| title: “일반상대성이론에서의 입자 문제 (선별 번역)” |
원제: The Particle Problem in the General Theory of Relativity 저자: 알베르트 아인슈타인, 네이선 로젠 (A. Einstein and N. Rosen) 출처: Physical Review 48 (1935년 7월 1일), 73~77쪽. (1935년 5월 8일 접수, 프린스턴 고등연구소) 원문 파일 번호: 1-11 번역 범위: 선별 번역 — 특이점 회피의 동기, “두 시트(장)” 구조, “다리(bridge)”의 정의, 결론. 수식 전개는 요약.
이 논문은 흔히 “아인슈타인-로젠 다리(Einstein-Rosen bridge)”로 알려진 개념을 처음 도입한 논문으로, 오늘날 “웜홀(wormhole)”이라 불리는 기하학적 구조의 최초의 수학적 정식화다. 아인슈타인과 로젠은 여기서 웜홀 자체를 시공간 여행의 통로로 제안한 것이 아니라, 훨씬 근본적인 동기에서 출발한다 — 즉 슈바르츠실트 해(그리고 라이스너의 대전된 확장판)에 나타나는 특이점을 물리적으로 받아들일 수 없다고 보고, 장방정식을 살짝 수정하여 특이점 없이 입자(중성 입자·전하를 띤 입자)를 순전히 기하학적 구조(“다리”)로서 나타낼 수 있는지를 탐구한 것이다. 이 논문은 당시 아인슈타인이 몰두하던 “통일장이론” 계열의 연구 가운데 하나로, 장(場) 이외의 어떤 독립적인 변수(입자, 운동, 물질밀도)도 도입하지 않고 순전히 \(g_{\mu\nu}\)(중력장)와 \(\varphi_\mu\)(맥스웰 전자기장)만으로 물질의 원자적 성격을 설명하려는 시도다.
출처 확인에 관하여. 폴더에 있던 영어 원문 PDF(1-11_1935_아인슈타인-로젠_입자문제_영어원문.pdf)는 Physical Review 48권 73~77쪽을 스캔한 것으로, 문자 인식 품질이 양호하여(다만 그리스 문자·아래 첨자 일부가 깨져 있음) 이를 직접 저본으로 삼아 번역했다. 별도의 독일어 원문은 없다 — 이 논문은 처음부터 영어로 작성되어 Physical Review에 발표되었다. 게재 후 90년 가까이 지났고 저자 두 사람(아인슈타인 1955년 사망, 로젠 1995년 사망) 모두 사망 후 70년 이상 지났으므로 퍼블릭도메인이다.
지시된 번역 범위에 따라, 이 선별 번역은 논문의 초록, 서론(특이점을 배제해야 하는 동기), §1(특이점의 종류와 그것을 없애는 방법의 개념 — 수식 전개는 요약), §2(슈바르츠실트 해와 “두 시트”·“다리” 개념 — 이 논문의 핵심이므로 상세히 번역), §3(전기장과의 결합 — 개념과 핵심 결과만 요약), §4(요약과 총평 — 전문 번역)를 다룬다. 세부 수식 전개(특히 §1, §3의 텐서 계산 과정)는 원문의 수식 번호와 형태를 그대로 유지하되, 유도 과정의 서술은 필요한 만큼만 간추렸다.
용어는 이 프로젝트의 기존 번역들과 통일했다: 특이점(singularity), 계량(metric), 장방정식(field equations), 텐서밀도(tensor density), 슈바르츠실트 해, 발산(divergence) 등. “bridge”는 이 논문의 핵심 개념이므로 “다리”로 직역하고 원어를 병기한다.
저자들은, 장의 특이점을 배제하면서도 일반상대성이론의 \(g_{\mu\nu}\)와 맥스웰 이론의 \(\varphi_\mu\) 외에는 어떤 다른 변수도 쓰지 않는, 물질과 전기의 원자론적 이론이 가능한지를 탐구한다. 간단한 예를 살펴봄으로써 저자들은 중력방정식을 약간 수정하게 되었으며, 이 수정된 방정식은 정적 구대칭인 경우에 대해 정칙(正則, regular)인 해를 허용한다. 이 해들은, 물리적 공간을 서로 동일한 두 개의 “시트(sheet)”로 이루어진 공간으로 수학적으로 나타내는 것을 수반하며, 입자는 이 두 시트를 잇는 “다리(bridge)”로 표현된다. 이로써 왜 음의 질량을 가진 중성 입자가 존재하지 않는지를 이해할 수 있게 된다. 중력장과 전자기장을 결합한 체계도 비슷하게 다루어지며 비슷한 해석으로 이어진다. 가장 자연스러운 기본 대전입자는 질량이 0인 것으로 밝혀진다. 다입자 계는, 여러 개의 다리로 이어진 두 개의 동일한 시트로 이루어진 공간에 대응하는 장방정식의 정칙해로 나타내어질 것으로 예상된다. 이 경우 특이점이 없기 때문에, 장방정식이 장 자체와 입자의 운동을 함께 결정하게 된다. 이 이론의 가치를 판가름할 다입자 문제는 아직 다루어지지 않았다.
여러 분야에서 큰 성공을 거두었음에도 불구하고, 오늘날의 이론물리학은 모든 현상에 대한 이론적 취급의 토대가 될 수 있는 통일된 기초를 제공하는 데는 여전히 크게 못 미친다. 우리는 거시적 현상에 대한 일반상대론적 이론을 가지고 있지만, 이는 지금까지 물질의 원자 구조와 양자 효과를 설명하지 못해 왔다. 그리고 우리는 다수의 원자·양자 현상을 만족스럽게 설명할 수 있는 양자이론을 가지고 있지만, 이는 그 본성상 상대성원리와 맞지 않는다. 이런 상황에서, 일반상대성이론의 방법이 원자 현상을 설명할 가능성을 어느 정도까지 제공하는지를 묻는 것이 불필요한 일로는 보이지 않는다. 이 이론이 양자 현상을 설명할 수 있는지 아직 판단할 수 없음에도 불구하고, 우리가 이 논문에서 주의를 환기하고자 하는 것이 바로 이러한 가능성이다. 그럼에도 우리는 이 이론적 방법을 발표하는 것이 정당하다고 생각하는데, 왜냐하면 이는 최소한의 가정으로 특징지어지는 명확한 절차를 제공하며, 그 절차를 수행하는 데는 수학적 성격의 어려움 외에 다른 어려움이 없기 때문이다.
우리가 다루고자 하는 물음은 다음과 같이 표현할 수 있다: 장의 특이점을 배제하면서도, 중력장의 변수(\(g_{\mu\nu}\))와 맥스웰의 의미에서의 전자기장의 변수(벡터퍼텐셜 \(\varphi_\mu\)) 외에는 어떤 다른 장 변수도 쓰지 않는, 물질과 전기의 원자론적 이론을 생각할 수 있는가?
이 물음에 대해서는 부정적으로 답하고 싶어지기 쉽다. 구대칭 정적 중력장에 대한 슈바르츠실트 해와, 정전기장이 함께 있는 경우로 이를 확장한 라이스너의 해가 각각 특이점을 갖기 때문이다. 게다가 맥스웰 방정식의 마지막 식 — (반변) 전기장 밀도의 발산이 사라진다는 것을 표현하는 식 — 은 일반적으로 전하밀도의 존재를, 따라서 전기적 입자의 존재도 배제하는 것처럼 보인다.
이런 이유로 몇몇 저술가들은 물질 입자를 장의 특이점으로 간주할 수 있다는 가능성을 이따금 언급해 왔다. 그러나 우리는 이 견해를 전혀 받아들일 수 없다. 특이점은 이론에 너무나 많은 자의성을 끌어들여서, 사실상 그 법칙들을 무효로 만들어버리기 때문이다. 이에 대한 멋진 확증이 저자 가운데 한 사람에게 L. 실버스타인(Silberstein)이 보낸 편지에서 전달된 바 있다. 잘 알려져 있듯이, 레비-치비타(Levi-Civita)와 바일(Weyl)은 중력방정식의 축대칭 정적 해를 구하는 일반적 방법을 제시한 바 있다. 이 방법을 쓰면, 대칭축 위에 놓인 두 점 특이점을 제외하면 어디서나 정칙이고 무한대에서 유클리드적인 해를 쉽게 얻을 수 있다. 그런데 만약 특이점이 입자를 나타낸다고 인정한다면, 여기서 우리는 서로의 중력적 상호작용에 의해 가속되지 않는 두 입자의 사례를 갖게 되는 셈이며, 이는 물리적으로 분명 배제되어야 할 일이다. 그러므로 우리의 견해로는, 모든 장이론은 마땅히 “장의 특이점은 배제되어야 한다”는 근본 원리를 지켜야 한다.
이하에서 우리는 이를 자연스러운 방식으로 이룰 수 있다는 것, 즉 우리가 제기한 물음에 긍정적으로 답할 수 있다는 것을 보이고자 한다.
원문 §1에서는, 중력 없는 공간에서 균일하게 가속되는 기준계를 정지계로 다루면서 그 공간의 상태를 균일한 중력장으로 해석한다는 “등가원리”에서 일반상대성이론의 첫걸음을 찾을 수 있다는 것을 상기시키며 논의를 시작한다. 이 균일 중력장을 나타내는 계량
\[ds^2 = -dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2 + \alpha^2 x_1^2\, dx_4^2 \tag{1}\]
는 리만곡률텐서가 항등적으로 0이 되는(\(R^i_{\ klm}=0\), 식 2) 편평한 시공간의 계량이며, 따라서 리치텐서도 0이다(\(R_{kl}=R^m_{\ klm}=0\), 식 3). 이 계량에 대응하는 \(g_{\mu\nu}\)들은 시공의 모든 유한한 점에서 정칙이다. 그러나 식 (3)이 모든 유한한 \(x_1,\ldots,x_4\) 값에 대해 (1)에 의해 만족된다고 단언할 수는 없다 — 왜냐하면 \(g_{\mu\nu}\)의 행렬식 \(g\)가 \(x_1=0\)에서 사라지기 때문이다. 그 결과 반변 \(g^{\mu\nu}\)는 무한대가 되고, 텐서 \(R^i_{\ klm}\)과 \(R_{kl}\)은 \(0/0\) 꼴을 취한다. 식 (3)의 관점에서 보면, 초평면 \(x_1=0\)은 이 장의 특이점을 나타내는 셈이다.
여기서 저자들은 다음과 같이 묻는다: 중력의 장법칙을 (그리고 나중에는 중력과 전기의 장법칙을) 본질적인 변경 없이 자연스러운 방식으로 수정하여, 해 (1)이 \(x_1=0\)을 포함한 모든 유한한 점에서 장방정식을 만족하도록 만들 수는 없을까? W. 마이어(Mayer)는, \(R^i_{\ klm}\)과 \(R_{kl}\)에 \(g\)의 적당한 거듭제곱을 곱하면 이들을 \(g_{\mu\nu}\)와 그 1·2계 도함수의 유리함수로 만들 수 있다는 점을 지적했다. \(g^2 R_{kl}\)에는 더 이상 분모가 남지 않는다는 것을 보이기는 쉽다. 그리하여 (3)을
\[R^*_{kl} = g^2 R_{kl} = 0 \tag{3a}\]
로 대체하면, 이 방정식 체계는 모든 유한한 점에서 (1)에 의해 만족된다. 이는 \(g^{\mu\nu}\) 대신, 분모의 발생을 피하기 위해 \(g_{\mu\nu}\)의 \(g\)에 대한 여인수(cofactor) \([g_{\mu\nu}]\)를 쓰는 것과 같다 — 즉 텐서 대신 적절한 무게(weight)를 가진 텐서밀도를 다루는 것이다. 이런 식으로, \(g\)가 0이 되는 것을 특징으로 하는 이 특수한 종류의 특이점을 피할 수 있게 된다.
원래 이론의 틀 안에서는 중력방정식이
\[R_{ik} - \tfrac{1}{2}g_{ik}R = -T_{ik} \tag{4}\]
의 형태를 띠며, 여기서 \(T_{ik}\)는 질량 또는 에너지밀도의 텐서다. 해 (1)을 이 틀 안에서 해석하려면, \(g=0\)이라는 특이점을 피하는 약간 다른 선분요소로 근사해야 한다. 이를 위해 작은 상수 \(\sigma\)를 도입하여
\[ds^2 = -dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2 + (\alpha^2 x_1^2 + \sigma)\,dx_4^2 \tag{1a}\]
로 놓으면, \(\sigma\)를 작게 잡을수록 이 중력장은 (1)의 그것에 가까워지고, 이로부터 계산되는 (가상의) 에너지텐서 \(T_{ik}\)는 초평면 \(x_1=0\) 부근에 점점 더 집중된다. 즉 원래 이론의 관점에서 해 (1)은 \(x_1=0\)이라는 면에 집중된 에너지 또는 질량에 대응하는 특이점을 담고 있는 반면, 수정된 이론의 관점에서 (1)은 어떠한 새로운 장의 양(量)도 도입하지 않고서 “장을 만들어내는 질량”을 기술하는, (3a)의 특이점 없는 해가 된다.
이 §1의 나머지 부분은, 절대미분학의 모든 방정식이 분모 없는 형태로(텐서 대신 적절한 무게의 텐서밀도로) 다시 쓰일 수 있다는 것과, 해 (1)에서는 대칭면 \(x_1=0\)을 경계로 장 전체가 서로 대응점에서 \(g_{ik}\)가 같은 두 개의 동등한 절반으로 이루어져 있다는 것 — 즉 행렬식 \(g\)가 (그 부호는 바뀌지 않은 채) \(x_1=0\)에서 0이 되는 것은 허용하지만 이차형식 (1)의 “관성지수”에는 일반적으로 변화가 없다는 것 — 을 논증한다. 저자들은 이 특징이 물리적 해석의 관점에서 근본적으로 중요하며, 뒤에 다룰 해들에서도 다시 나타날 것이라고 강조한다.
잘 알려진 대로, 슈바르츠실트는 중력방정식의 구대칭 정적 해를
\[ds^2 = -\frac{1}{1-2m/r}\,dr^2 - r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2) + (1-2m/r)\,dt^2 \tag{5}\]
로 구했다(\(r>2m\), \(\theta\)는 \(0\)에서 \(\pi\)까지, \(\varphi\)는 \(0\)에서 \(2\pi\)까지). \(\theta=0\)에서 \(g_{\mu\nu}\)의 행렬식이 사라지는 것은 대응하는 (공간적) 방향이 특별히 우대되지 않기 때문에 중요하지 않다. 반면 \(r=2m\)에서는 \(g_{11}\)이 무한대가 되며, 따라서 거기에 특이점이 있다.
\(r\) 대신 \(u^2 = r-2m\)이라는 새 변수를 도입하면, \(ds^2\)은
\[ds^2 = -4(u^2+2m)\,du^2 - (u^2+2m)^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2) + \frac{u^2}{u^2+2m}\,dt^2 \tag{5a}\]
로 표현된다. 이 새로운 \(g_{\mu\nu}\)들은 변수의 모든 값에 대해 정칙함수다. 다만 \(u=0\)에서는 \(g_{44}\)가, 따라서 행렬식 \(g\)도 사라진다. 그러나 이것이 분모를 갖지 않는 장방정식 (3a)가 독립변수의 모든 값에 대해 만족되는 것을 막지는 않는다. 따라서 우리는 모든 유한한 점에서 특이점이 없는 (새로운) 장방정식의 해를 다루고 있는 셈이다. 초평면 \(u=0\)(원래 변수로는 \(r=2m\))은, 앞의 예에서 초평면 \(x_1=0\)이 했던 것과 같은 역할을 한다.
\(u\)가 \(-\infty\)에서 \(+\infty\)까지 변할 때, \(r\)은 \(+\infty\)에서 \(2m\)까지, 그리고 다시 \(2m\)에서 \(+\infty\)까지 변한다. 정칙해 (5a)를 \(r,\theta,\varphi,t\)의 공간에서 해석하려 하면 다음과 같은 결론에 이른다. 4차원 공간은, \(u>0\)과 \(u<0\)에 대응하는 두 개의 합동인 부분, 즉 “시트(sheet)”로 수학적으로 기술되며, 이 두 시트는 \(g\)가 사라지는 초평면 \(r=2m\)(즉 \(u=0\))으로 이어져 있다. 우리는 두 시트 사이의 이러한 연결을 “다리(bridge)”라 부른다.
우리는 이제 이 특이점 없는 주어진 해에서, 기본 입자(중성자 또는 중성미자)의 수학적 표현을 본다. 우리가 제시하는 이론의 특징은 공간을 두 개의 시트로 기술한다는 데 있다. 이 두 시트를 잇는, 공간적으로 유한한 다리는 전기적으로 중성인 기본 입자의 존재를 특징짓는다. 이러한 발상을 통해 우리는 새로운 장의 양을 도입하지 않고, 즉 물질의 밀도를 나타내기 위한 새로운 장의 양을 도입하지 않고, 오직 장방정식만을 이용하여 기본 입자를 표현할 수 있을 뿐만 아니라, 물질이 원자적 성격을 갖는다는 것과 음의 질량을 가진 입자는 존재할 수 없다는 사실 또한 이해할 수 있게 된다. 후자는 다음과 같은 고찰로 분명해진다. 만약 우리가 음의 \(m\)을 가진 슈바르츠실트 해에서 출발했다면, \(r\) 대신 새로운 변수 \(u\)를 도입하는 방식으로는 그 해를 정칙으로 만들 수 없었을 것이다 — 즉 음의 질량을 가진 입자에 대응하는 “다리”는 존재할 수 없다.
이제 슈바르츠실트 해에서 얻은 이 통찰의 관점에서 다시 해 (1)을 살펴보면, 거기서도 \(x_1>0\)과 \(x_1<0\)에 대한 두 합동인 절반이, 같은 물리적 공간에 대응하는 두 개의 시트로 해석될 수 있음을 알 수 있다. 이런 의미에서 이 예는 \(x_2\)와 \(x_3\)에 무관한 하나의 중력장을 나타내며, 이 장은 질량으로 뒤덮인 하나의 평면에서 끝나 공간의 경계를 이룬다. 이 예에서도, 그리고 슈바르츠실트의 경우에서도, 모든 유한한 점에서 특이점이 없는 해는 수정된 중력방정식 (3a)를 도입함으로써 가능해진다.
지금까지 살펴본 고찰이 지니는 가장 중요한 가치는, 이것이 중력역학을 만족스럽게 다루는 길을 제시한다는 데 있다. 원래의 상대론적 중력이론이 지닌 결함 가운데 하나는, 그것이 장이론으로서 완결되어 있지 않았다는 점이다 — 즉 입자의 운동법칙이 측지선 방정식으로 주어진다는 독립적인 공준을 별도로 도입해야 했다. 완결된 장이론은 오직 장만을 알 뿐, 입자와 운동이라는 개념을 따로 알지 못한다. 이런 개념들은 장과 독립적으로 존재해서는 안 되며 장의 일부로 다루어져야 하기 때문이다. 특이점 없는 입자 기술을 토대로 삼으면, 장의 문제와 운동의 문제가 하나로 합쳐지는, 논리적으로 더 만족스러운 방식으로 이 결합된 문제를 다룰 수 있는 가능성이 열린다.
여러 개의 입자가 존재하는 경우는, 두 개의 합동인 시트가 여러 개의 개별적인 “다리”로 연결된 공간을 나타내는, 수정된 방정식 (3a)의 특이점 없는 해를 찾는 문제에 대응한다. 이러한 해는 그 자체로 동시에 장의 문제와 운동의 문제에 대한 해가 된다.
원문 §3은 전기를 일반상대성이론의 개념 틀에 맞추는 문제를 다룬다. 순전한 중력장 외에 다른 장 변수도 있는 경우, 중력방정식은
\[R_{ik} - \tfrac{1}{2}g_{ik}R = -T_{ik} \tag{4}\]
의 형태를 띠며, \(T_{ik}\)는 “물질적” 에너지텐서, 즉 \(g_{\mu\nu}\)만으로는 결정되지 않는 에너지의 수학적 표현 부분이다. 저자들은 맥스웰 전자기장(반대칭 장텐서 \(\varphi_{\mu\nu}\), 식 6)에서 얻어지는 통상적인 에너지텐서(식 7)를 그대로 (4)에 대입하는 대신, 그 부호를 뒤집어 넣어야만 특이점 없는 정적 구대칭 대전(帶電) 해를 얻을 수 있다는 것을 발견한다. 이렇게 부호를 바꾸어 얻는 해(식 8)에서, \(m\)은 중력질량, \(\varepsilon\)은 전하를 뜻한다. 흥미롭게도 질량 \(m\)은 전하 \(\varepsilon\)에 의해 결정되지 않으며, \(\varepsilon\)과 \(m\)은 서로 독립적인 적분상수임이 드러난다. 또한 특이점을 없애는 데 물질질량 \(m\)을 양수로 잡을 필요가 없다는 것도 밝혀진다 — 실제로 질량상수 \(m\)이 0인, 특이점 없는 해가 존재한다. 저자들은 이 질량 없는 해가 물리적으로 중요하다고 보아, 이 경우(\(m=0\))를 집중적으로 다룬다.
이 경우 새 변수 \(u^2 = r^2 - \varepsilon^2/2\)를 도입하면 특이점 없는 해(식 8a)를 얻으며, 이 역시 두 시트로 이루어진 공간에서 모든 유한한 점에 대해 특이점이 없고, 전하는 다시 두 시트 사이의 다리로 표현된다. 이는 질량이 없는 기본 전기 입자의 표현이다.
일반상대성이론의 방정식을, 정전기장이 있거나 없는 정적 구대칭의 경우에 대해 풀면, 그 해에 특이점이 나타난다는 것을 알게 된다. 방정식을 본질적이지 않은 방식으로 수정하여 분모가 없도록 만들면, 물리적 공간을 두 개의 합동인 시트로 이루어진 것으로 다룬다는 조건 아래 정칙해를 얻을 수 있다. 중성 입자든 전기를 띤 입자든, 입자는 두 시트를 잇는 공간의 한 부분(다리)이다. 두 시트가 맞닿는 초평면에서는 \(g_{\mu\nu}\)의 행렬식이 사라진다.
여러 개의 기본 입자가 관여하는 과정은, 물리적 공간에 대응하는 두 개의 동등한 시트 사이에 여러 개의 다리가 있는, 장방정식의 정칙해에 대응할 것으로 예상할 수 있다. 이런 해들을 탐구해야만 비로소 이 이론이 실제 사실을 얼마만큼 설명하는지 판가름할 수 있을 것이다. 현재로서는 다리가 두 개 이상인 정칙해가 도대체 존재하는지조차 알 수 없다.
이 이론에서 가장 자연스러운 전기 입자는 중력질량을 갖지 않는 입자인 것으로 보인다. 따라서 이 이론에 따르면 전자나 양성자를 “두 다리 문제”로 간주하게 된다.
이 이론에 유리한 점으로는, 물질의 원자적 성격과 음의 중성질량이 존재하지 않는다는 사실을 설명한다는 것, \(g_{\mu\nu}\)와 \(\varphi_\mu\) 외에 어떠한 새로운 변수도 도입하지 않는다는 것, 그리고 원리적으로 완결된(또는 닫힌) 이론임을 주장할 수 있다는 것을 들 수 있다. 반면 이 이론이 양자 현상을 담고 있는지는 선험적으로 알 수 없다. 그럼에도 이 이론이 양자 현상을 담고 있을 가능성을 선험적으로 배제해서는 안 될 것이다. 이를테면, 전기적 다리들의 “전하”가 서로 수치상 같고 질량 다리에 대해서는 오직 두 종류의 서로 다른 “질량”만이 나타나며, 정상적인 “운동”이 양자이론에서 만나는 것과 같은 제약을 받는, 그러한 정칙 다중다리해만이 존재할 수 있다는 것이 밝혀질지도 모른다.
어쨌든 여기에는, 논리적으로 완전히 만족스러우며 어떠한 새로운 가설적 요소도 담고 있지 않은, 물질에 대한 일반상대론적 이론의 한 가능성이 있다.