알베르트 아인슈타인
(번역 일러두기: 이 문서는 1916년 아인슈타인의 원논문 “Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”의 1920년 영역본(Perrett·Jeffery 역, Wikisource 공개도메인본)을 저본으로 삼아 한국어로 새로 옮긴 것이다. 원문·영역본에서 크리스토펠 기호를 \(\{^{\mu\nu}_{\ \tau}\}\) 같은 중괄호 표기로 쓴 부분은, 오늘날 대학 일반상대성이론 강의에서 쓰는 표준 표기 \(\Gamma^{\tau}_{\mu\nu}\)로 전면 교체했다. 그 밖의 텐서·미분기하 용어도 현대 한국 대학물리학(일반상대성이론) 강의에서 쓰는 표준 용어로 통일했으며, 원문의 식 번호 (1)~(75)와 각주는 그대로 유지했다.)
이 논문에서 제시하는 이론은, 오늘날 “상대성이론”이라고 불리는 것에 대해 생각할 수 있는 가장 폭넓은 일반화를 이룬다. 이하에서는 이 후자의 이론을 “특수상대성이론”이라 불러 앞의 것과 구별하고, 이미 알려진 것으로 전제한다. 상대성이론을 일반화하는 작업은 민코프스키(Minkowski)가 특수상대성이론에 부여한 형식 덕분에 훨씬 쉬워졌다. 민코프스키는 공간꼴 좌표와 시간꼴 좌표가 형식적으로 동등함을 명확히 인식한 최초의 수학자였으며, 이 동등성을 이론을 구성하는 데 활용하였다. 일반상대성이론에 필요한 수학적 장치는 이미 “절대미분학(絶對微分學, Absolute Differential Calculus)”에 완비되어 있었다. 이는 가우스(Gauss), 리만(Riemann), 크리스토펠(Christoffel)이 비유클리드 다양체(多樣體)에 관해 수행한 연구에 기초를 두며, 리치(Ricci)와 레비치비타(Levi-Civita)가 하나의 체계로 다듬어 이미 이론물리학의 여러 문제에 적용한 바 있다. 나는 이 논문의 B부에서, 물리학자들에게는 낯설 수 있는 모든 수학적 보조 수단을 가장 간단하고 명료한 형태로 전개해 두었으므로, 이 논문을 이해하기 위해 수학 문헌을 따로 공부할 필요는 없을 것이다. 끝으로 이 자리에서 나의 벗 그로스만(Grossmann)에게 감사를 표한다. 그는 관련 수학 문헌을 조사하는 수고를 덜어주었을 뿐 아니라, 중력장방정식을 찾는 연구에서도 큰 도움을 주었다.
특수상대성이론은 다음의 공준(公準)에 기초하며, 이 공준은 갈릴레이-뉴턴 역학에서도 성립한다.
좌표계 \(K\)를 골라, 그것을 기준으로 삼았을 때 물리 법칙이 가장 간단한 형태로 성립한다고 하자. 그러면 \(K\)에 대해 등속 병진운동을 하는 다른 좌표계 \(K'\)을 기준으로 삼아도 같은 법칙이 (같은 형태로) 성립한다. 이 공준을 우리는 “특수상대성 원리”라 부른다. ’특수’라는 말은, 이 원리가 \(K'\)이 \(K\)에 대해 등속 병진운동을 하는 경우로 한정됨을 뜻한다. 즉 \(K\)와 \(K'\)의 동등성은 \(K'\)이 \(K\)에 대해 비균일 운동을 하는 경우까지 확장되지는 않는다.
특수상대성이론이 고전역학과 다른 점은 이 공준 자체에 있는 것이 아니라, 진공 중 빛의 속력이 일정하다는 공준에 있다. 이 공준을 특수상대성 원리와 결합하면, 잘 알려진 방식으로 로런츠(Lorentz) 변환이 유도되며, 운동하는 강체와 시계 사이에 성립하는 모든 관계도 함께 얻어진다.
특수상대성이론이 공간과 시간의 이론에 가져온 수정은 참으로 심대한 것이지만, 여기에는 손대지 않은 더 무거운 논점이 하나 남아 있다. 특수상대성이론에서도 기하학의 정리들은, 정지한 고체가 취할 수 있는 모든 상대적 위치에 관한 법칙으로 여겨지며, 더 일반적으로는 운동학의 정리들도 측정 가능한 물체와 시계 사이의 관계를 서술하는 정리로 여겨진다. 정지한 고체의 두 물질점을 생각해 보자. 이 개념에 따르면 이 두 점에는, 물체의 종류·위치·방향·시각과 무관하게 완전히 확정된 길이가 대응한다.
이와 비슷하게, 어떤 좌표계에 대해 정지해 있는 시계의 두 바늘 위치를 생각해 보자. 이 두 위치에는 언제나, 시각과 장소에 무관하게 확정된 길이의 시간 간격이 대응한다. 앞으로 보이겠지만, 일반상대성이론은 공간과 시간에 관한 이러한 단순한 물리적 의미를 더 이상 유지할 수 없다.
고전역학에는—그리고 특수상대성이론에도 마찬가지로—인식론적 결함이 하나 있는데, 이는 아마 에른스트 마흐(E. Mach)가 처음으로 명확히 지적한 것이다. 다음 예로 이를 설명해 보자. 크기와 성질이 같은 두 유체 물체가, 다른 모든 질량으로부터 아주 멀리 떨어진 공간에서 자유로이 떠 있다고 하자. 이때 두 물체가 서로에게 미치는 중력만을 고려한다. 두 물체 사이의 거리는 변하지 않는다고 하고, 각 물체 내부에서의 상대운동은 없다고 하자. 다만 각 질량은, 다른 질량에 대해 정지해 있는 관측자가 보기에는 두 질량을 잇는 직선을 축으로 일정한 각속도로 회전하고 있다(두 질량 사이의 상대운동은 이렇게 정의된다). 이제 두 물체의 표면(\(S_1\)과 \(S_2\))을, 서로에 대해 정지해 있는 측정 막대를 써서 측정한다고 하자. 그 결과 \(S_1\)의 표면은 구형이고 다른 쪽의 표면은 회전타원체형임이 밝혀진다. 그렇다면 이 물음을 던지게 된다—왜 두 물체 사이에 이런 차이가 생기는가? 이 물음에 대한 답이 인식론적으로 만족스럽다고 인정받으려면, 그 답으로 제시되는 원인이 관측 가능한 경험적 사실이어야 한다.\(^{[1]}\) 인과율(因果律)이 경험 세계에 대한 확정된 진술로서 의미를 가지려면, 오직 관측 가능한 사실만이 원인과 결과로 등장해야 하기 때문이다.
뉴턴 역학은 이 물음에 만족스러운 답을 주지 못한다. 뉴턴 역학은 예컨대 이렇게 말한다—역학 법칙은 \(S_1\)이 정지해 있는 공간 \(R_1\)에 대해서는 성립하지만, \(S_2\)가 정지해 있는 공간에 대해서는 성립하지 않는다.
그러나 여기서 도입된 갈릴레이 공간이라는 것은 순전히 상상 속의 원인일 뿐, 관측 가능한 것이 아니다. 따라서 뉴턴 역학은 여기서 다루는 경우에 관해서는 실제로 인과율의 요구를 충족시키지 못하며, 다만 마음에 그럴듯한 만족감을 주는 데 그친다. 왜냐하면 뉴턴 역학은 실제로 관측되는 \(S_1\)과 \(S_2\)의 서로 다른 거동에 대해, 순전히 상상에 불과한 원인 \(R_1\)에 책임을 지우기 때문이다.
앞서 던진 물음에 만족스러운 설명을 주려면 이렇게 말할 수밖에 없다—\(S_1\)과 \(S_2\)로 이루어진 물리계는 그 자체만으로는, \(S_1\)과 \(S_2\)의 서로 다른 거동에 대해 어떤 관측 가능한 원인도 드러내지 않는다. 따라서 원인은 이 계의 바깥에 있어야 한다. 우리는 이렇게 하여, \(S_1\)과 \(S_2\)의 형태를 특별히 결정짓는 일반적인 운동 법칙이란, 애초에 우리가 고려하지 않았던 먼 곳의 질량들에 의해 \(S_1\)과 \(S_2\)의 역학적 거동이 본질적으로 조건 지어지는 그런 종류의 것이어야 한다는 생각에 이르게 된다.
이 논의로부터, 일반상대성이론을 전개하는 작업은 필연적으로 중력이론으로 이어짐을 알 수 있다. 좌표계를 단순히 바꾸는 것만으로도 중력장을 “만들어낼” 수 있기 때문이다. 또한 우리는 빛의 속력이 일정하다는 원리도 수정되어야 함을 곧바로 알 수 있다. \(K'\)에 대해 빛의 경로가 곡선을 그려야 함이 쉽게 인식되기 때문이다. 빛이 \(K\)에 대해 일정한 속력으로 직선을 따라 나아갈 때에도 그러하다.
고전역학과 특수상대성이론에서는 시간·공간의 좌표가 직접적인 물리적 의미를 지닌다. 임의의 점의 \(X_1\) 좌표가 \(x_1\)이라고 말할 때, 이는 다음을 뜻한다—유클리드 기하학의 규칙에 따라 단단한 막대(단위 막대)로써, 좌표 원점에서 \(X_1\)축을 따라 \(x_1\)번 옮겨 놓으면 그 점사건(点事件)의 \(X_1\)축 위 사영(射影)에 다다른다. 또한 \(x_4 = t\)를 \(X_1\) 좌표로 갖는 점이란, 좌표계에 대해 정지해 있고 공간적 위치가 그 점과 일치하도록 맞춰 놓은 단위시계가, 어떤 정해진 기준으로부터 \(x_4 = t\) 주기만큼 흘러간 뒤에 그 점사건이 일어남을 뜻한다.\(^{[3]}\)
이러한 시공 개념은 물리학자의 마음속에 언제나—흔히 무의식적으로—자리 잡고 있으며, 이는 물리적 측정에서 이 개념이 해온 역할을 보면 뚜렷이 드러난다. 이 개념은 바로 앞 절 마지막 단락에서 다룬 두 번째 고찰의 밑바탕에도 깔려 있어, 그 고찰에 의미를 부여하고 있을 것이다. 그러나 앞으로 보이겠지만, 우리는 이 개념을 버리고 더 일반적인 개념으로 바꾸어야 한다. 그래야만 일반상대성 공준을 충실히 다룰 수 있게 되기 때문이다—중력이 없는 경우가 극한적인 특수한 경우로 나타나는 그런 상대성 공준 말이다.
중력장이 없는 공간에 갈릴레이 좌표계 \(K(x,y,z,t)\)를 도입하고, 또한 \(K\)에 대해 균일하게 회전하는 다른 좌표계 \(K'(x',y',z',t')\)를 도입해 보자. 두 좌표계의 원점과 \(Z\)축은 계속 일치한다고 하자. 이제 시스템 \(K'\)에서 시공 측정을 할 때, 위에서 세운 시간·공간의 물리적 의미에 관한 규칙이 더 이상 유지될 수 없음을 보이겠다. 대칭성을 근거로, \(K\)의 \(X\)-\(Y\) 평면에서 원점을 중심으로 그린 원은, \(K'\)의 \(X'\)-\(Y'\) 평면에서도 마찬가지로 원으로 볼 수 있음이 분명하다. 이제 이 원들의 둘레와 지름을, (반지름에 비해 무한히 작은) 단위 측정 막대로 재어 그 몫을 구해 보자. 이 실험을 갈릴레이 좌표계 \(K\)에 대해 정지한 막대로 수행하면 몫은 \(\pi\)가 될 것이다. \(K'\)에 대해 정지한 막대로 잰 측정 결과는 \(\pi\)보다 큰 수가 될 것이다. 이는 다음과 같이 쉽게 이해할 수 있다—전체 측정 과정을 시스템 \(K\)에서 바라보면, 둘레에 놓인 막대는 로런츠 수축을 겪지만, 반지름을 따라 놓인 막대는 그렇지 않다. 따라서 유클리드 기하학은 시스템 \(K'\)에서는 성립하지 않는다. 즉 유클리드 기하학의 타당성을 전제하는 위의 좌표 개념은 시스템 \(K'\)에 대해서는 성립하지 않는다. 마찬가지로 우리는 \(K'\)에서, 물리적 요구사항에 부합하는 시간을—즉 \(K'\)에 대해 정지해 있고 똑같이 만들어진 시계들이 모두 같은 빠르기로 가도록 하는 시간을—도입할 수도 없다. 이를 확인하기 위해, 똑같이 만든 두 시계를 하나는 원의 중심에, 하나는 둘레에 놓고 정지계 \(K\)에서 관찰해 보자고 하자. 특수상대성이론의 잘 알려진 결과에 따르면, (\(K\)에서 보았을 때) 둘레에 놓인 시계는 중심에 있는 시계보다 느리게 간다. 빛을 통해 둘레의 시계를 볼 수 있는 공통 원점의 관측자도, 둘레의 시계가 자신 곁의 시계보다 느리게 가는 것으로 볼 것이다. 그는 지금 고려하는 방식대로 빛의 속력이 시간에 명시적으로 의존한다고 볼 수 없으므로, 자신의 관측을 이렇게 해석할 것이다—둘레의 시계는 “실제로” 원점의 시계보다 느리게 간다. 따라서 그는 시계의 빠르기가 그 위치에 의존하도록 시간을 정의할 수밖에 없다.
그러므로 우리는 다음의 결론에 이른다. 일반상대성이론에서는 시간과 공간의 크기를, 공간 좌표의 차이가 단위 측정 막대로 곧바로 측정되고 시간꼴 좌표의 차이가 표준 시계로 곧바로 측정되는 방식으로는 정의할 수 없다.
우리 좌표계를 시공 연속체 안에 확정된 방식으로 자리매김하기 위해 지금까지 우리가 써 온 수단은 이렇듯 완전히 무너지며, 좌표계를 4차원 세계에 들어맞도록 하여 자연법칙의 특별히 간단한 공식화를 기대할 수 있게 해 줄 다른 방법도 없어 보인다. 그러므로 남은 길은, 생각할 수 있는 모든 좌표계를 자연현상을 기술하는 데 있어 원칙적으로 동등하게 적합한 것으로 여기는 것뿐이다. 이는 다음의 법칙으로 이어진다.
자연법칙은 일반적으로, 모든 좌표계에 대해 성립하는—즉 어떠한 가능한 변환에 대해서도 공변(共變)인—방정식으로 표현되어야 한다.
이 공준을 만족하는 물리학은 일반상대성 공준의 관점에서 볼 때 이론(異論)의 여지가 없으리라는 것은 분명하다. 왜냐하면 (세 차원의) 좌표계의 모든 상대운동을 포함하여, 모든 가능한 변환들 가운데는 언제나 이러한 상대운동들에 대응하는 변환도 들어 있기 때문이다. 시간과 공간에서 물리적 객관성의 마지막 잔재를 걷어내는 이 일반공변성의 조건은, 다음과 같은 고찰에서 보듯 자연스러운 요구이다. 우리가 잘 확립된 시공 명제라고 부르는 모든 것은 결국 시공적 일치(coincidence)를 확정하는 데로 귀결된다. 예컨대 어떤 사건이 물질점들의 운동으로 이루어져 있다면, 결국 관측 가능한 것은 이 물질점들 사이의 마주침(遭遇)뿐이다. 우리가 측정한 결과란, 결국 물질점들 사이의 이러한 일치에 관한, 우리 측정 막대와 다른 물질점들 사이의 일치에 관한, 시계 바늘·눈금·점사건들이 같은 위치·같은 시각에 일치함에 관한, 이미 검증된 정리들에 지나지 않는다.
좌표계를 도입하는 목적은 오직, 이러한 온갖 일치들의 총체를 쉽게 기술할 수 있게 하려는 데에 있을 뿐이다. 우리는 세계에 시공 변수 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)를 부여하여, 모든 점사건에 \(x_1 \ldots x_4\) 값의 한 조가 대응하도록 한다. 두 점사건이 일치한다는 것은 변수 \(x_1 \ldots x_4\)의 같은 값에 대응한다. 즉 일치는 좌표의 상등(相等)으로 특징지어진다. 이제 새로운 좌표로서 임의의 네 함수 \(x'_1, x'_2, x'_3, x'_4\)를 도입하여 이들과 옛 좌표 사이에 일대일 대응이 성립하게 하면, 새 시스템에서도 네 좌표가 모두 같다는 것이 여전히 두 물질점의 시공적 일치를 나타내는 표현이 될 것이다. 모든 물리 법칙의 목적이 이러한 일치들을 우리에게 알려주는 데 있는 이상, 어떤 특정한 좌표계를 다른 것보다 우선시할 선험적인 이유는 없다. 즉 우리는 일반공변성의 조건에 이르게 된다.
이 논문에서 나는 일반상대성이론을, 최소한의 공리로 이루어진 가장 단순한 논리 체계로서 연역해 내려 하는 것이 아니다. 나의 주된 목표는 오히려, 독자가 제시된 방식의 심리적 자연스러움을 느끼고, 근본적인 가정들이 경험에 비추어 가장 합리적으로 보이도록 이론을 전개하는 데 있다. 이러한 뜻에서 이제 다음의 가정을 도입하자—무한히 작은 4차원 영역에 대해서는, 축을 적절히 선택하면 (특수한 의미에서의) 상대성이론이 성립한다.
무한히 작은 (국소적) 좌표계의 가속 상태는 다음과 같이 정하기로 한다—중력장이 나타나지 않도록 정한다. 이는 무한히 작은 영역에 대해서는 언제나 가능하다. \(X_1, X_2, X_3\)을 공간 좌표로 하고, \(X_4\)를 적당한 측정용 시계로 잰, 그에 대응하는 시간 좌표로 하자.\(^{[5]}\) 계의 방향을 적절히 잡으면(강체 막대를 측정 단위로 삼을 때), 이 좌표들은 특수상대성이론의 의미에서 곧바로 물리적 의미를 지닌다. 이때 특수상대성이론에 따르면 다음의 식이,
시공 측정으로 얻을 수 있고 국소좌표계의 방향과 무관한 값을 갖는다. \(ds\)를 4차원 영역에서 서로 무한히 가까운 두 점 사이를 잇는 선요소(線要素)의 크기라 하자. 원소 \((dX_1 \ldots dX_4)\)에 속하는 \(ds^2\)이 양(陽)이면 민코프스키를 따라 이를 시간꼴이라 부르고, 음(陰)인 경우는 공간꼴이라 부른다.
앞서 말한 선요소는 무한히 가까운 두 점사건에 속하며, 이 점사건들에는 또한 임의로 고른 기준계의 4차원 좌표에 대한 확정된 미분 \(dx_1 \ldots dx_4\)가 대응한다. 지금 다루는 경우에 대해 위와 같은 국소계가 별도로 주어져 있다면, \(dX_\nu\)는 \(dx_\sigma\)의 확정된 선형 동차 표현으로 나타날 것이다.
이를 (1)식에 대입하면 다음을 얻는다.
여기서 \(g_{\sigma\tau}\)는 \(x_\sigma\)의 함수이지만, “국소” 좌표의 방향이나 운동에는 더 이상 의존하지 않는다. \(ds^2\)은 공간·시간상으로 무한히 가까운 두 점사건에 속하는 확정된 크기이며, 막대와 시계로 하는 측정을 통해 얻어질 수 있기 때문이다. \(g_{\sigma\tau}\)는 \(g_{\sigma\tau} = g_{\tau\sigma}\)가 되도록 잡는다. 합은 \(\sigma\)와 \(\tau\)의 모든 값에 걸쳐 이루어지므로, 이 합은 \(4\times4 = 16\)개의 항으로 이루어지며 그중 12개는 서로 짝을 지어 같다.
여기서 채택한 방법에서, 통상적인 상대성이론의 경우는 \(g_{\sigma\tau}\)가 유한한 영역에서 특별한 거동을 보여, 다음과 같은 상수값을 갖도록 좌표계를 고를 수 있는 경우에 해당한다—
이러한 좌표계를 유한한 영역에 대해 고를 수 있는 경우는, 뒤에서 보겠지만 일반적으로는 가능하지 않다.
§2와 §3의 고찰로부터, 물리적 관점에서 볼 때 양 \(g_{\sigma\tau}\)는 선택된 축 계를 기준으로 한 중력장을 서술하는 크기로 보아야 함이 분명해진다. 실제로 어떤 4차원 영역에서 특정한 좌표를 고르면 그 영역에서 상대성이론이 (특수한 의미로) 성립한다고 가정해 보자. 그러면 그 좌표계에서 \(g_{\sigma\tau}\)는 (4)식의 값을 갖는다. 이제 이 시스템에 대해 등속 직선으로 움직이는 자유 질점을 생각해 보자. 만약 임의의 치환으로 시공 좌표 \(x_1 \ldots x_4\)를 새로 도입하면, 새 시스템에서 \(g_{\mu\nu}\)는 더 이상 상수가 아니라 시공의 함수가 된다. 동시에 자유 질점의 운동은 새 좌표에서 곡선으로, 그리고 균일하지 않은 것으로 나타나되, 그 운동법칙은 움직이는 질점의 성질과는 무관하다. 그러므로 우리는 이 운동을 중력장의 영향 아래 있는 운동으로 해석할 수 있다. 우리는 중력장의 출현이 \(g_{\sigma\tau}\)의 시공적 가변성과 결부되어 있음을 알게 된다. 일반적인 경우, 축을 어떻게 적절히 고르더라도 상대성이론을 어떤 유한한 영역 전체에 걸쳐 성립하게 만들 수는 없다. 이로부터 우리는 \(g_{\sigma\tau}\)가 중력장을 나타낸다는 개념에 이르게 된다. 일반상대성이론에 따르면, 중력은 다른 힘들, 특히 전자기력과 구별되는 예외적인 역할을 한다. 왜냐하면 중력을 나타내는 10개의 함수 \(g_{\sigma\tau}\)가 동시에 4차원 영역의 계량적(計量的) 성질도 결정하기 때문이다.
우리는 앞서 일반상대성 공준이, 물리학의 방정식 체계가 좌표 \(x_1 \ldots x_4\)의 어떠한 치환에 대해서도 공변이어야 한다는 조건으로 이어짐을 보았다. 이제 이러한 일반공변방정식을 어떻게 얻을 수 있는지를 살펴볼 차례이다. 이제부터는 순전히 수학적인 이 문제들을 다루기로 한다. 이 풀이 과정에서, 식 (3)에서 주어진 불변량 \(ds\)가 근본적인 역할을 하게 됨이 밝혀질 것이다. 우리는 가우스(Gauss)의 곡면론(曲面論)을 따라 이를 “선요소”라 부르기로 한다.
일반공변이론의 기본 발상은 다음과 같다. 어떤 좌표계를 기준으로, 좌표의 몇몇 함수로 정의되는 어떤 것들(“텐서”)이 있다고 하자. 이 함수들을 그 텐서의 성분이라 부른다. 새 좌표계에서 성분을 계산하는 규칙이 있어서, 원래 계에서의 성분과 두 계를 잇는 변환이 알려져 있으면 새 계의 성분을 계산할 수 있다. 텐서라 불리는 것들은 나아가 다음의 성질을 지닌다—성분들의 변환식이 선형(線型)이고 동차(同次)이다. 따라서 어떤 계에서 모든 성분이 0이면 새 계에서도 모든 성분이 0이 된다. 그러므로 텐서의 모든 성분을 0으로 놓음으로써 자연법칙 하나를 세울 수 있고, 이는 일반공변방정식이 된다. 이렇듯 우리가 텐서를 만드는 법칙을 찾아가는 것은 곧, 일반공변법칙을 세우는 수단을 얻어가는 것이기도 하다.
반변 4-벡터. 선요소는 네 성분 \(dx_\nu\)로 정의되며, 그 변환법칙은 다음 식으로 나타난다.
\(dx'_\sigma\)는 \(dx_\nu\)의 선형 동차 함수로 표현된다. 그러므로 좌표의 미분 \(dx_\nu\)를, 우리가 특별히 반변 4-벡터라 부르는 텐서의 성분으로 볼 수 있다. 어떤 좌표계를 기준으로 네 개의 양 \(A^\nu\)로 정의되면서 같은 법칙에 따라 변환되는 것은 모두,
(5a) \[A'^{\sigma} = \sum_\nu \frac{\partial x'_\sigma}{\partial x_\nu} A^\nu\]
반변 4-벡터라 부를 수 있다. (5a)로부터, \(A^\sigma\)와 \(B^\sigma\)가 각각 4-벡터이면 그 합 \((A^\sigma \pm B^\sigma)\)도 4-벡터의 성분임이 곧바로 따라 나온다. 이는 이후 도입할 “텐서” 전반에 대해서도 성립하는 관계이다(텐서의 덧셈·뺄셈 규칙).
공변 4-벡터. 네 양 \(A_\nu\)가, 반변 4-벡터 \(B^\nu\)를 어떻게 고르든 상관없이 다음이 성립할 때,
이를 공변 4-벡터의 성분이라 부른다. 이 정의로부터 공변 4-벡터의 변환법칙이 따라 나온다. 우변의
\[\sum_\sigma A'_\sigma B'^{\sigma} = \sum_\nu A_\nu B^\nu\]
에서, (5a)식을 뒤집어 얻어지는 \(B^\nu\)에 대한 표현
\[\sum_\sigma \frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\sigma} B'^{\sigma}\]
를 대입하면
\[\sum_\sigma B'^{\sigma} \sum_\nu \frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\sigma} A_\nu = \sum_\sigma B'^{\sigma} A'_\sigma\]
를 얻는다. 위 식에서 \(B'^{\sigma}\)들이 서로 독립이고 완전히 임의로 고를 수 있으므로, 변환법칙은 다음과 같음이 따라 나온다—
표기법의 간략화에 관한 소견. 이 절의 방정식들을 훑어보면, 합의 기호 아래에서 두 번 나타나는 지표[예를 들어 (5)식의 \(\nu\)]에 대해서만 합을 취한다는 것, 그리고 오직 두 번 나타나는 지표에 대해서만 합을 취한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 명료함을 잃지 않고도 합의 기호를 생략할 수 있다. 즉 다음의 규칙을 도입한다—어떤 식의 항에서 지표가 두 번 나타나면, 특별히 반대의 언급이 없는 한 그 지표에 대해 모두 더한다는 것으로 약속한다.
공변 4-벡터와 반변 4-벡터의 차이는 변환법칙 [(7)식과 (5)식]에 있다. 두 양 모두 텐서라는 점에서는 위의 일반적인 설명에 부합하며, 바로 이 점에 그 의의가 있다. 리치(Ricci)와 레비치비타(Levi-Civita)의 표기를 따라, 반변량은 위 첨자로, 공변량은 아래 첨자로 나타낸다.
반변텐서. 두 반변 4-벡터 \(A^\mu\)와 \(B^\nu\)의 성분으로 만들 수 있는 16개의 곱 \(A^{\mu\nu}\)를 생각하자.
\(A^{\mu\nu}\)는 (8)식과 (5a)식에 의해 다음의 변환법칙을 만족한다.
어떤 기준계를 기준으로 16개의 양으로 정의되며 변환관계 (9)식을 만족하는 것을, 우리는 2계 반변텐서라 부른다. 모든 이러한 텐서가 두 4-벡터로부터 (8)식처럼 만들어지는 것은 아니다. 그러나 어떤 16개의 양 \(A^{\mu\nu}\)라도, 적절히 고른 몇 쌍의 4-벡터들의 곱 \(A^\mu B^\nu\)의 합으로 나타낼 수 있음을 쉽게 보일 수 있다. 이로부터 우리는, (9)식으로 정의되는 2계 텐서에 관한 모든 법칙을, 오직 (8)식 형태의 특수한 텐서에 대해서만 증명하는 것으로 가장 간단하게 증명해 낼 수 있다.
임의 계수의 반변텐서. (8)식과 (9)식에 대응하여, \(4^3\)개 등의 성분을 갖는 3계 이상의 반변텐서도 정의할 수 있음은 분명하다. 이런 뜻에서, (8)식과 (9)식으로부터 반변 4-벡터를 1계 반변텐서로 볼 수 있음도 분명하다.
공변텐서. 반면 두 공변 4-벡터 \(A_\mu\)와 \(B_\nu\)의 성분으로 16개의 곱 \(A_{\mu\nu}\)를 만들면,
다음의 변환법칙이 성립한다.
이러한 변환법칙을 통해 2계 공변텐서가 정의된다. 반변텐서에 대해 이미 말한 모든 것은 공변텐서에도 그대로 적용된다.
소견—스칼라(불변량)를 0계의 반변텐서 또는 공변텐서로 취급하는 것이 편리하다.
혼합텐서. 다음과 같은 형태의 2계 텐서를 정의할 수도 있다.
이는 \(\mu\)에 대해서는 공변이고 \(\nu\)에 대해서는 반변이다. 그 변환법칙은
당연히 공변 지표를 임의의 개수, 반변 지표도 임의의 개수 갖는 혼합텐서도 있을 수 있다. 공변텐서와 반변텐서는 혼합텐서의 특수한 경우로 볼 수 있다.
대칭텐서. 2계 이상의 반변텐서 또는 공변텐서에서, 두 지표를 서로 맞바꾸어 얻는 두 성분이 서로 같을 때 이를 대칭이라 부른다. 텐서 \(A^{\mu\nu}\) 또는 \(A_{\mu\nu}\)가 대칭이라는 것은, 지표의 어떤 조합에 대해서도 다음이 성립함을 뜻한다.
또는
(14a) \[A_{\mu\nu} = A_{\nu\mu}\]
이렇게 정의된 대칭성이 기준계와 무관한 성질임은 다음과 같이 증명된다. (14)식을 기억하며 (9)식으로부터 실제로 다음이 나온다.
\[A'^{\sigma\tau} = \frac{\partial x'_\sigma}{\partial x_\mu} \frac{\partial x'_\tau}{\partial x_\nu} A^{\mu\nu} = \frac{\partial x'_\sigma}{\partial x_\mu} \frac{\partial x'_\tau}{\partial x_\nu} A^{\nu\mu} = \frac{\partial x'_\tau}{\partial x_\mu} \frac{\partial x'_\sigma}{\partial x_\nu} A^{\mu\nu} = A'^{\tau\sigma}\]
반대칭텐서. 2계·3계·4계의 반변텐서 또는 공변텐서에서, 임의의 두 지표를 서로 맞바꾸어 얻는 두 성분이 크기는 같고 부호가 반대일 때 이를 반대칭이라 부른다. 텐서 \(A^{\mu\nu}\) 또는 \(A_{\mu\nu}\)가 반대칭이라는 것은 다음이 성립함을 뜻한다.
또는
(15a) \[A_{\mu\nu} = -A_{\nu\mu}\]
16개 성분 \(A^{\mu\nu}\) 가운데 대각성분에 해당하는 네 성분 \(A^{\mu\mu}\)는 사라지며, 나머지는 부호만 반대인 채 쌍을 이루므로, 수치상 서로 다른 성분은 6개만 존재한다(“육벡터”, six-vector).
이와 같이 반대칭텐서 \(A^{\mu\nu\sigma}\)(3계)는 수치상 서로 다른 성분이 4개뿐이고, 반대칭텐서 \(A^{\mu\nu\sigma\tau}\)는 오직 하나뿐이다. 4차원 연속체에서는 5계보다 높은 계수의 대칭텐서는 존재하지 않는다.
텐서의 외적(外積). 계수 \(z\)인 텐서의 성분들과 계수 \(z'\)인 다른 텐서의 성분들을, 앞의 것 모두와 뒤의 것 모두를 짝지어 곱하면 계수 \(z+z'\)의 텐서 성분들을 얻는다. 예컨대 서로 다른 종류의 텐서 \(A\)와 \(B\)로부터 텐서 \(T\)를 다음과 같이 얻는다—
\[T_{\mu\nu\sigma} = A_{\mu\nu} B_\sigma\] \[T^{\alpha\beta\gamma\delta} = A^{\alpha\beta} B^{\gamma\delta}\] \[T^{\gamma\delta}_{\alpha\beta} = A_{\alpha\beta} B^{\gamma\delta}\]
\(T\)가 텐서라는 증명은 (8), (10), (12) 식이나 변환식 (9), (11), (13)으로부터 곧바로 따라 나온다. (8), (10), (12)식은 그 자체로 1계 텐서들의 외적의 예이다.
혼합텐서의 계수 축소. 모든 혼합텐서로부터, 공변지표 하나를 반변지표 하나와 같게 놓고 그 지표에 대해 합을 취하면(“축소, reduction”) 계수가 둘 낮은 텐서를 얻을 수 있다. 예컨대 4계 혼합텐서 \(A_{\alpha\beta}^{\gamma\delta}\)로부터 2계 혼합텐서를 얻을 수 있다.
\[A_\beta^\delta = T_{\alpha\beta}^{\alpha\delta} \left(= \sum_\alpha A_{\alpha\beta}^{\alpha\delta}\right)\]
그리고 이를 다시 축소하면 0계 텐서 \(A = A_\beta^\beta = A_{\alpha\beta}^{\alpha\beta}\)를 얻는다.
축소의 결과가 참으로 텐서로서의 성격을 유지한다는 증명은, (12)식을 (6)식과 결합해 일반화한 표현으로부터, 또는 (13)식의 일반화로부터 얻어진다.
텐서의 내적(內積)과 혼합곱. 이는 외적과 축소를 결합한 것으로 이루어진다. 예컨대 2계 공변텐서 \(A_{\mu\nu}\)와 1계 반변텐서 \(B^\sigma\)로부터, 외적을 통해 혼합텐서
\[D^\sigma_{\mu\nu} = A_{\mu\nu} B^\sigma\]
를 얻는다. 지표 \(\nu, \sigma\)에 대해 축소하면 공변 4-벡터
\[D_\mu = D^\nu_{\mu\nu} = A_{\mu\nu} B^\nu\]
가 생겨난다. 이를 우리는 텐서 \(A_{\mu\nu}\)와 \(B^\sigma\)의 내적이라 부른다. 마찬가지로 텐서 \(A_{\mu\nu}\)와 \(B^{\sigma\tau}\)로부터 외적과 두 차례 축소를 거쳐 내적 \(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu}\)를 얻는다. 외적과 한 차례 축소를 거치면, \(A_{\mu\nu}\)와 \(B^{\sigma\tau}\)로부터 2계 혼합텐서 \(D^\tau_\mu = A_{\mu\nu}B^{\nu\tau}\)를 얻는다. 이 연산을 혼합곱이라 불러도 무방하다. 왜냐하면 지표 \(\mu, \tau\)에 대해서는 외적이고, 지표 \(\nu, \sigma\)에 대해서는 내적이기 때문이다.
이제 어떤 양들이 텐서로서의 성격을 지님을 증명할 때 자주 쓰이게 될 법칙 하나를 증명해 두자. 위의 설명에 따라, \(A_{\mu\nu}\)와 \(B^{\sigma\tau}\)가 텐서이면 \(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu}\)는 스칼라이다. 우리는 또한 다음을 말할 수 있다—\(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu}\)가 임의로 고른 텐서 \(B^{\mu\nu}\)에 대해 언제나 불변량이라면, \(A_{\mu\nu}\)는 텐서로서의 성격을 지닌다.
증명—위의 가정에 따라, 어떤 치환에 대해서도
\[A'_{\sigma\tau} B'^{\sigma\tau} = A_{\mu\nu} B^{\mu\nu}\]
이다. 그런데 (9)식을 뒤집으면
\[B^{\mu\nu} = \frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma} \frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\tau} B'^{\sigma\tau}\]
이므로, 이를 위 식에 대입하면
\[\left(A'_{\sigma\tau} - \frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma} \frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\tau} A_{\mu\nu}\right) B'^{\sigma\tau} = 0\]
이는 \(B'^{\sigma\tau}\)를 어떻게 골라도 성립해야 하므로, 오직 괄호 안이 0일 때만 참일 수 있다. 이로부터, (11)식을 참고하면 곧바로 위 법칙이 따라 나온다. 이 법칙은 임의의 계수와 성격을 가진 텐서에 대해서도 마찬가지 방식으로 성립하며, 증명 또한 매우 비슷하다.
이 법칙은 다음의 형태로도 나타낼 수 있다. \(B^\mu\)와 \(C^\nu\)가 임의로 고를 수 있는 두 벡터이고, 임의로 고를 때마다 내적 \(A_{\mu\nu}B^\mu C^\nu\)가 스칼라라면, \(A_{\mu\nu}\)는 공변텐서이다. 이 법칙은, \(A_{\mu\nu}\)가 대칭조건 \(A_{\mu\nu} = A_{\nu\mu}\)를 만족한다는 부가조건 아래, 임의로 고른 4-벡터 \(B^\mu\) 하나만으로 이루어진 스칼라곱 \(A_{\mu\nu}B^\mu B^\nu\)가 스칼라인, 더 특수한 정식화에서도 여전히 성립한다. 이 방법으로 증명한 위 방법에 따라 대칭성을 근거로 \(A_{\mu\nu}\)의 텐서로서의 성격이 증명되며, 임의 계수의 공변텐서·반변텐서에 대해서도 쉽게 일반화할 수 있다.
끝으로, 이미 증명한 것으로부터 다음의, 마찬가지로 쉽게 일반화되는 법칙을 이끌어낼 수 있다. 양 \(A_{\mu\nu}B^\nu\)가, \(B^\nu\)를 임의로 고른 4-벡터라 할 때 1계 텐서를 이룬다면, \(A_{\mu\nu}\)는 2계 텐서이다. 예컨대 \(C^\mu\)가 임의의 4-벡터라면, \(A_{\mu\nu}B^\nu\)의 텐서로서의 성격 덕분에 내적 \(A_{\mu\nu}C^\mu B^\nu\)는 스칼라이며, 이는 \(C^\mu\)와 \(B^\nu\)가 임의로 고른 것이므로 그러하다. 이로부터 위의 명제가 곧바로 따라 나온다.
공변 기본텐서. 선요소의 제곱을 나타내는 불변식에서,
\[ds^2 = g_{\mu\nu}\, dx_\mu\, dx_\nu\]
\(dx_\mu\)는 임의로 고를 수 있는 반변벡터의 역할을 한다. 나아가 \(g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\)이므로, 앞 절 마지막 부분의 논의에 따라 \(g_{\mu\nu}\)는 대칭인 공변 2계 텐서임이 따라 나온다. 이를 “기본텐서”라 부른다. 이제부터 이 텐서의 몇 가지 성질을 이끌어낼 것이며, 이 성질들은 다른 어떤 2계 텐서에 대해서도 성립하는 것이긴 하지만, 우리 이론에서 기본텐서가 지니는 특수한 역할—중력의 특별히 예외적인 성격에 물리적 근거를 둔 역할—을 생각하면, 이 성질들은 오직 기본텐서에 대해서만 필요할 것이다.
반변 기본텐서. 행렬식 \(g_{\mu\nu}\)에서 \(g_{\mu\nu}\)의 여인수(餘因子)를 취해 그것을 \(g_{\mu\nu}\)의 행렬식 \(g = |g_{\mu\nu}|\)로 나누면 어떤 양 \(g^{\mu\nu}\,(=g^{\nu\mu})\)를 얻는데, 이것이 반변텐서를 이룸을 증명하고자 한다.
잘 알려진 행렬식의 법칙에 따라
여기서 \(\delta^\nu_\mu\)는 \(\mu=\nu\)이면 1, \(\mu\ne\nu\)이면 0이다. 위의 \(ds^2\)에 대한 식은 이제 다음과 같이 쓸 수도 있다.
\[g_{\mu\sigma}\, \delta^\sigma_\nu\, dx_\mu\, dx_\nu\]
또는 (16)식을 이용하면 다음의 형태로도 쓸 수 있다.
\[g_{\mu\sigma}\, g_{\nu\tau}\, g^{\sigma\tau}\, dx_\mu\, dx_\nu\]
그런데 앞 절의 곱셈 법칙에 따라, 양
\[d\xi_\sigma = g_{\mu\sigma}\, dx_\mu\]
는 공변 4-벡터를 이루며, 사실 이는 \(dx_\mu\)를 임의로 고를 수 있다는 점에서도 그러하다. 이를 위 식에 대입하면
\[ds^2 = g^{\sigma\tau}\, d\xi_\sigma\, d\xi_\tau\]
를 얻는다. 벡터 \(d\xi_\sigma\)를 어떻게 고르든 이는 스칼라이며, \(g^{\sigma\tau}\)는 그 정의상 \(\sigma\)와 \(\tau\)에 대해 대칭이므로, 앞 절의 결과에 따라 \(g^{\sigma\tau}\)가 반변텐서임이 따라 나온다. (16)식으로부터 또한, \(\delta^\nu_\mu\)가 텐서(혼합기본텐서라 부를 수 있는)임도 따라 나온다.
기본텐서의 행렬식. 행렬식의 곱셈법칙에 따라 다음이 성립한다.
\[|g_{\mu\alpha}\, g^{\alpha\nu}| = |g_{\mu\alpha}| \cdot |g^{\alpha\nu}|\]
반면
\[|g_{\mu\alpha}\, g^{\alpha\nu}| = |\delta^\nu_\mu| = 1\]
이로부터
부피의 불변량. 먼저 행렬식 \(g = |g_{\mu\nu}|\)의 변환법칙을 구해보자. (11)식에 따라
\[g' = \left|\frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma} \frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\tau}\, g_{\mu\nu}\right|\]
곱셈법칙을 두 차례 적용하면
\[g' = \left|\frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma}\right| \left|\frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\tau}\right| |g_{\mu\nu}| = \left|\frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma}\right|^2 g\]
즉
\[\sqrt{g'} = \left|\frac{\partial x_\mu}{\partial x'_\sigma}\right| \sqrt{g}\]
한편 부피요소의 변환법칙은 야코비(Jacobi)의 잘 알려진 법칙에 따라
\[d\tau' = \int dx'_1\, dx'_2\, dx'_3\, dx'_4 = \left|\frac{\partial x'_\sigma}{\partial x_\mu}\right| d\tau\]
위 두 식을 곱하면
\(\sqrt{g}\) 대신에는, 시공연속체가 쌍곡적(雙曲的) 성격을 지님을 고려하여 실수값을 갖는 \(\sqrt{-g}\)를 이후로 도입하기로 한다. 불변량 \(\sqrt{-g}\,d\tau\)는, 특수상대성이론에 따라 강체 막대와 시계로 측정한 4차원 부피요소와 크기가 같다.
시공 연속체의 성격에 관한 소견—무한히 작은 영역에서 상대성이론이 성립한다는 우리의 가정에 따르면, \(ds^2\)은 (1)식에 따라 실제 크기 \(dX_1 \ldots dX_4\)로 언제나 나타낼 수 있다. “자연” 부피요소 \(dX_1 dX_2 dX_3 dX_4\)를 \(d\tau_0\)라 부르면
(18a) \[d\tau_0 = \sqrt{-g}\, d\tau\]
가 된다. \(\sqrt{-g}\)가 4차원 연속체의 어떤 점에서라도 0이 된다면, 이는 유한한 좌표 부피에 무한히 작은 “자연” 부피가 대응함을 뜻할 것이다. 이런 일은 결코 일어날 수 없다고 가정해야 한다. 따라서 \(g\)는 부호를 바꿀 수 없다. 특수상대성이론을 따라, 우리는 \(g\)가 유한한 음(陰)의 값을 가진다고 가정한다. 이는 다루는 연속체의 물리적 성질에 관한 가설이며, 동시에 좌표를 고르는 데 관한 미리 세워둔 규칙이기도 하다.
그런데 \(-g\)가 양(陽)의 유한값을 유지한다면, 좌표를 적절히 골라 이 값을 1로 만들 수 있음이 분명하다. 뒤에서 이렇게 좌표 선택을 제한하면 자연법칙의 표현식이 상당히 단순해짐을 보게 될 것이다.
(18)식 대신 이제 단순히
\[d\tau' = d\tau\]
가 성립하고, 여기서 야코비의 법칙을 상기하면
을 얻는다. 이런 좌표 선택에서는 행렬식이 1인 치환만이 허용된다.
그러나 이렇게 함으로써 일반상대성 공준을 부분적으로 포기한 것이라 생각한다면 잘못이다. 우리는 어떤 자연법칙이 행렬식 1인 변환에 대해 공변인지를 묻는 것이 아니라, 어떤 것이 일반 공변자연법칙인지를 묻는다. 먼저 그 법칙을 얻고, 그 다음에 기준계를 특별히 선택함으로써 그 표현을 단순화할 뿐이다.
기본텐서를 써서 새로운 텐서를 만드는 법. 기본텐서와의 내적·외적·혼합곱을 통해, 다른 종류·다른 계수의 텐서들을 만들 수 있다.
예—
\[A^\mu = g^{\mu\sigma} A_\sigma\] \[A = g_{\mu\nu} A^{\mu\nu}\]
특히 다음의 조합을 짚어 둘 만하다—
\[A^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} A_{\alpha\beta}\] \[A_{\mu\nu} = g_{\mu\alpha} g_{\nu\beta} A^{\alpha\beta}\]
(공변텐서 또는 반변텐서에 대한 “여(餘)텐서”)
그리고
\[B_{\mu\nu} = g_{\mu\nu}\, g^{\alpha\beta} A_{\alpha\beta}\]
이 \(B_{\mu\nu}\)를 \(A_{\mu\nu}\)에 대한 축약텐서라 부를 수 있다. 마찬가지로
\[B^{\mu\nu} = g^{\mu\nu}\, g_{\alpha\beta} A^{\alpha\beta}\]
\(g^{\mu\nu}\)가 \(g_{\mu\nu}\)의 여텐서에 지나지 않음은 다음에서 확인할 수 있다—
\[g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} g_{\alpha\beta} = g^{\mu\alpha} \delta^\nu_\alpha = g^{\mu\nu}\]
“선요소” \(ds\)는 좌표계와 무관하게 확정된 크기이므로, 4차원 연속체의 두 점 \(P_1\)과 \(P_2\) 사이에도, \(\int ds\)가 극값(極値)이 되는 선—즉 좌표를 어떻게 고르든 무관하게 의미를 가지는 선(측지선)이 존재한다.
그 방정식은
이 방정식으로부터, 잘 알려진 방식으로 측지선을 정의하는 4개의 전미분방정식을 이끌어낼 수 있다. 완결성을 위해 이 유도를 여기 적어 둔다.
\(\lambda\)를 좌표 \(x_\nu\)의 함수라 하고, 이것이 구하는 측지선과, \(P_1\)에서 \(P_2\)까지 이웃한 모든 곡선들을 가르는 일련의 곡면들을 정의한다고 하자. 이러한 모든 곡선은, 좌표 \(x_\nu\)의 값을 \(\lambda\)의 함수로 줌으로써 주어질 수 있다고 하자. 기호 \(\delta\)는, 구하는 측지선 위의 한 점에서, 같은 곡면 \(\lambda\) 위에 있는 인접한 곡선의 한 점으로 옮아감을 나타낸다.
그러면 (20)식은 다음으로 바꿔 쓸 수 있다.
(20a) \[\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \delta w\, d\lambda = 0, \qquad w^2 = g_{\mu\nu} \frac{dx_\mu}{d\lambda} \frac{dx_\nu}{d\lambda}\]
그런데
\[\delta w = \frac{1}{w}\left\{\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\frac{dx_\mu}{d\lambda}\frac{dx_\nu}{d\lambda}\,\delta x_\sigma + g_{\mu\nu}\frac{dx_\mu}{d\lambda}\,\delta\!\left(\frac{dx_\nu}{d\lambda}\right)\right\}\]
이므로, (20a)식에서 \(\delta w\)를 대입하고,
\[\delta\!\left(\frac{dx_\nu}{d\lambda}\right) = \frac{d\,\delta x_\nu}{d\lambda}\]
임을 기억하며 부분적분을 하면, 다음을 얻는다.
(20b) \[\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \varkappa_\sigma\, \delta x_\sigma\, d\lambda = 0, \qquad \varkappa_\sigma = \frac{d}{d\lambda}\left\{\frac{g_{\mu\nu}}{w}\frac{dx_\mu}{d\lambda}\right\} - \frac{1}{2w}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\frac{dx_\mu}{d\lambda}\frac{dx_\nu}{d\lambda}\]
\(\delta x_\sigma\)를 완전히 임의로 고를 수 있다는 사실로부터, \(\varkappa_\sigma\)가 사라져야 함이 따라 나온다. 그러므로
(20c) \[\varkappa_\sigma = 0\]
이 측지선의 방정식이다. 측지선을 따라서는 \(ds \ne 0\)이므로, 매개변수 \(\lambda\)로 측지선을 따라 잰 호(弧)의 길이 \(s\) 자체를 택할 수 있다. 그러면 \(w=1\)이 되고, (20c)식 대신 다음을 얻는다.
\[g_{\mu\nu} \frac{d^2 x_\mu}{ds^2} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\frac{dx_\sigma}{ds}\frac{dx_\mu}{ds} - \frac{1}{2}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} = 0\]
혹은 표기를 알맞게 바꾸어
(20d) \[g_{\alpha\sigma}\frac{d^2 x_\mu}{ds^2} + [\mu\nu, \sigma]\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} = 0\]
여기서 크리스토펠(Christoffel)을 따라 다음과 같이 놓았다.
이는 크리스토펠 기호(제1종)이다. 끝으로 (20d)식에 \(g^{\sigma\tau}\)를 곱하면(\(\tau\)에 대해서는 외적, \(\sigma\)에 대해서는 내적) 측지선 방정식의 최종 형태를 얻는다—
여기서 크리스토펠을 따라 크리스토펠 기호(제2종)를 다음과 같이 정의했다.
측지선 방정식을 바탕 삼아, 이제 주어진 텐서로부터 미분을 통해 새로운 텐서를 만드는 법칙을 쉽게 이끌어낼 수 있다. 이를 위해 먼저 일반공변인 미분방정식을 세워야 한다. 다음의 간단한 법칙을 되풀이 적용함으로써 이를 이루어 낸다. 우리의 연속체 안에 어떤 곡선이 주어져 있고, 그 곡선 위의 점들이 고정된 한 점으로부터 잰 호의 길이 \(s\)로 특징지어진다고 하자. 나아가 \(\varphi\)가 불변인 공간함수라 하면, \(d\varphi/ds\) 또한 불변량이다. 그 증명은, \(d\varphi\)와 \(ds\)가 모두 불변량이라는 사실로부터 나온다.
\[\frac{d\varphi}{ds} = \frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\frac{dx_\mu}{ds}\]
이므로
\[\psi = \frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\frac{dx_\mu}{ds}\]
는 연속체의 한 점에서 뻗어 나가는 모든 곡선에 대해서도 불변량이다. 즉 벡터 \(dx_\mu\)를 어떻게 고르든 불변량이다. 이로부터 곧바로
가 (\(\varphi\)의 기울기인) 공변 4-벡터임이 따라 나온다.
우리 법칙에 따라, 임의의 곡선을 따라 미분몫 \(\chi = d\psi/ds\) 역시 불변량이다. \(\psi\)의 값을 대입하면 다음을 얻는다.
\[\chi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_\mu \partial x_\nu}\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} + \frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\frac{d^2 x_\mu}{ds^2}\]
그러나 이로부터는 곧바로 어떤 텐서의 존재도 이끌어낼 수 없다. 그러나 만약 우리가 미분하는 대상인 곡선을 측지선으로 택한다면, \(d^2 x_\nu/ds^2\)을 (22)식에 따라 대체함으로써 다음을 얻는다.
\[\chi = \left\{\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_\mu \partial x_\nu} - \Gamma^\tau_{\mu\nu}\frac{\partial\varphi}{\partial x_\tau}\right\}\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds}\]
\(\mu\)와 \(\nu\)에 관한 미분의 교환가능성으로부터, 그리고 (23)식과 (21)식에 따라, 대괄호 \(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\)가 \(\mu\)와 \(\nu\)에 대해 대칭임을 알 수 있다.
연속체의 임의의 점으로부터 임의의 방향으로 측지선을 그릴 수 있으므로, \(dx_\mu/ds\)는 성분비가 임의인 4-벡터이며, §7의 결과에 따라 다음이 따라 나온다.
는 2계 공변텐서이다. 이렇게 하여 우리는, 1계 공변텐서
\[A_\mu = \frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\]
로부터 미분을 통해 2계 공변텐서를 얻는 결과를 얻었다.
이 텐서 \(A_{\mu\nu}\)를 텐서 \(A_\mu\)의 “확장(擴張, 공변미분)”이라 부른다. 그리고 벡터 \(A_\mu\)가 기울기의 형태로 나타낼 수 없는 경우에도, 이 조합이 텐서로 이어짐을 쉽게 보일 수 있다. 이를 보이기 위해, 먼저 다음을 짚어두자.
\[\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\]
는 \(\psi\)와 \(\varphi\)가 스칼라일 때 공변 4-벡터이다. 이는 다음과 같은, 네 개의 이러한 항의 합에 대해서도 마찬가지이다—
\[S_\mu = \psi^{(1)}\frac{\partial\varphi^{(1)}}{\partial x_\mu} + \cdots + \psi^{(4)}\frac{\partial\varphi^{(4)}}{\partial x_\mu}\]
여기서 \(\psi^{(1)}\varphi^{(1)} \ldots \psi^{(4)}\varphi^{(4)}\)는 스칼라이다. 그런데 모든 공변 4-벡터는 \(S_\mu\)의 형태로 나타낼 수 있음이 분명하다. 실제로 \(A_\mu\)가 좌표 \(x_\nu\)의 어떤 함수를 성분으로 갖는 4-벡터라면, (기준 좌표계에 대해) 다음과 같이 두면 되기 때문이다.
\[\psi^{(1)} = A_1,\ \varphi^{(1)} = x_1,\qquad \psi^{(2)} = A_2,\ \varphi^{(2)} = x_2,\] \[\psi^{(3)} = A_3,\ \varphi^{(3)} = x_3,\qquad \psi^{(4)} = A_4,\ \varphi^{(4)} = x_4\]
이렇게 하면 \(S_\mu\)가 \(A_\mu\)와 같아진다.
따라서 (26)식의 우변에 \(A_\mu\) 대신 임의의 공변 4-벡터를 대입해도 \(A_{\mu\nu}\)가 텐서임을 증명하려면, 오직 4-벡터 \(S_\mu\)에 대해서만 이를 증명하면 충분하다. 그런데 이 경우에도 (26)식의 우변을 보면, 우리는 오직
\[A_\mu = \psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\]
인 경우에 대해서만 증명하면 됨을 알 수 있다. 그런데 (25)식의 우변에 \(\psi\)를 곱한 것은
\[\psi\,\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_\mu \partial x_\nu} - \Gamma^\tau_{\mu\nu}\,\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\tau}\]
이며, 이는 텐서로서의 성격을 지닌다. 마찬가지로
\[\frac{\partial\psi}{\partial x_\mu}\frac{\partial\varphi}{\partial x_\nu}\]
도 텐서(두 4-벡터의 외적)이다. 덧셈을 통해 다음이 텐서로서의 성격을 지님이 따라 나온다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\nu}\!\left(\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\right) - \Gamma^\tau_{\mu\nu}\!\left(\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\tau}\right)\]
즉 4-벡터
\[\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial x_\mu}\]
에 대해, 위에서 임의의 4-벡터 \(A_\mu\)에 대해 보인 대로 원하는 증명을 얻었다.
이렇게 하여 임의 계수의 공변텐서의 “확장”도, 4-벡터의 확장을 일반화하여 쉽게 정의할 수 있다. 여기서는 2계 텐서의 확장에 한정하여, 그 형성법칙이 뚜렷하게 드러나도록 하겠다.
이미 언급했듯이, 모든 2계 공변텐서는 \(A_\mu B_\nu\) 꼴의 텐서들의 합으로 나타낼 수 있다.\(^{[6]}\) 그러므로 이러한 특수한 텐서 하나에 대해서만 확장의 표현을 이끌어내면 충분하다. (26)식에 따라 다음의 표현들이
\[\frac{\partial A_\mu}{\partial x_\sigma} - \Gamma^\tau_{\sigma\mu} A_\tau, \qquad \frac{\partial B_\nu}{\partial x_\sigma} - \Gamma^\tau_{\sigma\nu} B_\tau\]
텐서이다. 앞의 것을 \(B_\nu\)와, 뒤의 것을 \(A_\mu\)와 외적을 취하면 3계 텐서를 얻는다. 두 텐서를 더하면 3계 텐서를 얻는다.
여기서 \(A_{\mu\nu} = A_\mu B_\nu\)이다. (27)식의 우변은 \(A_{\mu\nu}\)와 그 1계 미분계수에 대해 선형이고 동차이다. 따라서 이 형성법칙은 \(A_\mu B_\nu\) 꼴의 텐서뿐 아니라, 이러한 텐서들의 합—즉 임의의 2계 공변텐서—에 대해서도 텐서를 이끌어낸다. 우리는 \(A_{\mu\nu\sigma}\)를 텐서 \(A_{\mu\nu}\)의 확장이라 부른다.
(26)식과 (24)식은 (27)식의 특수한 경우(1계 텐서와 0계 텐서의 확장)에 지나지 않음이 분명하다. 일반적으로, 이러한 형성법칙들을 텐서의 곱셈과 결합하면 (27)식으로부터 모든 텐서의 형성법칙을 이끌어낼 수 있다.
기본텐서에 관한 몇 가지 보조 명제. 앞으로 자주 쓰이게 될 몇 가지 보조 명제를 먼저 이끌어내기로 한다. 행렬식의 미분법칙에 따라
이 마지막 형태는, \(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = 4\)이며 따라서 \(g_{\mu\nu}\,dg^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}\,dg_{\mu\nu} = 0\)임을 기억하면 첫 형태로부터 따라 나온다.
(28)식으로부터 다음이 따라 나온다.
또한, \(g_{\mu\sigma}g^{\nu\sigma} = \delta^\nu_\mu\)이므로 미분하면
\[g_{\mu\sigma}\, dg^{\nu\sigma} = -g^{\nu\sigma}\, dg_{\mu\sigma}\]
혹은
여기에 각각 \(g^{\sigma\tau}\)와 \(g_{\nu\lambda}\)를 곱하면(지표 표기를 바꾸어) 다음을 얻는다.
와
(31)식은 자주 쓰게 될 다음의 변형을 허용하며, (21)식에 따라
이를 (31)식의 두 번째 형태에 대입하고 (23)식을 기억하면,
(34)식의 우변을 (29)식에 대입하면
(29a) \[\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x_\sigma} = \Gamma^\mu_{\sigma\mu}\]
반변 4-벡터의 발산. (26)식에 반변 기본텐서 \(g^{\mu\nu}\)를 곱하면(내적) 우변은 다음의 형태를 취한다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\nu}(g^{\mu\nu} A_\mu) - A_\mu \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_\nu} - \frac{1}{2}g^{\tau\alpha}\left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha}\right) g^{\mu\nu} A_\tau\]
(31)식과 (29)식에 따라 마지막 항은 다음의 형태를 취할 수 있다.
\[\frac{1}{2}\frac{\partial g^{\tau\nu}}{\partial x_\nu}A_\tau + \frac{1}{2}\frac{\partial g^{\tau\mu}}{\partial x_\mu}A_\tau + \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial x_\alpha}g^{\mu\nu}A_\tau\]
위 식의 첫 두 항과, 바로 앞 표현의 둘째 항은 (합지표의 이름이 무의미하므로) 서로 상쇄된다. 마지막 항은 앞의 첫 표현과 합칠 수 있다. \(g^{\mu\nu}A_\mu = A^\nu\)로 놓으면,
여기서 \(A^\nu\)와 \(A_\mu\)는 임의로 고를 수 있는 벡터이므로, 마침내 다음을 얻는다.
이 스칼라가 반변 4-벡터 \(A^\nu\)의 발산(發散)이다.
(공변) 4-벡터의 “회전”. (26)식의 둘째 항은 지표 \(\mu\)와 \(\nu\)에 대해 대칭이다. 따라서 \(A_{\mu\nu} - A_{\nu\mu}\)는 매우 간단하게 만들어지는 반대칭텐서이다. 우리는 다음을 얻는다.
반대칭텐서(6-벡터)의 확장. 2계 반대칭텐서 \(A_{\mu\nu}\)에 (27)식의 연산을 적용하고, 지표 \(\mu,\nu,\sigma\)를 순환치환하여 얻는 방정식들을 모두 더하면, 3계 텐서를 얻는다.
이 텐서가 반대칭임은 쉽게 확인할 수 있다.
6-벡터의 발산. (27)식에 \(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\)를 곱하면(혼합곱) 텐서를 얻는다. (27)식 우변의 첫 항은 다음의 형태로 쓸 수 있다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\sigma}(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}A_{\mu\nu}) - g^{\mu\alpha}\frac{\partial g^{\nu\beta}}{\partial x_\sigma}A_{\mu\nu} - g^{\nu\beta}\frac{\partial g^{\mu\alpha}}{\partial x_\sigma}A_{\mu\nu}\]
\(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}A_{\mu\nu\sigma}\)를 \(A^{\alpha\beta}_\sigma\)로, \(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}A_{\mu\nu}\)를 \(A^{\alpha\beta}\)로 바꾸어 쓰고, 변환된 첫 항에서
\[\frac{\partial g^{\nu\beta}}{\partial x_\sigma},\qquad \frac{\partial g^{\mu\alpha}}{\partial x_\sigma}\]
를 (34)식의 도움으로 치환하면, (27)식의 우변으로부터 일곱 개의 항으로 이루어진 식이 나오는데, 그중 넷은 서로 상쇄되고 다음이 남는다.
이것이 2계 반변텐서의 확장식이며, 이보다 더 높거나 낮은 계수의 반변텐서에 대한 확장도 마찬가지로 만들 수 있다.
같은 방식으로, 혼합텐서 \(A^\alpha_\mu\)의 확장도 만들 수 있다.
지표 \(\beta\)와 \(\sigma\)에 대해 (38)식을 축소(내적 \(\delta^\sigma_\beta\))하면 반변 4-벡터를 얻는다.
\[A^\alpha = \frac{\partial A^{\alpha\beta}}{\partial x_\beta} + \Gamma^\beta_{\beta\varkappa}A^{\alpha\varkappa} + \Gamma^\alpha_{\beta\varkappa}A^{\varkappa\beta}\]
\(\{^{\beta\varkappa}_{\ \beta}\}\)가 지표 \(\beta,\varkappa\)에 대해 대칭이므로, 우변의 셋째 항은 \(A^{\alpha\beta}\)가 여기서 가정한 대로 반대칭텐서일 때 사라진다. 둘째 항은 (29a)식에 따라 변형할 수 있다. 그러므로
이것이 반변 6-벡터의 발산에 대한 표현이다.
혼합 2계 텐서의 발산. (39)식을 지표 \(\alpha\)와 \(\sigma\)에 대해 축소하고, (29a)식을 기억하며
마지막 항에 반변텐서 \(A^{\rho\sigma} = g^{\rho\tau}A^\sigma_\tau\)를 도입하면 이는 다음의 형태를 취한다.
\[-\Gamma^{\sigma\mu}_{\rho}\sqrt{-g}\,A^{\rho\sigma}\]
만일 나아가 \(A^{\rho\sigma}\)가 대칭이면 이는
\[-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\frac{\partial g_{\rho\sigma}}{\partial x_\mu}A^{\rho\sigma}\]
로 줄어든다. \(A^{\rho\sigma}\) 대신 대칭 공변텐서 \(A_{\rho\sigma} = g_{\rho\alpha}g_{\sigma\beta}A^{\alpha\beta}\)를 도입한다면, (31)식에 따라 마지막 항은 다음의 형태를 취할 수 있다.
\[\frac{1}{2}\sqrt{-g}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_\mu}A_{\rho\sigma}\]
대칭인 경우, (41)식은 다음의 두 형태 중 하나로 바꾸어 쓸 수 있다.
또는
(41b) \[\sqrt{-g}\,A_\mu = \frac{\partial(\sqrt{-g}\,A^\sigma_\mu)}{\partial x_\sigma} + \frac{1}{2}\frac{\partial g^{\rho\sigma}}{\partial x_\mu}\sqrt{-g}\,A_{\sigma\rho}\]
이는 나중에 쓰게 될 것이다.
이제 우리는, 오직 기본텐서 \(g_{\mu\nu}\)를 미분하는 것만으로 얻을 수 있는 텐서들을 찾고자 한다. 이는 쉽게 얻어진다. (27)식에서 임의의 텐서 \(A_{\mu\nu}\) 대신 기본텐서 \(g_{\mu\nu}\)를 대입하면 새로운 텐서, 즉 기본텐서의 확장을 얻는데, 이것이 항등적으로 사라짐을 쉽게 확인할 수 있다. 이를 다음과 같은 방식으로 증명한다. (27)식에
\[A_{\mu\nu} = \frac{\partial A_\mu}{\partial x_\nu} - \Gamma^\mu_{\ \nu\varrho} A_\varrho\]
즉 4-벡터 \(A_\nu\)의 확장을 대입해 보자. 그러면 (지표를 살짝 바꾸어) 3계 텐서를 얻는다.
\[A_{\mu\sigma\tau} = \frac{\partial^2 A_\mu}{\partial x_\sigma \partial x_\tau} - \left\{^{\mu\sigma}_{\ \ \varrho}\right\}\frac{\partial A_\varrho}{\partial x_\tau} - \left\{^{\mu\tau}_{\ \ \varrho}\right\}\frac{\partial A_\varrho}{\partial x_\sigma} - \left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \varrho}\right\}\frac{\partial A_\mu}{\partial x_\varrho} + \left[-\frac{\partial}{\partial x_\tau}\left\{^{\mu\sigma}_{\ \ \varrho}\right\} + \left\{^{\mu\tau}_{\ \ \alpha}\right\}\left\{^{\alpha\sigma}_{\ \ \varrho}\right\} + \left\{^{\sigma\tau}_{\ \ \alpha}\right\}\left\{^{\alpha\mu}_{\ \ \varrho}\right\}\right]A_\varrho\]
우리는 이 식을 이용해 \(A_{\mu\sigma\tau} - A_{\mu\tau\sigma}\)를 만든다. 이때 \(A_{\mu\sigma\tau}\)의 다음 항들은 \(A_{\mu\tau\sigma}\)의 대응하는 항들과 상쇄된다—첫째 항, 넷째 항, 그리고 대괄호 안 마지막 항. 이들은 모두 \(\sigma\)와 \(\tau\)에 대해 대칭이기 때문이다. 둘째 항과 셋째 항의 합에 대해서도 마찬가지이다. 그리하여 다음을 얻는다.
\[A_{\mu\sigma\tau} - A_{\mu\tau\sigma} = B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\, A_\varrho\]
\[B^\varrho_{\mu\sigma\tau} = -\frac{\partial}{\partial x_\tau}\left\{^{\mu\sigma}_{\ \ \varrho}\right\} + \frac{\partial}{\partial x_\sigma}\left\{^{\mu\tau}_{\ \ \varrho}\right\} - \left\{^{\mu\sigma}_{\ \ \alpha}\right\}\left\{^{\alpha\tau}_{\ \ \varrho}\right\} + \left\{^{\mu\tau}_{\ \ \alpha}\right\}\left\{^{\alpha\sigma}_{\ \ \varrho}\right\}\]
(주: 위 두 식의 중괄호는 크리스토펠 기호 제2종 \(\Gamma\)를 그 근원 형태 그대로 남겨 둔 표현이며, 아래에서부터는 모두 \(\Gamma\) 표기로 통일한다. 즉 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau} = -\dfrac{\partial \Gamma^\varrho_{\mu\sigma}}{\partial x_\tau} + \dfrac{\partial \Gamma^\varrho_{\mu\tau}}{\partial x_\sigma} - \Gamma^\alpha_{\mu\sigma}\Gamma^\varrho_{\alpha\tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\tau}\Gamma^\varrho_{\alpha\sigma}\).)
이 결과에서 핵심은, 우변에 오직 \(A_\varrho\)만 있을 뿐, 그 미분계수는 나타나지 않는다는 점이다. \(A_{\mu\sigma\tau} - A_{\mu\tau\sigma}\)의 텐서로서의 성격과, \(A_\varrho\)가 임의의 4-벡터라는 사실로부터, §7의 결과에 따라 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)가 텐서(리만-크리스토펠 텐서)임이 따라 나온다.
이 텐서의 수학적 의미는 다음과 같다. 연속체가, \(g_{\mu\nu}\)가 상수인 좌표계를 가질 수 있을 만큼 (특별한 형태를 가지고 있다)면, \(R^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)는 모두 사라진다.
원래의 좌표계 대신 어떤 새로운 좌표계를 고르면, 이 새 계에 대해 \(g_{\mu\nu}\)는 더 이상 상수가 아닐 것이다. 그러나 \(R^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)의 텐서로서의 성격에 따라, 이 성분들이 다른 어떤 기준계에 대해서도 함께 사라짐을 알 수 있다. 그러므로 리만 텐서가 사라진다는 것은, 어떤 축계를 고르면 \(g_{\mu\nu}\)를 상수로 만들 수 있기 위한 필요조건이다.\(^{[7]}\) 우리 문제에서 이는, 적절한 좌표계 선택을 통해 유한한 영역 전체에서 특수상대성이론이 성립하는 경우에 해당한다. (43)식을 지표 \(\tau\)와 \(\varrho\)에 대해 축소하면, 2계 공변텐서를 얻는다.
\[B_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} + S_{\mu\nu}\]
\[S_{\mu\nu} = \frac{\partial^2 \lg\sqrt{-g}}{\partial x_\mu \partial x_\nu} - \Gamma^\mu_{\alpha\nu}\frac{\partial \lg\sqrt{-g}}{\partial x_\alpha}\]
좌표 선택에 관한 소견. 이미 §8에서, \(\sqrt{-g}=1\)이 되도록 좌표를 고르는 것이 유리함을 언급한 바 있다. 앞의 두 절에서 얻은 방정식들을 살펴보면, 이렇게 선택함으로써 텐서 형성 법칙이 상당히 단순해짐을 알 수 있다. 특히 우리 이론에서 근본적인 역할을 하게 될 텐서 \(B_{\mu\nu}\)가 그러하다. 이 단순화를 통해 \(S_{\mu\nu}\)는 저절로 사라지므로, 텐서 \(B_{\mu\nu}\)는 \(R_{\mu\nu}\)로 줄어든다.
그러므로 이후로는, 좌표에 대해 위와 같은 특수화를 가한 단순화된 형태로 모든 관계식을 제시하기로 한다. 필요하다면 일반공변방정식으로 되돌아가는 것은 매우 쉬운 일이다.
외력의 작용을 받지 않고 자유로이 운동하는 물체는, 특수상대성이론에 따르면 직선을 따라 등속으로 운동한다. 이는 일반화된 상대성이론에서도, \(g_{\mu\nu}\)가 (4)식이 나타내는 특정한 상수값을 갖도록 좌표 \(K_0\)를 잡을 수 있고 실제로 그렇게 잡은 4차원 영역의 어느 부분에 대해서도 마찬가지로 성립한다.
이 운동을 임의의 좌표계 \(K_1\)의 관점에서 논의해 보자. 이 운동은 (§2에서 설명한 대로) \(K_1\)에 대해서는 중력장 안에서의 운동으로 나타난다. \(K_1\)에 대한 운동법칙은 다음과 같은 고찰을 통해 쉽게 얻어진다. \(K_0\)에 대해서는 운동법칙이 4차원 직선, 즉 측지선(測地線)이다. 측지선은 좌표계와 무관하게 정의되므로, 이는 \(K_1\)에 대한 질점의 운동법칙으로도 그대로 성립할 것이다. 이제 다음과 같이 놓으면
(역주: 이 식은 원문에서 \(\Gamma\) 기호가 공식적으로 도입되는 자리이다. 원문의 옛 브레이스 표기 \(\{^{\mu\nu}_{\ \tau}\}\)에 담긴 부호를 정리하여, §9의 (23)식에서부터 앞당겨 사용해 온 크리스토펠 기호 제2종 \(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\)와 합치되는 형태로 확정하는 것이며, 이하 전체에서 이 \(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\) 표기를 사용한다.)
\(K_1\)에 대한 점의 운동은 다음과 같이 주어진다.
이제 우리는 매우 단순한 다음의 가정을 세운다. 즉, 이 일반공변방정식계는, 특수상대성이론이 유한한 영역 전체에 걸쳐 성립하는 기준계 \(K_0\)가 존재하지 않는 경우에도, 중력장 안에서 점의 운동을 그대로 규정한다는 가정이다. 이 가정은 (46)식이 \(g_{\mu\nu}\)의 1계 미분만을 포함하고 있으며, \(K_0\)가 존재하는 특수한 경우조차 그 미분들 사이에 아무런 관계가 없다는 점에서 더욱 정당해 보인다.\(^{[8]}\)
\(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\)가 모두 사라지면, 점은 등속 직선으로 운동한다. 그러므로 이 양들은 등속 운동으로부터의 편차를 결정하는 것이며, 바로 이것이 중력의 장 성분이다.
이어지는 논의에서 우리는 “중력장”과 “물질”을 구별하기로 한다. 즉 중력장이 아닌 모든 것을 물질이라 부르기로 한다. 따라서 이 용어는 통상적 의미의 “물질”뿐 아니라 전자기장까지도 포함한다. 우리의 다음 과제는 물질이 없는 경우의 중력장방정식을 구하는 것이다. 이를 위해 우리는 질점의 운동방정식을 유도할 때 사용한 것과 같은 방법을 적용한다. 구하려는 장방정식이 명백히 만족되는 특수한 경우는, \(g_{\mu\nu}\)가 특정한 상수값을 갖는 특수상대성이론의 경우이다. 이는 어떤 좌표계 \(K_0\)에 대해 어떤 유한한 영역에서 성립할 것이다. 이 계에 대해서는 리만 텐서 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)의 모든 성분 [식 (43)]이 사라진다. 이 성분들은, 고려하는 영역에서 다른 어떤 좌표계에 대해서도 마찬가지로 (텐서로서의 성격에 의해) 함께 사라진다.
따라서 물질이 없는 중력장의 방정식은, 어떤 경우이든 모든 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)가 사라질 때에는 반드시 만족되어야 한다.
그러나 이 조건은 명백히 지나치게 강한 것이다. 질점이 그 인근에 만들어 내는 중력장은 어떤 좌표 선택으로도 없앨 수 없다는 것, 즉 \(g_{\mu\nu}\)를 상수로 만들 수 없다는 것이 분명하기 때문이다.
그러므로 물질이 없는 중력장에 대해서는, 텐서 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)로부터 유도되는 대칭텐서 \(B_{\mu\nu}\)가 사라지는 것이 바람직함이 분명하다. 이렇게 하면 \(g_{\mu\nu}\)라는 10개의 양에 대해 10개의 방정식을 얻으며, 이는 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}\)가 모두 사라지는 특수한 경우에도 만족된다.
(44)식을 상기하면, 물질이 없는 경우 (택한 특수 좌표계를 기준으로 할 때) 장방정식은 다음과 같이 나온다.
이 방정식들의 선택이 자의성을 최소한으로 줄인다는 것도 보일 수 있다. \(B_{\mu\nu}\) 이외에는, \(g_{\mu\nu}\)와 그 2계까지의 미분으로 이루어지고 그 미분에 대해 선형인 2계 텐서가 존재하지 않기 때문이다.\(^{[9]}\)
이 (46)식과 함께, 일반상대성이론의 조건들로부터 순전히 수학적인 방법으로 뉴턴의 인력 법칙이 제1차 근사로서 나오고, 제2차 근사에서는 르베리에가 발견한 수성의 근일점 운동—이제까지 온갖 섭동 요인을 모두 고려해도 설명되지 않던 잔여 효과—에 대한 설명이 나온다는 것이 이후 밝혀질 것이다. 나로서는 이것이 이 이론의 물리적 타당성을 보여주는 설득력 있는 증거라고 생각한다.
장방정식이 운동량과 에너지의 법칙에 대응함을 보이려면, 이를 다음과 같은 해밀토니안 형식으로 쓰는 것이 가장 편리하다.
(47a) \[\delta\left\{\int H\, d\tau\right\} = 0,\qquad H = g^{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha},\qquad \sqrt{-g}=1\]
여기서 변분은 고려하는 유한한 4차원 적분 영역의 경계에서 사라진다.
먼저 (47a)의 형태가 (47)식과 동치임을 보여야 한다. 이를 위해 \(H\)를 \(g^{\mu\nu}\)와 \(g^{\mu\nu}_\sigma\ \big(= \partial g^{\mu\nu}/\partial x_\sigma\big)\)의 함수로 생각하자. 그러면 먼저 다음을 얻는다.
\[\delta H = \Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha}\,\delta g^{\mu\nu} + 2g^{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\,\delta\Gamma^\beta_{\nu\alpha}\] \[= -\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha}\,\delta g^{\mu\nu} + 2\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\,\delta(g^{\mu\nu}\Gamma^\beta_{\nu\alpha})\]
그런데
\[\delta(g^{\mu\nu}\Gamma^\beta_{\nu\alpha}) = -\frac{1}{2}\delta\left[g^{\mu\nu}g^{\beta\gamma}\left(\frac{\partial g_{\nu\lambda}}{\partial x_\alpha} + \frac{\partial g_{\alpha\lambda}}{\partial x_\nu} - \frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x_\lambda}\right)\right]\]
이 소괄호 안의 마지막 두 항에서 나오는 항들은 서로 부호가 반대이며, 지표 \(\mu\)와 \(\beta\)를 맞바꾸면 서로 자리를 바꾼다. 이 항들은 \(\mu\)에 대해 대칭인 \(\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\)와 곱해질 때 서로 상쇄되므로, \(\delta H\)의 표현에는 소괄호의 첫째 항만 남는다. (31)식을 상기하면 다음을 얻는다.
\[\delta H = -\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha}\,\delta g^{\mu\nu} - \Gamma^\alpha_{\mu\beta}\,\delta g^{\mu\alpha}_\beta\]
그러므로
이제 (47a)에서 변분을 실제로 수행하면 다음의 방정식계를 얻는다.
(47b) \[\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(\frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}\right) - \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} = 0\]
이는 (48)식의 관계에 의해 (47)식과 일치하며, 이로써 증명하려던 바가 증명되었다.
(47b)식의 양변에 \(g^{\mu\nu}_\sigma\)를 곱하면, 관계식
\[\frac{\partial g^{\mu\nu}_\sigma}{\partial x_\alpha} = \frac{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}{\partial x_\sigma}\]
및 그 결과로서
\[g^{\mu\nu}_\sigma\,\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(\frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}\right) = \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\mu\nu}_\sigma\,\frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}\right) - \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}\frac{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}{\partial x_\sigma}\]
가 성립함을 이용하여, 다음 방정식을 얻는다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\mu\nu}_\sigma\,\frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}_\alpha}\right) - \frac{\partial H}{\partial x_\sigma} = 0\]
즉
또는, (48)식과 (34)식의 관계에 의해
여기서 주목할 점은 \(t^\alpha_\sigma\)가 텐서가 아니라는 것이다. 따라서 (49)식은 \(\sqrt{-g}=1\)인 좌표계에 대해서만 성립한다. 이 방정식은 중력장에서의 운동량과 에너지의 보존법칙을 나타낸다. 실제로 이 방정식을 3차원 부피 \(V\)에 대해 적분하면 다음의 네 방정식이 나온다.
(49a) \[\frac{d}{dx_4}\left\{\int t^4_\sigma\, dV\right\} = \int (t^1_\sigma\alpha_1 + t^2_\sigma\alpha_2 + t^3_\sigma\alpha_3)\, dS\]
여기서 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)는 곡면요소 \(dS\)의 안쪽으로 향한 법선의 방향코사인(유클리드적 의미에서)이다. 우리는 이 식에서 통상적인 형태의 보존법칙을 확인할 수 있다. 우리는 이 양 \(t^\alpha_\sigma\)를 중력장의 에너지 성분이라 부르기로 한다.
이제 (47)식을, 우리의 목적을 신속히 실현하는 데 매우 유용한 제3의 형태로 표현하겠다. 장방정식 (47)에 \(g^{\nu\sigma}\)를 곱하면 “혼합” 형태의 방정식을 얻는다. 다음의 관계
\[g^{\nu\sigma}\frac{\partial\Gamma^\alpha_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha} = \frac{\partial}{\partial x_\alpha}(g^{\nu\sigma}\Gamma^\alpha_{\mu\nu}) - \frac{\partial g^{\nu\sigma}}{\partial x_\alpha}\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\]
을 상기하면, 이는 (34)식에 의해 다음과 같다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\alpha}(g^{\nu\sigma}\Gamma^\alpha_{\mu\nu}) - g^{\nu\beta}\Gamma^\sigma_{\alpha\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\nu} - g^{\sigma\beta}\Gamma^\nu_{\beta\alpha}\Gamma^\alpha_{\mu\nu}\]
또는 표기를 약간 바꾸면 다음과 같다.
\[\frac{\partial}{\partial x_\alpha}(g^{\sigma\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}) - g^{mn}\Gamma^\sigma_{m\beta}\Gamma^\beta_{n\mu} - g^{\nu\sigma}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha}\]
이 식의 셋째 항은 장방정식 (47)의 둘째 항과 상쇄된다. 이 식의 둘째 항 자리에는, (50)식의 관계에 의해 다음을 대입할 수 있다.
\[\varkappa\left(t^\sigma_\mu - \frac{1}{2}\delta^\sigma_\mu\, t\right),\qquad (t = t^\alpha_\alpha)\]
따라서 (47)식 대신 다음을 얻는다.
앞 절에서 물질이 없는 공간에 대해 세운 장방정식은, 뉴턴 이론에서의 방정식
\[\Delta\varphi = 0\]
과 비교되어야 한다. 우리는 이제 푸아송 방정식
\[\Delta\varphi = 4\pi\varkappa\varrho\]
(\(\varrho\)는 물질의 밀도를 나타낸다)에 대응하는 방정식을 찾아야 한다.
특수상대성이론은, 관성 질량이 다름 아닌 에너지라는 인식으로 이어졌다. 이는 또한 2계 대칭텐서, 즉 에너지텐서에 의해 완전히 수학적으로 표현될 수 있다. 그러므로 우리는 일반화된 이론에서, 물질과 결부된 에너지텐서 \(T^\alpha_\sigma\)를 도입해야 한다. 이는 중력장의 에너지 성분 \(t^\alpha_\sigma\) [(49)식과 (50)식]와 마찬가지로 혼합된 성격을 가지지만, 대칭인 공변텐서와 연결될 수 있다.\(^{[11]}\) (51)식은, (푸아송 방정식의 밀도 \(\varrho\)에 대응하는) 에너지텐서를 중력의 장방정식에 어떻게 도입할 것인지를 우리에게 가르쳐 준다. 만약 우리가 (가령 태양계와 같은) 완전한 계 하나를 고려한다면, 그 계의 전체 질량, 즉 그 전체 중력 작용은, 질량을 갖는 보통 물질의 에너지와 중력 자체의 에너지를 모두 합한 전체 에너지에 의존할 것이다.
이는, (51)식에서 중력장 단독의 에너지 성분 \(t^\sigma_\mu\) 대신에, 물질과 중력의 에너지 성분의 합 \(t^\sigma_\mu + T^\sigma_\mu\)를 놓음으로써 표현될 수 있다. 이렇게 하여 (51)식 대신 다음의 텐서방정식을 얻는다.
여기서 \(T = T^\mu_\mu\) (라우에의 스칼라)이다. 이것이 혼합된 형태로 나타낸, 일반적인 중력의 장방정식이다. (47)식 대신, 거꾸로 계산하면 다음의 체계를 얻는다.
물질의 에너지텐서를 이렇게 도입하는 일이 상대성 공준만으로 정당화될 수 없다는 것은 인정해야 한다. 왜냐하면 우리는 앞선 분석에서, 중력장의 에너지도 다른 모든 종류의 에너지와 똑같은 방식으로 중력 작용을 미쳐야 한다는 조건으로부터 이를 유도해 냈기 때문이다. 그러나 위 방정식을 채택하는 가장 강력한 근거는, 그 결과로서 전체 에너지(운동량과 에너지)의 성분들에 대한 보존법칙에 관한 방정식이 나오며, 이것이 정확히 (49)식과 (49a)식에 대응한다는 데 있다. 이는 이후에 보이도록 하겠다.
(52)식은, 우변의 둘째 항이 사라지도록 다음과 같이 쉽게 변형할 수 있다. (52)식을 지표 \(\mu\)와 \(\sigma\)에 대해 축소하고, 그 결과에 \(\frac{1}{2}\delta^\sigma_\mu\)를 곱한 것을 (52)식에서 빼면 다음을 얻는다.
(52a) \[\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\sigma\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\beta} - \frac{1}{2}\delta^\sigma_\mu\, g^{\lambda\beta}\Gamma^\alpha_{\lambda\beta}\right) = -\varkappa(t^\sigma_\mu + T^\sigma_\mu)\]
이 식에 \(\partial/\partial x_\sigma\)를 작용시키자. 이제
\[\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\sigma}(g^{\sigma\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}) = -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\sigma}\left[g^{\sigma\beta}g^{\alpha\lambda}\left(\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x_\beta} + \frac{\partial g_{\beta\lambda}}{\partial x_\mu} - \frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x_\lambda}\right)\right]\]
이 소괄호 안의 첫째 항과 셋째 항은, 한편으로는 합산지표 \(\alpha\)와 \(\sigma\)를, 다른 한편으로는 \(\beta\)와 \(\gamma\)를 서로 맞바꾸면 쉽게 알 수 있듯이, 서로 상쇄되는 표현으로 이어진다. 둘째 항은 (31)식에 따라 변형할 수 있다. 그리하여 다음을 얻는다.
\[\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\sigma}(g^{\sigma\beta}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}) = \frac{1}{2}\frac{\partial^3 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha \partial x_\beta \partial x_\mu}\]
(52a)식의 좌변 둘째 항은 먼저 다음으로 이어진다.
\[-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\sigma}(g^{\lambda\beta}\Gamma^\alpha_{\lambda\beta})\]
또는
\[\frac{1}{4}\frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\mu}\left[g^{\lambda\beta}g^{\alpha\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta\gamma}}{\partial x_\beta} + \frac{\partial g_{\delta\beta}}{\partial x_\lambda} - \frac{\partial g_{\lambda\beta}}{\partial x_\delta}\right)\right]\]
소괄호 안의 마지막 항에서 나오는 표현은, 좌표축의 선택에 의해 (29)식에 따라 사라진다. 나머지 두 항은 함께 묶을 수 있으며, (31)식에 의해 다음의 식을 준다.
\[-\frac{1}{2}\frac{\partial^3 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha \partial x_\beta \partial x_\mu}\]
이렇게 하여 (54)식을 상기하면 다음의 항등식을 얻는다.
(55)식과 (52a)식으로부터 다음이 따라 나온다.
중력의 장방정식으로부터, 운동량과 에너지의 보존법칙 또한 만족됨이 따라 나온다. 이는 (49a)식에 이르게 한 것과 같은 논증을 따르면 가장 쉽게 확인된다. 다만 이번에는 중력장의 에너지 성분 \(t^\sigma_\mu\) 대신, 물질과 중력장을 합한 전체 에너지 성분을 대입해야 한다는 점만 다르다.
(53)식에 \(\partial g^{\mu\nu}/\partial x_\sigma\)를 곱하면, §15에서와 비슷한 방식으로, 이번에는 \(g_{\mu\nu}\partial g^{\mu\nu}/\partial x_\sigma\)가 사라짐을 상기하여, 다음의 방정식을 얻는다.
\[\frac{\partial t^\alpha_\sigma}{\partial x_\alpha} + \frac{1}{2}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}T_{\mu\nu} = 0\]
또는 (56)식을 상기하면
(41b)식과 비교해 보면, 앞서 선택한 좌표계에 대해 이 방정식이 뜻하는 바는 다름아니라 물질의 에너지 성분으로 이루어진 텐서의 발산(發散)이 사라진다는 것뿐임을 알 수 있다.
물리적으로 보면, 좌변에 나타난 둘째 항의 존재는, 물질만으로는 운동량과 에너지의 보존법칙이 성립할 수 없음을, 또는 \(g^{\mu\nu}\)가 상수일 때—즉 중력장이 사라질 때—에만 성립할 수 있음을 보여 준다. 이 둘째 항은, 단위 시간 및 단위 부피당 중력장이 물질에 미치는 운동량과 에너지를 나타내는 표현이다. 이는 (57)식 대신 (41)식과 같은 형태로 쓰면 더욱 분명해진다.
(57a) \[\frac{\partial T^\alpha_\sigma}{\partial x_\alpha} = -\Gamma^\alpha_{\sigma\beta}T^\beta_\alpha\]
우변은 중력장의 에너지가 물질에 미치는 상호작용을 나타낸다. 그러므로 중력의 장방정식은, 모든 물질현상이 만족해야 하는 네 가지 조건을 동시에 담고 있는 셈이다. 물질현상에 대한 방정식은, 물질현상이 서로 독립인 네 개의 미분방정식으로 더 특징지어질 때, 이로써 완전하게 얻어진다.\(^{[12]}\)
B에서 전개한 수학적 보조 수단들은, 특수상대성이론에 따라 이미 정식화되어 있는 물질의 물리법칙들(유체역학, 맥스웰의 전자기학)을, 일반화된 상대성이론에 맞게 즉시 일반화할 수 있게 해 준다. 일반화된 상대성 원리는 가능성을 더 이상 제한하지 않는다. 다만 이를 통해 우리는, 새로운 가설을 도입하지 않고도 중력이 모든 과정에 미치는 영향을 정확히 알 수 있게 된다.
이 때문에, (좁은 의미에서의) 물질의 물리적 본성에 관해서는 어떤 확정적인 필요 가정도 도입할 필요가 없다. 전자기장의 이론과 중력장의 이론이 함께 물질의 이론에 대해 충분한 토대를 이루는지에 대한 물음은 열린 채로 남겨 둘 수 있다. 일반상대성 공준 그 자체는 우리에게 어떤 새로운 원리도 가르쳐 주지 않는다. 다만 이론을 구축해 나가는 과정에서, 전자기학과 중력이 함께라면 종래에는 이루지 못했던 것을 이룰 수 있는지 없는지를 보여 줄 뿐이다.
\(p\)와 \(\varrho\)를 두 스칼라라 하자. 앞의 것은 유체의 “압력”을, 뒤의 것은 유체의 “밀도”를 나타내며, 이 둘 사이에는 하나의 관계식이 있다. 유체의 반변 대칭텐서를 다음과 같이 놓자.
이것이 유체의 반변 에너지텐서이다. 이에 대응하는 공변텐서는
(58a) \[T_{\mu\nu} = -g_{\mu\nu}p + g_{\mu\alpha}\frac{dx_\alpha}{ds}g_{\mu\beta}\frac{dx_\beta}{ds}\varrho\]
이며, 혼합텐서는 다음과 같다.\(^{[13]}\)
(58b) \[T^\alpha_\sigma = -\delta^\alpha_\sigma\, p + g_{\sigma\beta}\frac{dx_\beta}{ds}\frac{dx_\alpha}{ds}\varrho\]
(58b)식의 우변을 (57a)식에 대입하면, 일반화된 상대성이론에 따른 오일러의 유체역학 방정식이 일반적인 형태로 얻어진다. 이로써 운동의 문제는 원리적으로 완전히 풀린다. 왜냐하면 (57a)식으로부터 나오는 네 방정식이, \(p\)와 \(\varrho\) 사이에 주어진 관계식, 그리고 \(g_{\alpha\beta}\,dx_\alpha/ds\cdot dx_\beta/ds = 1\)이라는 조건과 함께, \(g_{\alpha\beta}\)의 값들이 주어졌을 때 여섯 개의 미지수 \(p,\varrho,dx_1/ds,dx_2/ds,dx_3/ds,dx_4/ds\)를 구하는 데 충분하기 때문이다.
만약 \(g_{\mu\nu}\)가 미지수라면, 여기에 (53)식을 더해야 한다. 그러면 10개의 함수 \(g_{\mu\nu}\)를 구하기 위한 11개의 방정식이 있게 되므로, 그 수가 충분함을 넘어선다. 그런데 (57a)식은 이미 (53)식에 포함되어 있어서, 뒤의 식만이 7개의 독립방정식을 나타낸다는 점에 유의해야 한다. 이러한 부정성(不定性)은 좌표 선택의 폭넓은 자유에서 비롯되는 것으로, 그로 인해 이 문제는 세 개의 공간함수를 임의로 선택할 수 있다는 뜻에서 부정적(不定的)이다.\(^{[14]}\)
\(\varphi_\nu\)를 전자기 퍼텐셜인 공변 4-벡터의 성분이라 하자. 이로부터 (36)식에 따라, 전자기장을 나타내는 공변 6-벡터의 성분 \(F_{\varrho\sigma}\)를 다음의 방정식계에 따라 만들자.
(59)식으로부터 다음의 방정식계가 따라 나온다.
이는 (37)식에 의해 반대칭 3계 텐서를 만족시킨다. 이 체계 (60)은 본질적으로 다음과 같이 쓸 수 있는 네 개의 방정식을 담고 있다.
(60a) \[\frac{\partial F_{23}}{\partial x_4} + \frac{\partial F_{34}}{\partial x_2} + \frac{\partial F_{42}}{\partial x_3} = 0\] \[\frac{\partial F_{34}}{\partial x_1} + \frac{\partial F_{41}}{\partial x_3} + \frac{\partial F_{13}}{\partial x_4} = 0\] \[\frac{\partial F_{41}}{\partial x_2} + \frac{\partial F_{12}}{\partial x_4} + \frac{\partial F_{24}}{\partial x_1} = 0\] \[\frac{\partial F_{12}}{\partial x_3} + \frac{\partial F_{23}}{\partial x_1} + \frac{\partial F_{31}}{\partial x_2} = 0\]
이 방정식계는 맥스웰의 제2 방정식계에 대응한다. 이는 다음과 같이 놓으면 즉시 확인된다.
그러면 (60a)식 대신, 통상적인 3차원 벡터 해석의 표기를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
(60b) \[\frac{\partial\mathfrak{h}}{\partial t} + \mathrm{rot}\,\mathfrak{e} = 0,\qquad \mathrm{div}\,\mathfrak{h} = 0\]
맥스웰의 첫째 방정식계는, 민코프스키가 제시한 형태를 일반화함으로써 얻어진다.
우리는 다음의 방정식에 의해 반변 6-벡터 \(F^{\alpha\beta}\)를 도입한다.
그리고 마찬가지로, 진공에서의 전류밀도를 나타내는 반변 4-벡터 \(J^\mu\)도 도입한다. 그러면 (40)식을 상기하면, (우리가 선택한 좌표계에서는) 행렬식이 1인 임의의 치환에 대해 불변으로 남는 다음의 방정식계를 세울 수 있다.
여기서
이 양들은 특수상대성이론의 경우에는 \(\mathfrak{h}_x \cdots \mathfrak{e}_z\)와 같아지며, 또한 \(J^1=\mathfrak{i}_x,\ J^2=\mathfrak{i}_y,\ J^3=\mathfrak{i}_z,\ J^4=\varrho\)로 놓으면, (63)식 대신 다음을 얻는다.
(63a) \[\mathrm{rot}\,\mathfrak{h}' - \frac{\partial\mathfrak{e}'}{\partial t} = \mathfrak{i},\qquad \mathrm{div}\,\mathfrak{e}' = \varrho\]
(60), (62), (63)식은 이렇게 하여, 우리가 선택한 좌표계에서 성립하는 진공에서의 맥스웰 장방정식의 일반화를 이룬다.
전자기장의 에너지 성분. 내적(內積) \(\varkappa_\sigma = F_{\sigma\mu}J^\mu\) (65)를 만들어 보자. (61)식에 따라 이 성분들은 3차원 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
(65a) \[\varkappa_1 = \varrho\mathfrak{e}_x + [\mathfrak{i},\mathfrak{h}]_x,\quad \cdots,\quad \varkappa_4 = -(\mathfrak{i},\mathfrak{e})\]
\(\varkappa_\sigma\)는, 전하가 단위 시간 및 단위 부피당 전자기장으로 넘겨주는 운동량과 에너지에 음의 부호를 붙인 것과 같은 성분을 갖는 공변 4-벡터이다. 만약 전하가 전자기장의 작용만을 받는 자유로운 전하라면, 공변 4-벡터 \(\varkappa_\sigma\)는 사라질 것이다.
전자기장의 에너지 성분 \(T^\nu_\sigma\)를 얻으려면, 방정식 (57)의 형태를 갖도록 \(\varkappa_\sigma = 0\)이라 두기만 하면 된다. (63)식과 (65)식으로부터 먼저 다음을 얻는다.
\[\varkappa_\sigma = F_{\sigma\mu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x_\nu} = \frac{\partial}{\partial x_\nu}(F_{\sigma\mu}F^{\mu\nu}) - F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x_\nu}\]
(60)식에 의해, 우변 둘째 항은 다음과 같이 변형된다.
\[F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x_\nu} = -\frac{1}{2}F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma} = -\frac{1}{2}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\]
대칭성으로 인해, 이 표현은 다음의 형태로도 쓸 수 있다.
\[-\frac{1}{4}\left[g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma} + g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial x_\sigma}F_{\mu\nu}\right]\]
이는 또한 다음의 형태로도 쓸 수 있다.
\[-\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial x_\sigma}(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}) + \frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x_\sigma}(g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta})\]
이 항들 중 첫째 것은 간단히 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[-\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial x_\sigma}(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})\]
그리고 둘째 항은 미분을 수행한 뒤 다음의 형태로 변형될 수 있다.
\[-\frac{1}{2}F^{\mu\tau}F_{\mu\nu}g^{\nu\varrho}\frac{\partial g_{\sigma\tau}}{\partial x_\sigma}\]
이 세 항을 모두 합하면 다음의 관계를 얻는다.
여기서
(66a) \[T^\nu_\tau = -F_{\sigma\alpha}F^{\nu\alpha} + \frac{1}{4}\delta^\nu_\sigma F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\]
(30)식에 의해, (66)식은 \(\varkappa_\sigma\)가 사라질 때 (57)식 및 (57a)식과 동치가 된다. 따라서 \(T^\nu_\sigma\)가 전자기장의 에너지 성분이다. (61)식과 (64)식의 도움으로, 특수상대성이론의 경우에는 전자기장의 에너지 성분이 잘 알려진 맥스웰-포인팅의 표현으로 귀착됨을 쉽게 보일 수 있다.
우리는 이제 \(\sqrt{-g}=1\)인 좌표계를 사용함으로써, 중력장과 물질이 만족하는 가장 일반적인 법칙들을 유도해 냈다. 이로써 우리는, 일반공변의 조건을 포기하지 않으면서도, 좌표계로부터 특수화를 거쳐 일반공변방정식으로부터 방정식들을 얻어 냄으로써, 모든 공식과 계산에서 중요한 단순화를 이루었다. 그러나 여전히 형식적으로 흥미로운 물음이 남아 있다. 즉, 좌표계에 어떤 특수화도 가하지 않은 일반화된 방식으로 중력장과 물질의 에너지 성분을 정의할 때, 보존법칙이 (56)식의 형태를 가지고, 중력의 장방정식이 (52) 또는 (52a)식의 형태를 유지하는지—그리하여 좌변에는 통상적 의미의 발산이, 우변에는 물질과 중력의 에너지 성분의 합이 오는지—하는 물음이다. 나는 실제로 그러함을 알아냈다. 그러나 이 주제에 관한 나의 다소 방대한 작업의 내용을 전달하는 일은, 본질적으로 새로운 것이 나오지 않는다는 점에서 그다지 값어치가 없으리라 생각한다.
우리는 이미 여러 차례, 특수상대성이론이 \(g_{\mu\nu}\)가 상수값 (4)를 갖는 일반이론의 특수한 경우로 간주되어야 함을 언급해 왔다.
이는 앞서 말한 바에 따르면, 중력의 영향을 완전히 무시함을 뜻한다. 우리는 \(g_{\mu\nu}\)가 (4)식과 (1에 비해) 작은 크기만큼 다른 경우를 고려함으로써, 더 현실적인 근사를 얻는다. 이때 2차 이상의 작은 양은 무시할 수 있다(근사의 첫째 측면).
더 나아가, 고려하는 시공 영역 안에서 \(g_{\mu\nu}\)가 (공간적 의미에서) 무한히 먼 거리에서는, 적절한 좌표 선택을 통해 극한값 (4)로 향할 수 있다고 가정해야 한다. 즉, 우리는 유한한 영역에 분포된 질량에 의해 만들어질 수 있다고 여겨지는 중력장만을 고려한다.
우리는 이 근사가 뉴턴의 이론으로 이어져야 한다고 가정할 수 있다. 다만 이를 위해서는 기초 방정식들을 다른 관점에서 다룰 필요가 있다. (46)식에 따른 질점의 운동을 살펴보자. 특수상대성이론의 경우, 성분
\[\frac{dx_1}{ds},\ \frac{dx_2}{ds},\ \frac{dx_3}{ds}\]
는 임의의 값을 가질 수 있다. 이는 진공 중 빛의 속도보다 작은(\(v<1\)) 임의의 속도가 나타날 수 있음을 뜻한다. 이제 우리가, 빛의 속도에 비해 \(v\)가 작은 경우로 논의를 한정하면, 이는 성분
\[\frac{dx_1}{ds},\ \frac{dx_2}{ds},\ \frac{dx_3}{ds}\]
를 작은 양으로 취급할 수 있음을, 반면 \(dx_4/ds\)는 2차의 크기까지는 1과 같다고 볼 수 있음을 뜻한다(근사의 둘째 관점).
이제 첫째 근사의 관점에 따르면, 양 \(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\)는 모두 적어도 1차의 작은 양임을 알 수 있다. (46)식을 살펴보면, 이 식에서 둘째 근사의 관점에 따라 우리는 \(\mu=\nu=4\)인 항들만 고려하면 됨을 알 수 있다.
가장 낮은 차수의 항들로 한정하면, (46)식 대신 먼저 다음의 방정식을 얻는다.
\[\frac{d^2 x_\tau}{dt^2} = \Gamma^\tau_{44}\]
여기서 \(dx = dx_4 = dt\)이다. 또는 첫째 관점에 따른 1차 근사만을 고려하여 한정하면 다음과 같다.
\[\frac{d^2 x_\tau}{dt^2} = -\frac{\partial g_{44}}{\partial x_\tau}\cdot\frac{1}{2}\qquad(\tau=1,2,3),\qquad \frac{d^2 x_4}{dt^2} = -\left[\frac{44}{\tau}\right]\ \text{에서 유래한 항은 무시}\]
더 나아가 중력장이 준정적(準靜的)이라고, 즉 중력장을 만드는 물질이 빛의 속도에 비해 느리게 운동한다고 가정하면, 우변에서 시간에 대한 위치좌표의 미분항은 무시할 수 있으며, 이에 따라 다음을 얻는다.
이것이 뉴턴의 이론에 따른 질점의 운동방정식이며, 여기서 \(g_{44}/2\)가 중력퍼텐셜의 역할을 한다. 이 결과에서 주목할 점은, 질점의 운동에 대한 1차 근사에서는 기본텐서의 성분 \(g_{44}\)만이 나타난다는 것이다.
이제 장방정식 (53)으로 눈을 돌리자. 이 경우, 물질의 에너지텐서는 오로지 물질의 밀도 \(\varrho\)에 의해서만—즉 (58), (58a), (58b)식의 우변 둘째 항에 의해서만—좁은 의미로 규정됨을 상기해야 한다. 필요한 근사를 적용하면, \(T_{44}=\varrho=T\)를 제외한 모든 성분이 사라진다.
(53)식의 좌변에서 둘째 항은 2차의 작은 양이므로, 근사에서는 다음의, 우리에게 상당히 흥미로운 항들로 이어진다.
\[+\frac{\partial}{\partial x_1}\Gamma^{\mu\nu}_1 + \frac{\partial}{\partial x_2}\Gamma^{\mu\nu}_2 + \frac{\partial}{\partial x_3}\Gamma^{\mu\nu}_3 - \frac{\partial}{\partial x_4}\Gamma^{\mu\nu}_4\]
여기서 시간에 대한 미분은 모두 무시하면, \(\mu=\nu=4\)일 때 이는 다음의 식으로 이어진다.
\[-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{44}}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 g_{44}}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 g_{44}}{\partial x_3^2}\right) = -\frac{1}{2}\Delta g_{44}\]
이렇게 하여 (53)식의 마지막 방정식은 다음으로 이어진다.
(67)식과 (68)식은 함께 뉴턴의 인력 법칙과 동치이다.
중력퍼텐셜에 대해서 (67)식과 (68)식으로부터 다음의 식을 얻는다.
(68a) \[-\frac{\varkappa}{8\pi}\int \frac{\varrho\, d\tau}{r}\]
반면 택한 시간 단위에 대해 뉴턴의 이론은 다음을 준다.
\[-\frac{K}{c^2}\int \frac{\varrho\, d\tau}{r}\]
여기서 \(K\)는 통상 중력상수 \(6.7\times 10^{-8}\)을 나타낸다. 두 식을 같다고 놓으면 다음을 얻는다.
뉴턴의 이론을 제1차 근사로서 얻으려면, 중력퍼텐셜의 10개 성분 \(g_{\mu\nu}\) 가운데 \(g_{44}\)만 계산하면 충분했다. 이는 질점의 근사 운동방정식에 오직 이 성분만 들어오기 때문이다. 그러나 \(g=-1\)이라는 조건에 따라, \(g_{\mu\nu}\)의 다른 성분들 역시 (4)식이 주는 값과는 달라져야 함을 알 수 있다.
좌표 원점에 놓인 질점에 대해, 우리는 다음 방정식의 대칭인 해를 제1차 근사로서 얻는다.
\[g_{\varrho\sigma} = -\delta_{\varrho\sigma} - \alpha\frac{x_\varrho x_\sigma}{r^3}\quad(\varrho,\sigma\ \text{는 1에서 3 사이}),\qquad g_{\varrho 4}=g_{4\varrho}=0\ (\varrho\ \text{는 1에서 3 사이}),\qquad g_{44}=1-\frac{\alpha}{r}\]
여기서 \(\delta_{\varrho\sigma}\)는 \(\varrho=\sigma\)이면 1, \(\varrho\neq\sigma\)이면 0이며, \(r\)은 \(+\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\)이다. (68a)식에 의해 다음을 얻는다.
(70a) \[\alpha = \frac{\varkappa M}{8\pi}\]
여기서 \(M\)은 장을 만드는 질량을 나타낸다. 이 해가 질량 바깥에서 장방정식을 근사적으로 만족함을 검증하기는 어렵지 않다.
이제 질량 \(M\)의 장이 그 장의 계량적 성질에 미치는 영향을 살펴보자. “국소적으로” (§4) 측정된 길이와 시간 \(ds\) 사이에는, 그리고 좌표의 차이 \(dx_\nu\) 사이에는 다음의 관계가 있다.
\[ds^2 = g_{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu\]
예를 들어 \(x\)축에 “평행하게” 놓인 단위 측정 막대에 대해서는, \(ds^2=-1;\ dx_2=dx_3=dx_4=0\)을 놓아야 하며, 그러면
\[-1 = g_{11}dx_1^2\]
이다. 만약 단위 측정 막대가 \(x\)축 위에 놓여 있다면, (70)식의 첫째 식은 다음을 준다.
\[g_{11} = -\left(1+\frac{\alpha}{r}\right)\]
이 두 관계로부터, 제1차 근사로서 다음이 따라 나온다.
즉 단위 측정 막대는, 중력장 안에서 반지름 방향으로 놓았을 때, 좌표계를 기준으로 하면 계산된 만큼 짧아져 보인다.
마찬가지로 접선 방향에 놓았을 때의 좌표길이도 구할 수 있다. 예를 들어 \(ds^2=-1;\ dx_1=dx_3=dx_4=0;\ x_1=r,\ x_2=x_3=0\)이라 놓으면 다음을 얻는다.
(71a) \[-1 = g_{22}dx_2^2 = -dx_2^2\]
즉, 막대를 장 안에 접선 방향으로 놓을 때, 중력장은 그 막대의 길이에 아무런 영향도 주지 않는다.
이렇게 하여, 같은 하나의 막대를 그 위치나 방향과 무관하게 같은 연장의 척도로 사용할 수 있다고 여긴다면, 중력장 안에서는 유클리드 기하학이 제1차 근사에서조차 성립하지 않는다. 그러나 (70a)식과 (69)식을 살펴보면, 예상되는 차이가 지표면에서의 측정으로는 알아챌 수 없을 만큼 지극히 작다는 것을 알 수 있다.
다음으로, 정적 중력장 안에 놓인 단위 시계의 진행 속도를 살펴보자. 여기서 시계의 한 주기에 대해서는 \(ds=1;\ dx_1=dx_2=dx_3=0\)이며, 그러므로
\[1 = g_{44}dx_4^2\]
이다. 즉
\[dx_4 = \frac{1}{\sqrt{g_{44}}} = \frac{1}{\sqrt{1+(g_{44}-1)}} = 1 - \frac{g_{44}-1}{2}\]
또는
따라서 시계는 질량을 갖는 물질 근처에 놓일수록 느리게 간다. 이로부터, 큰 항성의 표면에서 우리에게 도달하는 빛의 스펙트럼선은 스펙트럼의 붉은 쪽 끝으로 이동해 나타나야 한다는 결론이 따라 나온다.\(^{[15]}\)
이제 정적 중력장 안에서 빛살이 그리는 경로를 살펴보자. 특수상대성이론에 따르면, 빛의 속도는 다음의 방정식으로 주어진다.
\[-dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2 + dx_4^2 = 0\]
따라서 일반화된 상대성이론에 따르면, 다음의 방정식으로 주어진다.
만약 방향, 즉 비 \(dx_1:dx_2:dx_3\)가 주어지면, (73)식은 다음의 값들을 준다.
\[\frac{dx_1}{dx_4},\ \frac{dx_2}{dx_4},\ \frac{dx_3}{dx_4}\]
그리고 이로부터, 유클리드 기하학의 의미에서의 속도
\[\gamma = \sqrt{\left(\frac{dx_1}{dx_4}\right)^2+\left(\frac{dx_2}{dx_4}\right)^2+\left(\frac{dx_3}{dx_4}\right)^2}\]
를 얻는다. 좌표계를 기준으로 볼 때, \(g_{\mu\nu}\)가 상수가 아닌 경우에는 빛살이 굽어져 나타날 수밖에 없음을 쉽게 알 수 있다.
만약 \(n\)이 진행 방향에 수직한 방향이라면, 하위헌스의 원리로부터, (평면 \((\gamma,n)\) 안에서 취한) 빛살은 \(-\partial\gamma/\partial n\)의 곡률을 겪어야 함을 알 수 있다.
질량 \(M\)으로부터 거리 \(\Delta\)만큼 떨어진 곳을 지나갈 때 빛살이 겪는 곡률을 구해 보자. 앞의 그림과 같은 좌표계를 사용하면, 빛살의 전체 휨 \(B\)(원점 쪽으로 오목할 때 양으로 헤아린다)는 다음과 같은 충분한 근사로 주어진다.
한편 (73)식과 (70)식은 다음을 준다.
\[\gamma = \sqrt{-\frac{g_{44}}{g_{22}}} = 1 + \frac{\alpha}{2r}\left(1+\frac{x_2^2}{r^2}\right)\]
계산 결과는 다음과 같다.
\[B = \frac{2\alpha}{\Delta} = \frac{\varkappa M}{4\pi\Delta}\]
태양을 스칠 듯이 지나가는 빛살은 \(1.7''\)의 휨을 겪으며, 목성을 스칠 듯이 지나가는 빛살은 약 \(0.02''\)의 편차를 겪게 된다.
만약 중력장을 한층 더 높은 근사 차수까지 계산하고, 이에 대응하여 상대적으로 작은(무한소의) 질량을 갖는 질점의 경로도 함께 계산하면, 케플러-뉴턴의 행성운동 법칙으로부터 다음과 같은 종류의 편차를 얻는다. 행성 궤도의 타원은 운동 방향으로 다음의 양만큼 느린 회전을 겪는다.
이 식에서 \(a\)는 긴반지름을, \(c\)는 통상적인 방식으로 측정한 빛의 속도를, \(e\)는 이심률을, \(T\)는 초 단위로 잰 공전 주기를 나타낸다.\(^{[16]}\)
이 계산은 수성의 경우, 100년당 \(43''\)의 궤도 회전을 준다. 이는 천문학자들(르베리에)이 발견한 값과 충분히 일치하며, 그들은 이 행성에 대해 다른 모든 섭동 요인으로는 설명할 수 없는 잔여 근일점 운동을 발견한 바 있다.
\[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix}\]
이러한 유형의 텐서 네 개를 더하면, 임의로 주어진 성분을 갖는 텐서 \(A_{\mu\nu}\)를 얻는다. 7. 수학자들은 이 조건이 충분조건이기도 함을 보였다. 8. §12에 따르면, 2계(및 1계) 미분 사이에서만 \(B^\varrho_{\mu\sigma\tau}=0\)이라는 관계가 성립한다. 9. 원칙적으로 이는, \(\lambda\)가 상수일 때 텐서 \(B_{\mu\nu}+\lambda g_{\mu\nu}(g^{\alpha\beta}B_{\alpha\beta})\)에 대해서만 말할 수 있다. 그러나 이를 0으로 두면, 우리는 다시 방정식 \(B_{\mu\nu}=0\)으로 돌아가게 된다. 10. 인자 \(-2\varkappa\)를 도입한 이유는 나중에 분명해질 것이다. 11. \(g_{\sigma\tau}T^\alpha_\sigma = T_{\sigma\tau}\)이고 \(g^{\sigma\beta}T^\alpha_\sigma = T^{\alpha\beta}\)는 대칭텐서여야 한다. 12. 이에 관해서는 D. 힐베르트(D. Hilbert), Nachr. d. K. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Klasse, p. 3, 1915년을 참조하라. 13. 특수상대성이론의 의미에서 무한소 영역에 대해 공동운동 기준계를 사용하는 공동운동 관측자에게는, 에너지밀도 \(T^4_4\)가 \(\varrho-p\)와 같다. 이 관계 안에 \(\varrho\)의 정의가 담겨 있다. 그러므로 비압축성 유체에 대해서는 \(\varrho\)가 상수가 아니다. 14. \(g=-1\)에 따른 좌표 선택을 포기할 경우, 좌표 선택에 자유로이 사용할 수 있는 네 개의 임의함수에 대응하여, 네 개의 공간함수를 자유로이 고를 수 있는 여지가 남는다. 15. 이러한 효과가 실제로 존재함을 뒷받침하는 근거로는, E. 프로인틀리히(E. Freundlich)가 수행한 항성 스펙트럼 관측을 들 수 있다. 다만 이 결론에 대한 확정적인 검증은 아직 이루어지지 않았다. 16. 계산에 관해서는 원논문을 참조하기 바란다. A. 아인슈타인(A. Einstein), Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. 47권, p. 831, 1915년. — K. 슈바르츠실트(K. Schwarzschild), Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. 7권, p. 189, 1916년.
*역자 후기: 이 번역은 알베르트 아인슈타인의 1916년 논문 “Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”(일반상대성이론의 기초)의 1920년 영역본(Wikisource, “The Foundation of the Generalised Theory of Relativity”)을 저본으로 삼아 한국어로 옮긴 것이다. 원 독일어 논문(1916년 발표)과 그 영역본(번역자 사망 1974년) 모두 미국 저작권법상 퍼블릭 도메인임이 원문 자료 말미에 명시되어 있으며, 이에 따라 본 번역물 역시 원저작물과는 별개의 저작물로서 자유로이 이용될 수 있다.
번역 과정에서는 원문이 사용한 옛 브레이스(중괄호) 표기의 크리스토펠 기호를, 오늘날 한국 대학 물리학 교육에서 표준적으로 쓰이는 \(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\) 표기로 통일하였다(크리스토펠 기호 제1종의 대괄호 표기 \([\mu\nu,\sigma]\)는 현재도 표준 표기이므로 그대로 유지하였다). 또한 아인슈타인이 사용한 “확장(Erweiterung)”이라는 용어는 오늘날의 공변미분(共變微分) 개념에 해당하며, 해당 절에서 이를 병기하였다. “충격량-에너지(impulse-energy)”는 현대 용어인 운동량-에너지로 옮겼다. 그 밖에도 질점, 강체, 전하/전하밀도 등, 현대 대학 물리학에서 표준적으로 쓰이는 용어를 일관되게 사용하였다.
수식 번호 (1)–(75) 및 각주 [1]–[16]은 원문의 것을 그대로 보존하였다. 아인슈타인 특유의 부호 규약(계량 부호수 \((-,-,-,+)\) 등)은 현대의 표준 규약과 다를 수 있으나, 역사적 원전으로서의 가치를 살리기 위해 원문 그대로 옮겼음을 밝힌다.*