| title: “다수의 중력질량으로 이루어진 구대칭 정지계에 관하여 (1939, 선별 번역)” |
원제: On a Stationary System with Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses 저자: 알베르트 아인슈타인 출처: Annals of Mathematics 40권 4호 (1939년 10월), 922–936쪽. (1939년 5월 10일 접수) 원문 파일 번호: 1-10 번역 범위: 선별 번역 — 문제 설정(전문), \(r=\mu/2\)에 관한 해석, “임의의 반지름 질량분포에 대한 정성적 논의”(5절, 전문), 마지막 두 쪽의 결론(전문). 중간의 에너지텐서·장방정식·연속질량분포 계산(2~4, 6~7절)은 논증의 뼈대만 요약해 다리를 놓았다.
이 논문은 아인슈타인이 슈바르츠실트 해(1916, 이 프로젝트의 2-02에서 요약함)의 특이점 \(r=\mu/2\)—오늘날의 표기로는 \(r=2GM/c^2\), 곧 슈바르츠실트 반지름—를 실제 중력계에서 만날 수 있는지를 직접 다룬 유일한 논문이다. 결론부터 밝혀 둔다. 아인슈타인은 이 논문에서 그 답이 “아니다”라고 결론짓는다. 그는 회전하는 입자들로 이루어진 구대칭 성단(星團)이라는 모형을 통해, 물질이 광속보다 빠르게 움직일 수 없다는 조건 하나만으로도 물질을 그 슈바르츠실트 반지름보다 작은 영역에 결코 모을 수 없다는 것을 보인다.
현대적 역주를 반드시 앞세워 둔다. 오늘날 우리는 \(r=2M\)이 곡률 특이점이 아니라 좌표 특이점—슈바르츠실트 좌표계가 그 지점에서 잘못 행동할 뿐, 적절한 좌표(예컨대 에딩턴-핀켈슈타인 좌표나 크루스칼 좌표)에서는 매끄럽게 이어지는 사건지평선일 뿐이라는 것—임을 안다. 그러나 1939년 당시 아인슈타인은 \(r=\mu/2\)를 물리적으로 실재하는 특이점(場이 病的으로 행동하는 곳)으로 해석했다. 이 논문은 바로 그런 특이점이 “실제 물질로” 만들어질 수 있는가라는 물음에 답하려는 시도다. 또한 이 논문은 회전하는 입자들이 정지 상태로 떠받쳐진, 매우 특수한 모형(구대칭·정적)만을 다루고 있으므로, 그 결론(슈바르츠실트 특이점은 실현되지 않는다)을 일반적인 중력붕괴—시간에 따라 변화하는, 동역학적으로 수축하는 물질—에 대한 부정으로 확대해서는 안 된다. 실제로 바로 그해(1939년) 오펜하이머와 스나이더가 발표한 논문은, 정지 평형이 아니라 자유낙하하는 먼지구름의 중력붕괴를 다루어, 오늘날 우리가 아는 블랙홀 형성의 첫 그림을 제시했다.
이 논문을 조롱하거나 그 역사적 오류를 감추기 위해 옮기는 것이 아니다. 오히려 그 반대다. 일반상대성이론을 만든 사람조차, 자신이 만든 방정식이 결국 허용하게 될 대상(블랙홀)의 물리적 의미를 받아들이지 못했다는 사실은, 하나의 이론이 만든 사람의 직관보다 더 멀리까지 나아갈 수 있다는 것을 보여주는 좋은 사례로 이 프로젝트에 자리한다. 논문 말미에서 아인슈타인 자신이 밝히듯, 이 연구는 로버트슨(H. P. Robertson), 바그만(V. Bargmann), 베르크만(P. Bergmann)과 슈바르츠실트 특이점의 수학적·물리적 의미를 두고 나눈 토론에서 비롯되었다.
기호는 원문을 그대로 보존했다: \(\mu\)(계의 총 중력질량), \(r\)(반지름 좌표), \(\sigma=\mu/2r\), \(\tau\)(반지름 \(r\) 안에 담긴 중력질량), \(A,B\)(계량함수), \(M\)(입자들의 정지질량의 합), \(N\)(입자 수), \(V\)(입자의 접선 속도, 광속 단위).
저작권 상태에 관하여. 이 논문은 1939년 미국에서 출판된 개별 학술 논문으로, 1909년 저작권법 체제에서는 출판 후 28년째(1967년경)에 갱신 등록을 하지 않으면 보호기간이 만료되는 구조였다. 학술지의 개별 논문에 대해 저자나 학술지가 개별적으로 갱신 등록을 하는 일은 이 시기 수학·물리학 논문에서는 매우 드물었고, 이 논문에 대한 갱신 기록은 확인되지 않는다. 다만 이는 정황적 판단이며 절대적 확인은 아니므로, 공개 배포 전 최종 확인이 필요하다는 점을 밝혀 둔다.
구대칭을 지닌 정적 중력장에 대한 슈바르츠실트의 해
\[ds^2 = -\left(1+\frac{\mu}{2r}\right)^4(dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2) + \left(\frac{1-\dfrac{\mu}{2r}}{1+\dfrac{\mu}{2r}}\right)^2 dt^2 \tag{1}\]
를 살펴보면, 다음과 같은 점이 눈에 띈다.
\[g_{44} = \left(\frac{1-\dfrac{\mu}{2r}}{1+\dfrac{\mu}{2r}}\right)^2\]
는 \(r=\mu/2\)에서 0이 된다. 이는 이 지점에 놓인 시계는 그 가는 속도가 0이 된다는 것을 뜻한다. 나아가, 빛의 광선이든 물질 입자이든, \(r>\mu/2\)인 어떤 점에서 출발해 점 \(r=\mu/2\)에 도달하는 데는 (“좌표시간”으로 잰) 무한히 긴 시간이 걸린다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 이런 의미에서 구면 \(r=\mu/2\)는 장이 특이해지는 곳을 이룬다. (\(\mu\)는 중력을 일으키는 질량을 나타낸다.)
여기서 다음과 같은 물음이 생긴다. 실제로 중력을 일으키는 질량들의 도움으로 이런 특이점을 담은 장을 만들어 내는 것이 가능한가, 아니면 물리적 실재성을 지니는 경우에는 \(g_{44}\)가 0이 되는 이런 영역이 아예 존재하지 않는가? 슈바르츠실트 자신은 비압축성 액체가 만들어 내는 중력장을 연구한 바 있다. 그는 이 경우에도, 장을 만드는 구(球)의 반지름을 주어진 액체 밀도에 대해 충분히 크게 고르기만 하면 \(g_{44}\)가 0이 되는 영역이 나타난다는 것을 발견했다.
그러나 이 논증은 설득력이 없다. 비압축성 액체라는 개념은 상대성이론과 양립하지 않는데, 그 안에서는 탄성파가 무한한 속도로 전파되어야 하기 때문이다. 그러므로 음속이 광속을 넘어설 가능성을 배제하는 상태방정식을 지닌 압축성 액체를 도입해야 할 것이다. 그러나 그런 어떤 문제를 다루더라도 상당히 까다로울 것이며, 게다가 그런 상태방정식의 선택은 넓은 범위 안에서 임의적일 수밖에 없고, 그로 인해 물리적으로 불가능한 어떤 가정도 담기지 않았다고 확신할 수 없을 것이다.
그리하여 우리는 이렇게 물음을 던지게 된다. 애초부터 그런 의문스러운 가정을 배제하는 방식으로 물질을 도입할 수는 없는가? 실제로 이는 가능하다. 장을 만드는 질량으로, 그들이 함께 만들어 내는 장의 영향 아래 자유로이 움직이는 수많은 작은 중력 입자들을 택하는 것이다. 이는 구상성단(球狀星團)을 닮은 계다. 이때 우리는 마치 그 입자들이 그 안에서 움직이는 장이, 그 입자 전체에 대응하는 구대칭의 연속적 질량분포에 의해 만들어지는 것처럼 다룰 수 있다.
우리는 나아가, 성단 안의 모든 입자가 대칭의 중심을 도는 원운동을 한다는 특수한 가정을 둠으로써 논의를 더 간단히 할 수 있다. 이런 경우에도 밀도의 반지름 방향 분포는 임의로 고를 수 있다. 다음에 이어지는 고찰의 결과는, \(g_{44}\)를 어디에서도 0이 되게 만드는 것이 불가능하다는 것, 그리고 주어진 반지름 안에 입자들을 분포시켜 만들 수 있는 총 중력질량은 언제나 어떤 한계 아래 머문다는 것이다.
(중간 생략 — 원문 1절에서, 대칭축 \(x_3\) 둘레를 원운동하는 개별 입자의 측지선 방정식을 계량 (2)에 대해 풀어, 입자가 그리는 원의 반지름 \(r\)과 그 접선 속도 사이의 관계식 (6)을 얻는다. 세계선의 \(ds^2>0\) 조건, 즉 입자가 광속보다 느리게 움직여야 한다는 조건을 이 식에 적용한 결과는 다음과 같다.)
슈바르츠실트의 장 (1)에 이 조건을 적용하면 다음을 얻는다.
\[r > \frac{\mu}{2}(2+\sqrt{3}) \tag{6a}\]
이로부터 다음이 따라 나온다. 슈바르츠실트 장에서 입자는 슈바르츠실트 특이점 반지름의 \((2+\sqrt{3})\)배보다 큰 반지름을 지닌 경로를 따를 수밖에 없다. 이 사실은 이어지는 논의 전체에서 가장 중요한 의미를 지닌다. 우리 입자 성단의 가장 바깥층(그리고 그 너머)에서는 중력장이 (1)로 주어진다. 따라서 성단의 총 중력질량이 성단의 반지름에 대한 하한을 결정하는데, 이 반지름은 (좌표상으로) 성단 바깥의 빈 공간에서 그 장이 규정하는 슈바르츠실트 특이점 반지름보다 \((2+\sqrt{3})\)배 이상 커야 한다.
(이하 2~4절에서 아인슈타인은 이 원운동 입자들의 물질-에너지 텐서를 구성하고(2절), 이로부터 얻어지는 중력장의 미분방정식을 세우며(3절), 입자들을 반지름 \(r_0\)의 얇은 구각(球殼) 안에 국한시킨 특수한 경우를 계산해(4절) — 성단이 반지름 \(r_0\)에서 얼마만큼의 총 중력질량 \(\mu\)를 지탱할 수 있는지, 그리고 성단이 수축함에 따라 에너지가 어떻게 변화하는지를 구체적인 수식으로 보인다. 이 계산들에서 얻어지는 정량적 결과(예컨대 반지름을 줄여 갈수록 처음에는 계의 에너지가 줄어들다가 \(\sigma\approx0.15\) 부근에서 다시 늘어나기 시작한다는 것)는 5절의 정성적 논의로 이어지는 다리 역할을 하므로, 여기서는 세부 수식을 생략하고 5절부터 다시 전문을 옮긴다.)
주어진 질량 \(\mu\)와, 부등식 (6a)를 만족하는 구각 반지름 \(r_0\)가 있는 경우를 생각해 보자. 이 구각 영역 안에 (15)식이 정하는 만큼의 입자 수 \(N\)을 들여오면, 바깥쪽 중력장은 내부 영역 \(I\)로부터 완전히 차단되어, 그 안에서는 장이 유클리드적이게 된다. 이는 곧 \(I\) 안의 선분요소가 \(a\)와 \(b\)의 일정한 값으로 특징지어진다는 뜻이며, 이때 \(b\)는 그 하한값 \(1/\sqrt{3}\)에 이를 수 없다.
그러나 만약 \(S\) 안의 입자 수를 (15)식이 정하는 값보다 작게 고른다면, 장은 완전히 차단되지 않는다(여기서 \(\mu\)는 고정된 값으로 유지한다고 본다). 이 경우 우리는 \(I\) 안의 유클리드 선분요소를, 상수 \(A,B,\mu_1\)을 지닌 다음과 같은 형태의 슈바르츠실트 선분요소로 형식적으로 대치함으로써 이론을 만족시킬 수 있다.
\[a=A\left(1+\frac{\mu_1}{2r}\right)^4,\qquad b=B\left(\frac{1-\dfrac{\mu_1}{2r}}{1+\dfrac{\mu_1}{2r}}\right)^2\]
여기서 \(\mu_1\)은, 구각 바깥의 장을 특징짓는 \(\mu\)보다 작을 것이다. 이 내부 장은 \(r=\mu_1/2\)에서 슈바르츠실트형 특이점을 지닌다.
그러나 이 특이점은, \(S\) 안쪽에 두 번째 구각 \(S_1\)을 도입함으로써 없앨 수 있다. 이 \(S_1\)은, 그 내부의 중력장이 유클리드적이 되도록 만들어져야 한다. 그러면 성단 전체는 두 개의 구각 \(S\)와 \(S_1\)으로 이루어지며, 슈바르츠실트 특이점을 전혀 지니지 않게 된다.
이 계를 다시 한번, \(S_1\) 안의 입자 수를 줄여 그것이 자신의 바깥 장(곧 \(S\)와 \(S_1\) 사이의 영역에서의 장)을 완전히 차단하지 않게끔 수정할 수 있다. 그러면 더 작은 반지름의 세 번째 구각 \(S_2\)를 만들어, 그것이 오직 자신의 안쪽 장만을 완전히 차단하게 할 수 있다.
이 방법은 성단의 중심까지 얼마든지 되풀이될 수 있다. 이렇게 하여 우리는 가장 다양하게 변화하는 반지름 방향 질량분포를 지닌 성단들을 얻는다. 여러 가지 정상(定常) 분포들도 마찬가지로 존재할 것이다. 그러나 \(b\)가 어디에서도 0이 될 수는 없다. 성단의 반지름은 언제나 한계 반지름 \(\tfrac{1}{2}\mu(2+\sqrt{3})\)보다 커야 하며, 성단의 물질을 그 중심 부근에 임의로 조밀하게 모으는 것은 불가능할 것이다.
(이하 6~7절에서 아인슈타인은 5절의 다중 구각 방법을 극한으로 밀어붙여, 반지름에 따라 연속적으로 변화하는 질량밀도 분포로 일반화한다(6절). 이어서 밀도가 특정한 지수함수 형태 \(\sigma=\sigma_0(1-e^{-cr^2})\)를 따르는 구체적인 예를 계산해(7절), 정지질량의 합 \(M\)과 중력질량 \(\mu\)의 관계를 표로 제시한다. 이 표는 성단을 수축시킬수록 처음에는 질량이 줄어들다가, 지름이 성단 크기 \(9M\) 부근에 이르면 다시 늘어나며, 지름 \(5.6M\) 부근보다 더 작게 압축하는 것은 에너지를 아무리 더해도 불가능하다는 것을 보여준다. 저자는 이 역설적인 결과들 가운데, 실제 항성과 닮은 것은 오직 \(\sigma_0\)가 작은 쪽 가지뿐이라고 특별히 짚어 둔다.)
이 연구의 본질적인 결론은, 어째서 “슈바르츠실트 특이점”이 물리적 실재로서는 존재하지 않는가에 대한 분명한 이해다. 여기서 다룬 이론은 입자들이 원형 경로를 따라 움직이는 성단만을 다루었지만, 더 일반적인 경우에도 유사한 결과가 나오리라는 데는 의심할 근거가 없어 보인다. “슈바르츠실트 특이점”이 나타나지 않는 이유는, 물질을 임의로 조밀하게 모을 수 없기 때문이다. 그리고 이는 그렇게 하면 그것을 구성하는 입자들이 광속에 이르게 될 것이기 때문이다.
이 연구는 저자가 로버트슨(H. P. Robertson) 교수, 그리고 바그만(V. Bargmann) 박사·베르크만(P. Bergmann) 박사와 나눈, 슈바르츠실트 특이점의 수학적·물리적 의미에 관한 토론에서 비롯되었다. 그 문제는 자연스럽게 다음과 같은 물음으로 이어졌다: 물리적 모형이 그런 특이점을 실제로 나타낼 수 있는가? 이 논문은 그 물음에 부정으로 답한다.
고등연구소(THE INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY)