지은이: A. 아인슈타인
역주: 이 논문은 아인슈타인이 1915년 11월 11일 프로이센 과학아카데미 물리·수학분과 회의에서 발표한 “Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)”(일반상대성이론에 관하여 — 추록, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1915, 799–801쪽)로, 11월 4일 논문(이 프로젝트에서 이미 번역한 「일반상대성이론에 관하여」)에 대한 짧은 추록이다. 여기서 아인슈타인은 “물질”의 에너지텐서의 자취(스칼라)가 언제나 사라진다는 대담한 가설을 도입하고, 이 가설과 좌표 조건 \(\sqrt{-g}=1\)을 결합하면 장방정식이 \(R_{\mu\nu} = -\varkappa T_{\mu\nu}\)라는 간결한 형태로 정리됨을 보인다. 이는 최종적인 장방정식(11월 25일 논문의 \(G_{\mu\nu} = -\varkappa(T_{\mu\nu}-\tfrac12g_{\mu\nu}T)\))으로 가는 중간 단계이며, 11월 한 달 동안 아인슈타인의 사고가 어떻게 바뀌어 갔는지를 보여 주는 중요한 사료이다. 저본은 원 학술지 회보의 공개 스캔본(1915년 발표, 미국·독일 모두에서 퍼블릭 도메인)이며, 독일어 원문에서 직접 한국어로 옮겼다. 용어와 수식 번호((13)–(21b), 이는 앞선 11월 4일 논문의 번호 체계를 이어받은 것이다)는 앞선 번역들과 일관되게 유지하였다.
최근에 발표한 연구\(^{1)}\)에서 나는, 리만의 다차원 다양체의 공변량 이론에 기대어, 중력장 이론을 어떻게 세울 수 있는지를 보인 바 있다. 여기서는 이제, 물질의 구조에 관한 다소 대담한 추가 가설을 도입함으로써, 그 이론을 한층 더 논리적으로 완결된 구조로 만들 수 있음을 밝히고자 한다.
| 각주 1) 이 회보, 778쪽. |
이제 살펴보고자 하는 가설의 정당성은 다음의 사정에서 얻고자 한다. “물질”의 에너지텐서 \(T_\nu^\sigma\)는 자취 \(\displaystyle\sum_\sigma T_\sigma^\sigma\)를 갖는다. 이 자취가 전자기장에 대해서는 사라진다는 것은 잘 알려져 있다. 반면 고유한 뜻의 물질에 대해서는, 이 자취가 0이 아닌 것으로 보인다. 실제로, 가장 간단한 특수 경우로서 “비간섭적(非干涉的, inkohärent)” 연속유체(압력을 무시함)를 고찰하면, 이에 대해서는 보통
\[T^{\mu\nu} = \sqrt{-g}\,\varrho_0\,\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds}\]
라 두므로
\[\sum_\sigma T_\sigma^\sigma = \sum_{\mu\nu} g_{\mu\nu}T^{\mu\nu} = \varrho_0\sqrt{-g}\]
를 얻는다. 여기서는 즉, 에너지텐서의 자취가 이러한 접근법에서는 사라지지 않는다.
그런데 우리가 지닌 지식으로는, “물질”을 원초적으로 주어진 것, 물리적으로 단순한 것으로 여기는 것이 정당화되지 않는다는 점을 상기해야 한다. 심지어, 물질을 순전히 전기역학적 과정으로 환원할 수 있으리라는, 물론 오늘날 맥스웰의 전기역학보다 한층 더 완결된 이론에 의거하여 그렇게 되기를 바라는 견해도 결코 적지 않다. 그런데 이제 이렇게 완결된 전기역학에서 에너지텐서의 자취가 마찬가지로 사라진다고 가정해 보자! 그렇다면, 방금 보인 결과 — 곧 물질이 이러한 이론의 도움으로는 구성될 수 없으리라는 것 — 이 성립하는 셈이 될까? 나는 이 물음에 부정적으로 답할 수 있다고 믿는다. 왜냐하면 “물질”이, 방금 제시한 표현이 관련짓는 중력장에 본질적인 구성 요소를 이루고 있을 가능성이 매우 충분하기 때문이다. 그렇다면 계 전체에 대해서는 \(\displaystyle\sum_\sigma T_\sigma^\sigma\)가 겉보기로 0이 아닐 수 있으며, 실제로는 \(\displaystyle\sum_\sigma(T_\sigma^\sigma + t_\sigma^\sigma)\)만이 어디서나 사라지는 것이 된다. 우리는 이하에서, 조건 \(\displaystyle\sum_\sigma T_\sigma^\sigma = 0\)이 실제로 일반적으로 충족된다고 미리 전제하기로 한다.
분자적(分子的) 중력장이 물질의 본질적인 구성 요소를 이룬다는 이 가설이 지지받을 만한지는, 이하의 논의가 그러한 견해에 대한 무게 있는 뒷받침을 제공해 줄 것이다.\(^{1)}\)
| 각주 1) 앞선 보고를 쓸 당시에는, 가설 \(\sum_\sigma T_\sigma^\sigma = 0\)의 원리적 타당성이 나에게 아직 의식되어 있지 않았다. |
이 가설이 이제 우리로 하여금, 일반상대성이론의 근본 사상이 바람직하게 여겨지도록 만드는 마지막 발걸음을 내딛도록 해 준다. 곧 이는, 중력의 장방정식마저 일반공변형으로 마련하는 것을 가능하게 해 준다. 앞선 보고에서 나는 (13식으로) 다음을 보인 바 있다.
\[G_{im} = \sum_{il} \{il,\,lm\} = R_{im} + S_{im} \tag{13}\]
이는 임의의 치환에 대해 공변인 텐서이다. 여기서
\[R_{im} = -\sum_l \frac{\partial\left\{^{im}_{\ \ l}\right\}}{\partial x_l} + \sum_{l\rho}\left\{^{il}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{\rho m}_{\ \ l}\right\} \tag{13a}\]
\[S_{im} = \sum_l \frac{\partial\left\{^{il}_{\ \ l}\right\}}{\partial x_m} - \sum_{l\rho}\left\{^{im}_{\ \ \rho}\right\}\left\{^{\rho l}_{\ \ l}\right\} \tag{13b}\]
로 두었다. 이 텐서 \(G_{im}\)은, 중력의 일반공변 장방정식을 세우는 데 쓸 수 있는 유일한 텐서이다.
이제 우리는, 중력의 장방정식이 다음과 같아야 한다는 것을 확정한다.
\[G_{\mu\nu} = -\varkappa T_{\mu\nu} \tag{16b}\]
이로써 우리는, 일반공변인 장방정식을 얻은 셈이다. 이 방정식들은, 절대미분법이 마련해 준 물질적 사건에 대한 일반공변법칙들과 결합하여, 좌표계를 어떻게 특수하게 선택하든 — 이는 논리적으로 이 법칙들과 아무 관계가 없으며, 그 정식화에서도 아무 소용이 없다 — 자연의 인과관계를 표현한다.
우리는 이제, 이 가설이 앞서 우리에게 허락한 마지막 발걸음을 내딛음으로써, 즉 중력의 장방정식을 일반공변형으로 마련함으로써, 지난번 보고에서 세운 방정식 체계로 어렵지 않게 되돌아갈 수 있음을, 다만 그 법칙 자체는 실제로 조금도 바꾸지 않으면서 확인한다. 왜냐하면, 우리가 얼마든지 새로운 좌표계를 도입하여 그 계에 관해서는 어디서나
\[\sqrt{-g} = 1\]
이 되도록 할 수 있음이 분명하기 때문이다. 그러면 \(S_{im}\)이 사라지고, 이로써 지난번 보고에서 세운 장방정식 체계
\[R_{\mu\nu} = -\varkappa T_{\mu\nu} \tag{16}\]
로 되돌아간다. 절대미분법이 마련해 준 공식들도 이때, 지난번 보고에서 명시한 방식 그대로 특수화된다. 이때에도 우리는 여전히 행렬식 1을 갖는 변환으로만 좌표계를 국한한다.
우리가 이제 일반공변으로 얻은 장방정식의 내용과, 지난번 보고에서 세운 장방정식의 내용 사이의 차이는 오직, 지난번 보고에서는 \(\sqrt{-g}\)의 값을 미리 정해 둘 수 없었다는 데 있다. 그 값은 오히려 다음 방정식으로 정해졌다.
\[\sum_{\alpha\beta} \frac{\partial}{\partial x_\alpha}\left(g^{\alpha\beta}\frac{\partial\lg\sqrt{-g}}{\partial x_\beta}\right) = -\varkappa\sum_\sigma T_\sigma^\sigma \tag{21a}\]
이 방정식으로부터, 에너지텐서의 스칼라가 사라지는 경우에만 그곳에서는 \(\sqrt{-g}\)가 상수일 수 있음을 알 수 있다.
우리가 지금 이끌어낸 유도에서는, 우리가 자의로 택한 좌표계 조건 \(\sqrt{-g}=1\)을 통해, 우리 출발점을 이루는 일반공변 장방정식으로부터 이제는 “물질”의 에너지텐서의 스칼라가 사라진다는 결론이 나온다. 그러므로 이 일반공변 장방정식 (16b)는, 앞머리에서 제시한 가설이 실제로 성립한다면, 아무런 모순 없이 성립한다. 그러나 이때 우리는 동시에, 앞서 세운 장방정식에 제약조건
\[\sqrt{-g} = 1 \tag{21b}\]
을 덧붙여도 되는 자격을 갖는다.
(1915년 11월 18일 발행.)