left(\mu + \frac{E_0}{c^2}\right)\frac{c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} + \frac{q^2}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\,p_0 V_0 \tag{16c} \]
\[ G = \frac{q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\left(\mu + \frac{E_0 + p_0V_0}{c^2}\right) \tag{18c} \]
| 각주(§12) 1) A. 아인슈타인, Ann. d. Phys. 23, §2, 1907을 참조하라. |
우리는 지금까지 고찰한 계의 상태를 정하는 데, 그 계와 함께 운동하는 기준계에 대해 정의된 양 \(E_0,\,p_0,\,V_0\)을 이용해 왔다. 그러나 그 대신, 운동량 \(G\)가 정의된 것과 같은 기준계에 대해 정의된 대응하는 양들을 사용할 수도 있다. 이를 위해서는 새로운 기준계를 도입할 때 부피와 압력이 어떻게 바뀌는지를 살펴보아야 한다.
물체 하나가 \(S'\)에 대해 정지해 있다고 하자. \(V'\)을 \(S'\)에 대한 그 부피, \(V\)를 \(S\)에 대한 그 부피라 하자. 식 (2)로부터 곧바로
\[\int dx\,dy\,dz = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\int dx'\,dy'\,dz'\]
곧
\[V = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\;V'\]
을 얻는다. 우리가 쓰는 표기법에 맞추어 \(V'\)을 \(V_0\)로, \(v\)를 \(q\)로 바꾸어 쓰면
\[V = \sqrt{1 - \frac{q^2}{c^2}}\;V_0 \tag{20}\]
이다.
나아가 압력의 변환방정식을 구하려면, 대체로 힘에 대해 성립하는 변환방정식에서 출발해야 한다. 우리는 §8에서 운동하는 힘을, 전기적 질량에 미치는 전자기장의 힘의 작용으로 대체할 수 있는 것으로 정의했으므로, 여기서는 후자에 대한 변환방정식을 찾는 것으로 그칠 수 있다.\(^{1)}\)
전기량 \(\varepsilon\)이 \(S'\)에 대해 정지해 있다고 하자. 이 전기량에 작용하는 힘은 식 (12)에 의해 다음과 같이 주어진다.
\[K_x = \varepsilon X,\qquad K_y = \varepsilon\left(Y - \frac{v}{c}N\right),\qquad K_z = \varepsilon\left(Z + \frac{v}{c}M\right)\] \[K_x' = \varepsilon X',\qquad K_y' = \varepsilon Y',\qquad K_z' = \varepsilon Z'\]
이 식들과 식 (7a)로부터
\[K_x' = K_x,\qquad K_y' = \beta\cdot K_y,\qquad K_z' = \beta\cdot K_z \tag{21}\]
이 따라 나온다. 이 관계식에 따라, 힘이 함께 운동하는 기준계에 대해 알려져 있을 때, 그 힘을 계산할 수 있다.
이제 \(S'\)에 대해 정지해 있는 면적요소 \(s'\)에 작용하는 압력을 생각하자. 그 면에 작용하는 힘은
\[K_x' = p'\,s'\cos l' = p'\,s_x',\qquad K_y' = p'\,s'\cos m' = p'\,s_y',\qquad K_z' = p'\,s'\cos n' = p'\,s_z'\]
이며, 여기서 \(l',\,m',\,n'\)은 (물체 내부를 향한) 법선의 방향코사인이고, \(s_x',\,s_y',\,s_z'\)은 \(s'\)의 투영이다. 식 (2)로부터
\[s_x' = s_x,\qquad s_y' = \beta\cdot s_y,\qquad s_z' = \beta\cdot s_z\]
가 따라 나오며, 여기서 \(s_x,\,s_y,\,s_z\)는 면적요소의 투영을 나타낸다. \(S\)에 대해 정한 고찰하는 압력력의 성분 \(K_x,\,K_y,\,K_z\)는, 앞의 세 방정식으로 이루어진 계로부터 다음과 같이 구해진다.
\[ K_x = K_x' = p'\,s_x' = p'\,s_x = p'\,s\cos l \] \[ K_y = \frac{1}{\beta}K_y' = \frac{1}{\beta}p'\,s_y' = p'\,s_y = p'\,s\cos m \] \[ K_z = \frac{1}{\beta}K_z' = \frac{1}{\beta}p'\,s_z' = p'\,s_z = p'\,s\cos n \]
여기서 \(s\)는 면적요소의 크기, \(l,\,m,\,n\)은 \(S\)에 대해 정한 그 법선의 방향코사인이다. 곧 우리는, \(S\)에 대해서도 압력 \(p'\)이 다른 기준계에 대해 정한, 같은 면적요소에 수직으로 작용하는 압력으로 그대로 대체될 수 있다는 결과를 얻는다. 곧 우리가 쓰는 표기법으로는
\[p = p_0 \tag{22}\]
이다.
식 (16c), (20), (22)는 우리에게, 함께 운동하는 기준계에 대해 정의된 양 \(E_0,\,V_0,\,p_0\) 대신, 운동량 \(G\)가 정의된 것과 같은 계에 대해 정의된 양 \(E,\,V,\,p\)로, 물리계의 상태를 정할 수 있게 해 준다. 예컨대 어떤 계의 상태가, 함께 운동하는 관찰자에게 두 변수(\(V_0\)와 \(E_0\))로 완전히 정해진다면, 곧 그 상태방정식이 \(p_0,\,V_0,\,E_0\) 사이의 관계로 나타낼 수 있다면, 앞서 말한 방정식들을 통해 그 상태방정식을 다음 형태로 가져올 수 있다.
\[\varphi(q,\,p,\,V,\,E) = 0\]
식 (18c)도 같은 방식으로 바꾸면
\[G = q\left\{\mu + \frac{E + pV}{c^2}\right\} \tag{18d}\]
을 얻으며, 이 식은 운동량 보존의 원리를 나타내는 방정식
\[\frac{dG_x}{dt} = \Sigma K_x\ \text{등}\]
과 결합하여, \(\Sigma K_x\) 등뿐만 아니라 \(E,\,p,\,V\)도 시간의 함수로 알려져 있을 때, 또는 이 마지막 세 함수 대신 계가 겪는 운동이 어떤 조건 아래서 진행되는지를 나타내는 그와 동등한 정보가 주어져 있을 때, 계 전체의 병진운동을 완전히 결정한다.
고찰하는 계가, 질량이 없는 공동(空洞) 안에 갇혀 있는 전자기 복사로 이루어져 있고, 그 공동의 벽이 복사압에 대해 평형을 이룬다고 하자. 외력이 공동에 작용하지 않는다면, 우리는 계 전체(공동을 포함하여)에 대해 식 (16a)와 (18a)를 적용할 수 있다. 곧
\[E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}},\qquad G = \frac{q}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}}\,E_0 = q\,\frac{E}{c^2}\]
이며, 여기서 \(E_0\)는 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 복사의 에너지이다.
반면 공동의 벽이 완전히 휘어지고 늘어날 수 있어서, 안에서 밖으로 미치는 복사압이, 이 계에 속하지 않는 물체로부터 오는 외력에 의해 평형을 이루어야 한다면, 식 (16c)와 (18c)를 적용해야 하며, 이때 복사압에 대해 알려진 값
\[p_0 = \frac{1}{3}\frac{E_0}{c^2}\]
를 대입하면 다음을 얻는다.
\[ E = \frac{E_0\left(1 + \dfrac{1}{3}\dfrac{q^2}{c^2}\right)}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}},\qquad G = \frac{q\cdot\dfrac{4}{3}\dfrac{E_0}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} \]
이제 질량 없는, 전기를 띤 물체의 경우를 살펴보자. 이 물체에 외력이 작용하지 않는다면, 우리는 다시 식 (16a)와 (18a)를 적용할 수 있다. \(E_0\)를 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 전기적 에너지라 하면
\[ E = \frac{E_0}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}},\qquad G = \frac{q\cdot\dfrac{4}{3}\dfrac{E_0}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{q^2}{c^2}}} \]
를 얻는다.
이 값들 가운데 일부는 전자기장에, 나머지는 그 전하로 말미암아 힘을 받는, 질량 없는 물체 쪽에 돌아간다.\(^{1)}\)
우리는 지금까지 물리계의 상태를 정하는 변수로서 압력, 부피, 에너지, 속도, 운동량만을 사용했으며, 열적인 양에 대해서는 아직 말하지 않았다. 이는, 계에 공급된 에너지가 어떤 종류의 것이었든 운동에는 무차별적이어서, 지금까지는 열과 역학적 일을 구별할 이유가 없었기 때문이다. 이제 우리는 열적인 양도 도입하고자 한다.
운동하는 계의 상태는 양 \(q,\,V,\,E\)로 완전히 정해진다. 그러한 계에 대해, 공급된 열 \(dQ\)를 우리는, 압력에 의해 이루어진 일과 운동량의 증가에 쓰인 일을 뺀 나머지 전체 에너지 증가로 본다. 곧
\[dQ = dE + p\,dV - q\,dG \tag{23}\]
이다. 이렇게 운동하는 계에 대해 공급된 열이 정의되고 나면, 가역순환과정을 고찰함으로써, 운동하는 계의 절대온도 \(T\)와 엔트로피 \(\eta\)를, 열역학 교과서에서와 같은 방식으로 도입할 수 있다. 가역과정에 대해서는 여기서도 다음 방정식이 성립한다.
\[dQ = T\,d\eta \tag{24}\]
이제 우리는, 양 \(dQ,\,\eta,\,T\)와 함께 운동하는 기준계에 대해 정한 대응하는 양 \(dQ_0,\,\eta_0,\,T_0\) 사이의 관계를 이끌어내고자 한다. 엔트로피에 관해서는
| 각주(§14–§15) 1) A. 아인슈타인, Ann. d. Phys. (4) 23, 373–379, 1907을 참조하라. |
여기서 플랑크 선생이 제시한 고찰\(^{1)}\)을 되풀이하면서, “붙임표 있는” 기준계 또는 “붙임표 없는” 기준계란 각각 기준계 \(S'\) 또는 \(S\)를 뜻함을 밝혀 둔다.
“우리는 어떤 물체가, 붙임표 없는 기준계에 대해 정지해 있는 어떤 상태로부터, 임의의 가역적·단열적 과정을 거쳐, 붙임표 있는 기준계에 대해 정지해 있는 둘째 상태로 옮겨지는 것을 생각한다. 붙임표 없는 기준계에 대한 물체의 엔트로피를 처음 상태에서는 \(\eta_1\), 나중 상태에서는 \(\eta_2\)라 부르면, 가역성과 단열성으로 인해 \(\eta_1 = \eta_2\)이다. 그런데 붙임표 있는 기준계에 대해서도 그 과정은 마찬가지로 가역적·단열적이므로, 우리는 마찬가지로 \(\eta_1' = \eta_2'\)을 얻는다.”
“만약 이제 \(\eta_1'\)이 \(\eta_1\)과 같지 않고, 예컨대 \(\eta_1' > \eta_1\)이라면, 이는 다음을 뜻할 것이다. 곧 어떤 물체의 엔트로피는, 그 물체가 운동하고 있는 것으로 파악되는 기준계에 대해서, 그 물체가 정지해 있는 기준계에 대해서보다 더 크다는 것이다. 그렇다면 이 정리에 따라, 둘째 상태에서도 \(\eta_2 > \eta_2'\)이어야 한다. 왜냐하면 이제 물체는 붙임표 있는 기준계에 대해 정지해 있고, 붙임표 없는 기준계에 대해서는 운동하고 있는 것으로 파악되기 때문이다. 그런데 이 두 부등식은 서로 모순된다. \(\eta_1' > \eta_1\)일 수 없는 것과 마찬가지로 \(\eta_1' < \eta_1\)일 수도 없다. 따라서 \(\eta_1' = \eta_1\)이며, 일반적으로 \(\eta' = \eta\)이다. 곧 물체의 엔트로피는 기준계의 선택에 좌우되지 않는다.”
우리가 쓰는 표기법으로는 따라서 다음과 같이 두어야 한다.
\[\eta = \eta_0 \tag{25}\]
나아가 식 (23)의 우변에, 식 (16c), (18c), (20), (22)를 이용해 양 \(E_0,\,p_0,\,V_0\)를 대입하면
\[dQ = \sqrt{1 - \frac{q^2}{c^2}}\,(dE_0 + p_0\,dV_0)\]
또는
\[dQ = dQ_0\cdot\sqrt{1 - \frac{q^2}{c^2}} \tag{26}\]
을 얻는다. 나아가 식 (24)에 의해
\[dQ = T\,d\eta,\qquad dQ_0 = T_0\,d\eta_0\]
의 두 식이 성립하므로, (25)와 (26)을 고려하면 마침내
\[\frac{T}{T_0} = \sqrt{1 - \frac{q^2}{c^2}} \tag{27}\]
을 얻는다. 곧 운동하는 계의 온도는, 그에 대해 상대적으로 운동하는 기준계에 대해서는, 그에 대해 상대적으로 정지해 있는 기준계에 대해서보다 언제나 더 낮다.
| 각주(§15) 1) M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme, Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907. |
플랑크 선생은 그의 논문 “운동하는 계의 역학에 관하여”에서 최소작용의 원리로부터 출발하여(그리고 공동복사의 압력과 온도에 대한 변환방정식으로부터도)\(^{1)}\), 여기서 전개한 것과 부합하는 결과에 이른다. 그러므로 그의 논의의 토대가 이 논문의 것과 어떻게 관련되는지 물을 만하다.
우리는 에너지원리와 운동량 보존의 원리에서 출발했다. \(F_x,\,F_y,\,F_z\)를 계에 작용하는 힘의 합력의 성분이라 부르면, 우리가 사용한 원리들은, 가역과정과, 변수 \(q,\,V,\,T\)로 상태가 정해지는 계에 대해, 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[dE = F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz - p\,dV + T\,dS \tag{28}\]
\[F_x = \frac{dG_x}{dt}\ \text{등등} \tag{29}\]
이 방정식들로부터, \(F_x\,dx = F_x\dot x\,dt = \dot x\,dG_x = d(xG_x) - G_x\,dx\)이고
\[T\,d\eta = d(T\eta) - \eta\,dT\]
임을 유의하면, 다음 관계식을 얻는다.
\[d(-E + T\eta + qG) = G_x\,d\dot x + G_y\,d\dot y + G_z\,d\dot z + p\,dV + \eta\,dT\]
이 방정식의 우변도 완전미분이어야 하므로, (29)를 고려하면 다음이 따라 나온다.
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot x}\right) = F_x,\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot y}\right) = F_y,\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot z}\right) = F_z \] \[ \frac{\partial H}{\partial V} = p,\qquad \frac{\partial H}{\partial T} = \eta \]
그런데 이것이 바로 최소작용의 원리를 통해 이끌어낼 수 있는 방정식들이며, 플랑크 선생이 출발점으로 삼은 것도 바로 이것이다.
| 각주(§16) 1) M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme, Sitzungsber. d. kgl. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1907. |
지금까지 우리는 상대성원리, 곧 자연법칙이 기준계의 운동 상태에 좌우되지 않는다는 전제를, 오직 가속되지 않은 기준계에 대해서만 적용해 왔다. 서로에 대해 가속되어 있는 계에 대해서도 상대성원리가 성립한다고 생각할 수 있을까?
여기서 이 물음을 속속들이 다룰 자리는 아니다. 그러나 이 물음은 지금까지 상대성원리를 적용해 오면서 누구에게나 저절로 떠오를 수밖에 없으므로, 나는 이 자리에서 이 물음에 대한 내 견해를 밝히지 않을 수 없다.
두 운동계 \(\varSigma_1\)과 \(\varSigma_2\)를 생각하자. \(\varSigma_1\)은 그 \(X\)축 방향으로 가속되어 있으며, 그 가속도의 크기 \(\gamma\)는 시간에 대해 일정하다고 하자. \(\varSigma_2\)는 정지해 있지만, 그 안에 있는 모든 물체에 \(X\)축 방향으로 가속도 \(-\gamma\)를 주는 균일한 중력장 속에 놓여 있다고 하자.
우리가 아는 한, \(\varSigma_1\)에 대해 성립하는 물리법칙은 \(\varSigma_2\)에 대해 성립하는 물리법칙과 다르지 않다. 이는, 중력장 속에서는 모든 물체가 똑같이 가속된다는 사실에 근거를 둔다. 그러므로 우리는 현재 우리 경험의 수준에서, 계 \(\varSigma_1\)과 \(\varSigma_2\)가 어떤 점에서도 서로 구별되지 않는다고 가정할 이유가 없으며, 이후로 중력장과 그에 대응하는 기준계의 가속도 사이에 완전한 물리적 동등성이 성립한다고 가정하고자 한다.
이 가정은 상대성원리를, 기준계의 균일한 가속 병진운동의 경우로까지 확장한다. 이 가정의 발견법적(發見法的) 가치는, 균일한 중력장을 균일하게 가속되는 기준계로 대체할 수 있게 해 준다는 데 있으며, 이 후자의 경우는 이론적 취급이 어느 정도까지는 가능하다.
먼저 어떤 물체를 생각하자. 이 물체의 각 물질점은, 가속되지 않은 기준계 \(S\)의 어떤 특정 시각 \(t\)에, \(S\)에 대해 속도는 없지만 어떤 일정한 가속도 \(\gamma\)를 갖는다고 하자. 이 가속도 \(\gamma\)는 \(S\)에 대한 이 물체의 모습에 어떤 영향을 미치는가?
만약 그러한 영향이 존재한다면, 그것은 가속도 방향의 팽창(또는 수축)과, 그에 수직인 두 방향으로의 팽창(또는 수축)으로 나타날 것이다. 다른 종류의 영향은 대칭성의 근거에 의해 배제된다. 가속도에서 비롯한 이 팽창들은 (만약 그런 것이 존재한다면) \(\gamma\)의 짝함수여야 하므로, \(\gamma\)가 아주 작아서 \(\gamma\)의 이차 이상의 항을 무시해도 좋은 경우로 국한하면 이는 무시할 수 있다. 이후 우리는 이 경우로 국한하고자 하므로, 가속도가 물체의 모습에 미치는 영향은 고려하지 않기로 한다.
이제 가속되지 않은 기준계 \(S\)에 대해 그 \(X\)축 방향으로 균일하게 가속되는 기준계 \(\varSigma\)를 생각하자. \(\varSigma\)의 시계와 자는 \(S\)의 시계 및 자와, 정지 상태에서 조사했을 때 같다고 하자. \(\varSigma\)의 좌표 원점은 \(S\)의 \(X\)축 위를 움직이며, \(\varSigma\)의 축들은 언제나 \(S\)의 축들과 평행을 이룬다고 하자. 어떤 순간에나, \(\varSigma\)의 좌표축들이 그 순간에 가속되지 않은 기준계 \(S'\)의 좌표축들과 일치하는, 그러한 \(S'\)이 존재한다. 이 시각에 (\(S'\)에 대해 정한) 시각 \(t'\)에 일어나는 점사건이 \(\varSigma\)에 대해 좌표 \(\xi,\,\eta,\,\zeta\)를 갖는다면
\[x' = \xi,\qquad y' = \eta,\qquad z' = \zeta\]
이다. 왜냐하면 위에서 말한 대로, 가속도가 \(\xi,\,\eta,\,\zeta\)를 재는 데 쓰이는 측정 도구의 모습에 미치는 영향은 고려하지 않기로 했기 때문이다. 우리는 나아가, \(\varSigma\)의 시계들이 이 시각 \(t'\)에, \(S\)에서 볼 때, 그 눈금이 \(t'\)과 같도록 맞추어져 있다고 생각하기로 한다. 그렇다면 다음 시간요소 \(\tau\) 동안, 그 시계들의 진행은 어떠할까?
먼저, 가속도 자체가 \(\varSigma\)의 시계 진행에 미치는 특수한 영향은, 그 영향의 크기가 \(\gamma^2\) 정도일 것이므로 고려할 필요가 없다는 점을 유의하자. 나아가, \(\tau\) 동안 얻는 속도가 시계의 진행에 미치는 영향도 무시할 수 있고, 마찬가지로 \(\tau\) 동안 \(S'\)의 시계들에 대해 상대적으로 지나간 경로도 \(\tau^2\) 정도이므로 무시할 수 있으므로, 시간요소 \(\tau\)에 대해서는 \(\varSigma\)의 시계 눈금을 \(S'\)의 시계 눈금으로 완전히 대체해도 무방하다.
앞의 논의로부터, 빛은 진공 속에서 \(\varSigma\)에 대해서도 보편적인 속도 \(c\)로 전파됨이 따라 나온다. 다만 이는, \(\varSigma\)에 대해 정지해 있는 계 \(S'\)에서 동시성을 정의하고, 시간·길이 측정에 가속되지 않은 계에서 쓰는 것과 같은 시계·자를 쓸 때에 한한다. 그러므로 빛의 속도 불변의 원리를 여기서도 동시성을 정의하는 데 이용할 수 있다. 다만 매우 짧은 빛의 경로에 국한하는 한에서 그러하다.
이제 우리는 \(S'\)으로부터 \(\varSigma\)의 시계들을, 위에서 말한 방식으로, \(\varSigma\)가 시각 \(t=0\)에서 \(S\)에 대해 순간적으로 정지해 있는 그 시각으로 맞춘다고 생각하기로 한다. 이렇게 맞춘 \(\varSigma\)의 시계들의 눈금 전체를 계 \(\varSigma\)의 “지역시(地域時, Ortszeit)” \(\sigma\)라 부르기로 하자. 지역시 \(\sigma\)의 물리적 의미는 다음과 같이 곧바로 알 수 있다. \(\varSigma\)의 개별 공간요소에서 일어나는 과정을 시간에 따라 정하는 데 그 지역시 \(\sigma\)를 이용하면, 그 과정이 따르는 법칙은 문제되는 공간요소의 위치, 곧 그 좌표에 좌우되지 않는다 — 다만 이는, 서로 다른 공간요소에서 같은 종류의 측정 도구를 쓸 때에 한한다.
반면 우리는 지역시 \(\sigma\)를 \(\varSigma\)의 “시간”이라고 그대로 부를 수는 없다. 그 까닭은, \(\varSigma\)의 서로 다른 두 점에서 일어나는 점사건은, 우리의 위 정의에 따르면, 그 지역시 \(\sigma\)가 서로 같을 때 동시가 아니기 때문이다. 실제로, \(\varSigma\)의 임의의 두 시계는, 시각 \(t=0\)에 \(S\)에 대해 동기(同期)이며 같은 운동을 겪으므로, 이후로도 계속 \(S\)에 대해 동기 상태로 남는다. 그러나 이 시계들은, §4에 의하면, \(\varSigma\)에 대해 순간적으로 정지해 있으면서 \(\varSigma\)에 대해 운동하는 계 \(S'\)에 대해서는 동기 상태에 있지 않으며, 따라서 우리의 정의에 의해서도 \(\varSigma\)에 대해 동기 상태에 있지 않다.
우리는 이제 계 \(\varSigma\)의 “시간” \(\tau\)를, \(\varSigma\)의 좌표 원점에 놓인 시계의 눈금들 가운데, 위 정의의 뜻에서 시간적으로 평가할 사건들과 동시인 것들의 총체로 정의하고자 한다.\(^{1)}\)
우리는 이제 시각 \(\tau\)와 어떤 점사건의 지역시 \(\sigma\) 사이의 관계를 찾고자 한다. 식 (1)의 첫째 식으로부터, \(S'\)에 대해, 따라서 \(\varSigma\)에 대해서도, 두 사건이 동시인 것은
\[t_1 - \frac{v}{c^2}x_1 = t_2 - \frac{v}{c^2}x_2\]
일 때임이 따라 나온다. 여기서 아래첨자는 첫째 사건 또는 둘째 사건에 속함을 가리킨다.
우리는 이제 우선 아주 짧은 시간(\(^{1)}\))만을 고찰하는 것으로 국한하는데, 이는 \(\tau\)나 \(v\)를 포함하는 항, 또는 그보다 높은 차수의 항은 모두 생략해도 좋도록 하기 위함이다. 그러면 (1)과 (29)를 고려하여 다음과 같이 둘 수 있다.
\[x_2 - x_1 = x_2' - x_1' = \xi_2 - \xi_1\] \[t_1 = \sigma_1,\qquad t_2 = \sigma_2\] \[v = \gamma\tau\]
이로부터
\[\sigma_2 - \sigma_1 = \frac{\gamma\tau}{c^2}(\xi_2 - \xi_1)\]
를 얻는다. 첫째 점사건을 좌표 원점으로 잡으면, \(\sigma_1 = \tau\)이고 \(\xi_1 = 0\)이므로, 둘째 점사건에 대해서는 (아래첨자를 생략하면)
\[\sigma = \tau\left(1 + \frac{\gamma\xi}{c^2}\right) \tag{30}\]
를 얻는다.
이 식은 우선, \(\tau\)와 \(\xi\)가 어떤 한계 안에 있을 때 성립한다. \(\varSigma\)에 대해 가속도 \(\gamma\)가 시간적으로 일정하다면, 이 식이 임의로 큰 \(\tau\)에 대해서도 성립함은 분명하다. 그러나 임의로 큰 \(\xi\)에 대해서는 식 (30)이 성립하지 않는다. 왜냐하면 \(\sigma\)와 \(\tau\) 사이의 관계는, 크기가 유한한 \(\xi\)에 대해서는 선형이어야 할 이유가 없기 때문이다. 좌표 원점을 어떻게 택하든 그 관계에는 영향이 없어야 한다는 점으로부터, 식 (30)은 정확하게는 다음 식으로 대체되어야 함을 알 수 있다.
\[\sigma = \tau\,e^{\frac{\gamma\xi}{c^2}}\]
그러나 우리는 여기서는 식 (30)에 머무르기로 한다.
식 (30)은 §17에 의하면, 균일한 중력장이 작용하는 좌표계에 대해서도 적용할 수 있다. 이 경우 \(\Phi = \gamma\xi\)로 두는데, 여기서 \(\Phi\)는 중력의 퍼텐셜을 뜻한다. 그러면 우리는
\[\sigma = \tau\left(1 + \frac{\Phi}{c^2}\right) \tag{30a}\]
를 얻는다.
우리는 \(\varSigma\)에 대해 두 가지 시간을 정의한 셈이다. 서로 다른 경우에 어느 쪽 정의를 써야 할까? 두 곳에서 중력 퍼텐셜이 서로 다르다고 하고, 두 곳에 각각 하나의 물리계가 있어서, 그 물리량들을 서로 비교하고자 한다고 하자. 이를 위한 가장 자연스러운 방법은 다음과 같을 것이다. 우리는 우리의 측정 도구를 지니고 먼저 첫째 물리계로 가서, 거기서 측정을 수행한다. 그다음 우리는 우리의 측정 도구를 지닌 채 둘째 물리계로 가서, 거기서도 같은 측정을 수행한다. 이때와 저때의 측정이 같은 결과를 준다면, 우리는 두 물리계를 “같다”고 부를 것이다. 앞서 말한 측정 도구 가운데는 지역시 \(\sigma\)를 재는 시계가 포함되어 있다. 따라서 우리가 물리량을 정의하는 데는, 중력장 안의 각 위치에서, 그 위치에 자연스럽게 속하는 지역시 \(\sigma\)를 사용하게 된다는 결론이 나온다.
그러나 서로 다른 중력 퍼텐셜을 가진 여러 곳에 동시에 있는 대상들을 함께 고려해야 하는 현상을 다룰 때는 사정이 다르다. 물리량을 정의할 때 (곧 정의 자체에서가 아니라) 시간이 명시적으로 등장하는 항들에서는, 시간 \(\tau\)를 써야 한다. 그러지 않으면, 두 사건이 동시임이 그 두 사건의 시간값이 같음으로 표현되지 않을 것이기 때문이다. 그런데 시간 \(\tau\)의 정의는, 자의로 정해진 한 시점에서는 자의로 택하지 않되, 자의로 택한 한 곳에 있는 시계로 정의되므로, 시간 \(\tau\)를 쓸 때는 자연법칙이 시간과는 무관하게 나타낼 수 없지만, 장소에 대해서는 그렇게 나타낼 수 있다.
중력 퍼텐셜 \(\Phi\)를 갖는 어떤 점 \(P\)에, 지역시를 가리키는 시계 하나가 있다고 하면, 식 (30a)에 의해 그 눈금은 좌표 원점에 있는 같은 종류의 시계보다 \(\left(1 + \dfrac{\Phi}{c^2}\right)\)배만큼 더 빠르게, 곧 진행 속도가 그만큼 더 빠르게 간다. 어떤 관찰자가 그 세계 어디에 있든, 이 두 시계의 눈금을 어떤 방식으로든 — 예컨대 광학적인 경로를 통해 — 지각한다고 하자. 두 시계 가운데 어느 하나의 눈금이 나타난 시점과, 그 관찰자가 그 눈금을 지각하는 시점 사이에 지나가는 시간 \(\Delta\tau\)가 \(\tau\)에 좌우되지 않으므로, 세계 어딘가에 있는 그 관찰자에게는, \(P\)에 있는 시계가 좌표 원점에 있는 시계보다 \(\left(1 + \dfrac{\Phi}{c^2}\right)\)배 더 빠르게 가는 것으로 보인다. 이러한 뜻에서 우리는, 시계 안에서 벌어지는 과정 — 그리고 더 일반적으로 모든 물리적 과정이 — \(P\)에서는 좌표 원점에서보다 그만큼 더 빠르게 진행된다고 말할 수 있다. 그 과정이 일어나는 곳의 중력 퍼텐셜이 클수록, 그 진행은 그만큼 더 빠르다.
이제 서로 다른 중력 퍼텐셜을 가진 여러 곳에 존재하며, 그 진행 속도가 아주 정밀하게 검증될 수 있는 “시계들”이 있다. 그것은 스펙트럼선을 만들어내는 것들이다. 위의 논의로부터 다음과 같은 결론이 나온다.\(^{1)}\) 즉 그러한 발생원으로부터 나와 태양 표면에서 오는 빛은, 지구 위에서 같은 물질로 만들어진 빛에 비해, 파장이 대략 200만분의 1만큼 더 길다.
전자기 과정을, 위에서와 같이 균일하게 가속되는 기준계 \(\varSigma\)에 대해 순간적으로 정지해 있는 가속되지 않은 기준계 \(S'\)에 대해, 어느 시점에 관련지어 보자. (5)와 (6)에 의해 다음이 성립한다.
\[ \frac{1}{c}\left(\varrho'u_x' + \frac{\partial X'}{\partial t'}\right) = \frac{\partial N'}{\partial y'} - \frac{\partial M'}{\partial z'}\ \text{등} \]
과
\[ \frac{1}{c}\frac{\partial L'}{\partial t'} = \frac{\partial Y'}{\partial z'} - \frac{\partial Z'}{\partial y'}\ \text{등} \]
위의 논의에 따르면, 우리는 \(S'\)에 관련된 양 \(\varrho',\,u',\,X',\,L',\,x'\) 등을, \(\varSigma\)에 관련된 대응하는 양 \(\varrho,\,u,\,X,\,L,\,\xi\) 등과, \(S'\)과 \(\varSigma\)가 상대적으로 정지해 있는 시간이 무한히 짧다는 조건 아래서는, 아무런 어려움 없이 같다고 놓을 수 있다.\(^{2)}\) 나아가 우리는 \(t'\)을 지역시 \(\sigma\)로 대체해야 한다. 반면 우리는 단순히
\[\frac{\partial}{\partial t'} = \frac{\partial}{\partial \sigma}\]
로 놓을 수는 없는데, 그 까닭은 \(\varSigma\)에 대해 정지해 있는 점에서, \(\varSigma\)로 변환된 방정식들이 관련되어야 할 그 점이, 시간요소 \(dt' = d\sigma\) 동안 그 속도를 바꾸며, 이 속도 변화에는 식 (7a), (7b)에 의해, \(\varSigma\)에 관련된 장 성분의 시간적 변화가 대응하기 때문이다. 우리는 따라서 다음과 같이 두어야 한다.
\[ \frac{\partial X'}{\partial t'} = \frac{\partial X}{\partial \sigma},\qquad \frac{\partial L'}{\partial t'} = \frac{\partial L}{\partial \sigma} \] \[ \frac{\partial Y'}{\partial t'} = \frac{\partial Y}{\partial \sigma} + \frac{\gamma}{c}N,\qquad \frac{\partial M'}{\partial t'} = \frac{\partial M}{\partial \sigma} - \frac{\gamma}{c}Z \] \[ \frac{\partial Z'}{\partial t'} = \frac{\partial Z}{\partial \sigma} - \frac{\gamma}{c}M,\qquad \frac{\partial N'}{\partial t'} = \frac{\partial N}{\partial \sigma} + \frac{\gamma}{c}Y \]
그러므로 \(\varSigma\)에 관련된 전자기 방정식은 우선 다음과 같이 된다.
\[ \frac{1}{c}\left(\varrho u_\xi + \frac{\partial X}{\partial \sigma}\right) = \frac{\partial N}{\partial \eta} - \frac{\partial M}{\partial \zeta} \] \[ \frac{1}{c}\left(\varrho u_\eta + \frac{\partial Y}{\partial \sigma} + \frac{\gamma}{c}N\right) = \frac{\partial L}{\partial \zeta} - \frac{\partial N}{\partial \xi} \] \[ \frac{1}{c}\left(\varrho u_\zeta + \frac{\partial Z}{\partial \sigma} - \frac{\gamma}{c}M\right) = \frac{\partial M}{\partial \xi} - \frac{\partial L}{\partial \eta} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial L}{\partial \sigma} = \frac{\partial Y}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z}{\partial \eta} \] \[ \frac{1}{c}\left(\frac{\partial M}{\partial \sigma} - \frac{\gamma}{c}Z\right) = \frac{\partial Z}{\partial \xi} - \frac{\partial X}{\partial \zeta} \] \[ \frac{1}{c}\left(\frac{\partial N}{\partial \sigma} + \frac{\gamma}{c}Y\right) = \frac{\partial X}{\partial \eta} - \frac{\partial Y}{\partial \xi} \]
이제 이 방정식들에 \(\left(1 + \dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)\)를 곱하고, 줄여 쓰기 위해
\[X^* = X\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right),\qquad Y^* = Y\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right),\ \text{등}\] \[\varrho^* = \varrho\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)\]
라 두자. \(\gamma\)의 이차 이상인 항을 무시하면, 다음 방정식들을 얻는다.
\[ \frac{1}{c}\left(\varrho^*u_\xi + \frac{\partial X^*}{\partial \sigma}\right) = \frac{\partial N^*}{\partial \eta} - \frac{\partial M^*}{\partial \zeta} \] \[ \frac{1}{c}\left(\varrho^*u_\eta + \frac{\partial Y^*}{\partial \sigma}\right) = \frac{\partial L^*}{\partial \zeta} - \frac{\partial N^*}{\partial \xi} \] \[ \frac{1}{c}\left(\varrho^*u_\zeta + \frac{\partial Z^*}{\partial \sigma}\right) = \frac{\partial M^*}{\partial \xi} - \frac{\partial L^*}{\partial \eta} \tag{31a} \]
\[ \frac{1}{c}\frac{\partial L^*}{\partial \sigma} = \frac{\partial Y^*}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z^*}{\partial \eta} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial M^*}{\partial \sigma} = \frac{\partial Z^*}{\partial \xi} - \frac{\partial X^*}{\partial \zeta} \] \[ \frac{1}{c}\frac{\partial N^*}{\partial \sigma} = \frac{\partial X^*}{\partial \eta} - \frac{\partial Y^*}{\partial \xi} \tag{32a} \]
이 방정식들로부터 먼저, 중력장이 정적·정상적 현상에 어떻게 영향을 미치는지 알 수 있다. 그 성립하는 법칙들은 중력이 없는 장에서와 동일하되, 다만 장 성분 \(X\) 등이 \(X\left(1+\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)\) 등으로, \(\varrho\)가 \(\varrho\left(1+\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)\)로 바뀌어 있다는 점만 다르다.
나아가 비정상 상태의 과정도 살펴보기 위해, 우리는 시간 \(\tau\)에 대해 미분된 항에서나, 전기량의 속도를 정의하는 데서나, 모두 시간 \(\tau\)를 쓰기로 한다. 곧 식 (30)에 따라 다음과 같이 둔다.
\[\frac{\partial}{\partial\sigma} = \left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)\frac{\partial}{\partial\tau},\qquad w_\xi = \left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)\dot\xi\]
그러면 우리는 다음을 얻는다.
\[ \frac{1}{c\left(1+\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)}\left(\varrho^*w_\xi + \frac{\partial X^*}{\partial\tau}\right) = \frac{\partial N^*}{\partial\eta} - \frac{\partial M^*}{\partial\zeta}\ \text{등} \tag{31b} \]
과
\[ \frac{1}{c\left(1+\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)}\frac{\partial L^*}{\partial\tau} = \frac{\partial Y^*}{\partial\zeta} - \frac{\partial Z^*}{\partial\eta}\ \text{등} \tag{32b} \]
이 방정식들 또한, 가속(곧 중력)이 없는 공간에 대응하는 방정식들과 같은 형태를 가진다. 다만 여기서는 \(c\) 대신
\[c\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right) = c\left(1+\frac{\Phi}{c^2}\right)\]
이 들어선다는 점이 다르다.
이로부터, \(\xi\)축을 따라가지 않는 광선은 중력장에 의해 휘어진다는 것이 따라 나온다. 그 방향의 변화는 쉽게 알 수 있듯이, 빛이 지나가는 경로 1cm당
\[\frac{\gamma}{c^2}\sin\varphi\]
이며, 여기서 \(\varphi\)는 중력의 방향과 광선의 방향 사이의 각을 나타낸다.
이 방정식들과, 정지한 물체의 광학으로부터 알려진, 어떤 곳의 장 세기와 전기 흐름 사이의 관계식을 이용하면, 정지해 있는 물체에서 일어나는 광학 현상에 중력장이 미치는 영향을 알아낼 수 있다. 여기서 유의해야 할 것은, 정지한 물체의 광학으로부터 얻는 저 방정식들은 지역시 \(\sigma\)에 대해 성립한다는 점이다. 그러나 유감스럽게도, 우리 이론에 따르면 지상(地上) 중력장의 영향은 \(\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\)의 작기 정도로 인해 매우 작아서, 광학 현상에 대해서는 이론의 결과를 경험과 비교해 볼 가망이 없다.
식 (31a)와 (32a)에 차례로 \(\dfrac{X^*}{4\pi},\ \cdots\ \dfrac{N^*}{4\pi}\)를 곱하고, 우리가 앞서 쓴 표기법을 그대로 써서 무한한 공간에 대해 적분하면
\[ \int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)^2\frac{\varrho}{4\pi}(u_\xi X + u_\eta Y + u_\zeta Z)\,d\omega \] \[ +\ \int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)^2\cdot\frac{1}{8\pi}\frac{\partial}{\partial\sigma}(X^2+Y^2+\cdots+N^2)\,d\omega = 0 \]
을 얻는다. \(\dfrac{\varrho}{4\pi}(u_\xi X + u_\eta Y + u_\zeta Z)\)는 부피단위·지역시 단위당 물질에 공급되는 에너지이며, 이를 그 해당 지점에 있는 측정 도구로 잰 값을 \(\eta_\sigma\)라 하자. 그러면 (30)에 의해 \(\eta_\tau = \eta_\sigma\left(1-\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)\)는 부피단위·시간 \(\tau\) 단위당 물질에 공급되는(마찬가지로 잰) 에너지이다. \(\dfrac{1}{8\pi}(X^2+Y^2+\cdots+N^2)\)은 부피단위당 전자기 에너지 \(\varepsilon\)이며, 이 또한 마찬가지로 잰 값이다. 나아가 (30)에 의해 \(\dfrac{\partial}{\partial\sigma} = \left(1-\dfrac{\gamma\xi}{c^2}\right)\dfrac{\partial}{\partial\tau}\)로 두어야 함을 고려하면, 우리는 다음을 얻는다.
\[ \int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)\eta_\tau\,d\omega + \frac{d}{d\tau}\left\{\int\left(1+\frac{\gamma\xi}{c^2}\right)\varepsilon\,d\omega\right\} = 0 \]
이 방정식은 에너지 보존의 원리를 나타내며, 매우 주목할 만한 결과를 담고 있다. — 어떤 자리에서 측정한 에너지 또는 에너지 공급량이 (\(E = \varepsilon\,d\omega\) 또는 \(E = \eta\,d\omega\,d\tau\)라는 값을 가지며, 이를 에너지 적분에 넣을 때는, 그 크기에 대응하는 값 외에, 그 위치에 대응하는 값 \(\dfrac{E}{c^2}\gamma\xi = \dfrac{E}{c^2}\Phi\)를 하나 더 갖게 된다는 것이다. 곧 어떠한 에너지 \(E\)에도, 중력장 안에서는, 그 위치에 대응하는 에너지가 함께 딸리게 되며, 이는 크기 \(\dfrac{E}{c^2}\)인 “무거운(중력을 받는)” 질량의 위치에너지와 똑같은 크기를 갖는다.
§11에서 이끌어낸 명제 — 곧 어떤 에너지량 \(E\)에는 \(\dfrac{E}{c^2}\) 크기의 질량이 딸린다는 명제 — 는, 따라서 §17에서 도입한 전제가 성립한다면, 관성질량뿐 아니라 중력질량에 대해서도 성립한다.
(1907년 12월 4일 접수.)
| 각주(§19–§20) 1) 식 (30a)가 균일하지 않은 중력장에 대해서도 성립한다고 가정함으로써 얻는 결과이다. 2) \(\varSigma\)와 \(S'\)이 상대적으로 정지해 있는 시간을 무한히 짧게 잡는 이 제한은, 이로부터 이끌어낼 자연법칙이 그 성질상 시간에 좌우될 수 없으므로, 우리 결과가 성립하는 범위를 조금도 좁히지 않는다. |
이 논문은 아인슈타인이 1905년 특수상대성이론을 발표한 지 불과 2년 뒤, 스물여덟 살에 쓴 총설이다. 앞의 네 부(部)는 1905년 논문의 내용을 좌표변환·전기역학·질점의 역학·계의 열역학이라는 순서로 체계적으로 재구성한 것이지만, 논문 말미의 제5부(“상대성원리와 중력”)는 이 총설에서 전혀 새로 쓴 부분이다. 여기서 아인슈타인은 처음으로, 균일하게 가속되는 기준계와 균일한 중력장이 물리적으로 완전히 동등하다는 등가원리를 제시하고, 이로부터 중력장 속에서 시계가 느리게 간다는 것(중력 시간지연), 태양 표면에서 오는 빛의 스펙트럼선이 지구의 것보다 적색으로 치우친다는 것(중력 적색편이의 최초 예측, 약 200만분의 1이라는 수치까지 제시), 빛이 중력장 속에서 휜다는 것(중력렌즈 효과의 최초 예측), 그리고 에너지에는 그 위치에 대응하는 “위치에너지”가 중력장 속에서 따로 존재한다는 것을 차례로 이끌어낸다. 이 다섯째 부에서 도입된 등가원리는 이후 8년에 걸친 연구 끝에 1915–16년의 일반상대성이론(이 프로젝트에서 이미 번역한 D14 “일반상대성이론의 기초”)으로 결실을 맺으며, 이 논문은 그 첫걸음이라는 점에서 사료적으로 매우 중요하다.