| title: “중력파에 관하여 (1937, 선별 번역)” |
원제: On Gravitational Waves 저자: 알베르트 아인슈타인, 나탄 로젠 (A. Einstein and N. Rosen) 출처: Journal of the Franklin Institute 223권 1호(통권 1333–4호), 1937년 1월, 43–54쪽. 원문 파일 번호: 1-09 번역 범위: 선별 번역 — 초록 전문, 근사해에서 특이점이 제기한 의문(제1부), 원통파에 대한 엄밀해로의 재해석(제2부), 파동의 에너지 운반에 관한 결론, 마지막 저자 주기 전문
이 논문은 중력파 연구사에서 특별한 위치를 차지하는 사료다. 아인슈타인은 1916년과 1918년 두 논문(각각 이 프로젝트의 「중력파에 관하여」, 1918년 논문으로 이미 번역됨)에서 근사(선형화) 방정식을 통해 중력파의 존재와 그 에너지 방출 공식(사중극자 공식)을 제시한 바 있다. 그런데 정확한(비선형) 장방정식의 엄밀해 차원에서 파동해가 실제로 존재하는지는 오랫동안 불분명한 문제로 남아 있었다.
이 논문은 원래 1936년 말 아인슈타인과 로젠이 Physical Review에 투고한 논문이 개작된 것이다. 애초의 투고본은 평면 중력파에 대한 자신들의 엄밀한 계산이 물리적으로 의미 있는 파동해의 존재 자체를 부정하는 것처럼 보인다는 결론을 담고 있었다. 그러나 심사자(당시 익명이었으나 훗날 하워드 P. 로버트슨임이 알려졌다)가 이 결론이 좌표 선택에서 비롯된 오류에 근거한다는 것을 지적했고, 아인슈타인은 처음에는 이 심사에 반발해 논문을 철회했으나, 이후 로버트슨과 개인적으로 논의하며 자신의 오류를 인정하고 논문 후반부를 대폭 수정했다. 그 결과가 바로 이 Journal of the Franklin Institute판이며, 원통형으로 대칭인 중력파에 대해서는 실제로 엄밀한(비선형) 해가 존재한다는, 애초와는 정반대의 결론으로 끝맺는다. 이 경위는 논문 맨 끝의 저자 주기에 아인슈타인 자신의 말로 간략히 남아 있다.
번역에서는 두 층위의 “특이점”을 구분해서 옮기는 데 유의했다. 하나는 제1부에서 드러나는, 좌표변환(부표 4)으로 완전히 제거될 수 있는 “겉보기 장(apparent field)”—즉 실체가 없는 좌표적 인공물이다. 다른 하나는 제2부에서 남는, 좌표를 바꾸어도 없앨 수 없는 실제 요동(진짜 파동)이다. 애초 투고본의 오류는 평면파의 경우 거의 모든 성분이 전자(前者)에 해당한다고 잘못 결론지은 데 있었고, 수정된 이 논문은 원통파의 경우 후자, 즉 좌표로 없앨 수 없는 진짜 파동해가 실제로 존재함을 엄밀하게 보인다.
기호는 원문을 그대로 보존했다: \(g_{\mu\nu}\)(계량텐서), \(\gamma_{\mu\nu}\)(계량의 섭동, \(g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}+\gamma_{\mu\nu}\)), \(\bar\gamma_{\mu\nu}\)(대각합을 뺀 변수), \(\xi^\mu\)(무한소 좌표변환), \(T_{\mu\nu}\)(에너지-운동량 텐서), \(A,B,C\)(원통좌표계에서의 계량함수), \(\alpha,\beta,\gamma\)(그 로그로 정의되는 보조변수). 시간좌표는 원문의 관행(민코프스키를 따라 \(x_4=ict\)로 허수로 취급)을 그대로 두었다.
원통형 중력파에 대한 엄밀한 해를 이 논문에서 제시한다. 독자의 편의를 위해, 이미 원리적으로는 알려져 있는 중력파 이론을, 이 논문의 제1부에서 근사적으로 다시 서술한다. 파동 모양의 중력장에 대해 엄밀한 해가 존재한다는 것 자체를 의심하게 만드는 여러 관계들을 만난 뒤, 우리는 원통형 중력파의 경우를 엄밀하게 조사했다. 그 결과 엄밀한 해가 실제로 존재하며, 이 문제가 유클리드 공간에서의 통상적인 원통파로 귀착된다는 것이 드러났다.
일반상대성이론의 중력방정식을 근사적으로 적분하는 방법이 중력파의 존재로 이어진다는 것은 잘 알려져 있다. 그 방법은 다음과 같다. 방정식
\[R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = -T_{\mu\nu} \tag{1}\]
에서 출발해, \(g_{\mu\nu}\)를 다음 식으로 치환한다.
\[g_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu} + \gamma_{\mu\nu} \tag{2}\]
여기서 시간좌표를 허수로 취급한다(민코프스키의 방식대로). \(\gamma_{\mu\nu}\)가 어디에서나 1에 비해 충분히 작다고 가정하면, (1)에서 \(\gamma_{\mu\nu}\)의 고차항을 저차항에 비해 무시함으로써 1차 근사해를 얻는다. 대각합을 뺀 변수 \(\bar\gamma_{\mu\nu}=\gamma_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}\delta_{\mu\nu}\gamma_{\alpha\alpha}\)를 도입하면, 좌표계를 적절히 고정하는 조건(원문 (5))을 통해 방정식은 단순한 파동방정식의 형태(원문 (8))로 정리된다.
여기서 결정적인 문제가 생긴다. 좌표계 자체가 완전히 고정되어 있지 않다는 것이다. 무한소 좌표변환 \(x_\mu' = x_\mu + \xi^\mu\)(원문 (4))에 의해 \(\gamma_{\mu\nu}\)를 바꾸어도, \(\xi^\mu\)가 파동방정식 \(\xi^\mu_{,\alpha\alpha}=0\)(원문 (7))을 만족하기만 하면 새로운 \(\gamma_{\mu\nu}'\)도 똑같이 방정식을 만족한다. 이는 곧, 어떤 \(\gamma\)-장이 이런 무한소 변환의 도움만으로 유클리드(즉 편평한) 장으로부터 만들어질 수 있다면, 그것이 기술하는 중력장은 실체가 없는 “겉보기 장”에 불과하다는 것을 뜻한다.
저자들은 \(x_1\)축의 양의 방향으로 진행하는 평면파를 세 가지 유형—순수 종파, 반종반횡파, 순수 횡파—으로 나눈 뒤, 이 가운데 순수 종파와 반종반횡파 유형은 예외 없이 이런 겉보기 장이라는 것을 보인다. 순수 횡파의 경우도 사정은 비슷해서, 성분 대부분은 겉보기 장으로 환원되며, 다만 두 가지 특정한 성분—원문의 표기로 \(\gamma_{22}=-\gamma_{33}\)(유형 \(c_1\))과 \(\gamma_{23}\)(유형 \(c_2\))—만이 실질적 의미를 지닌다. 그런데 이 두 유형조차 좌표계를 \(x_1\)축을 중심으로 \(\pi/4\)만큼 공간 회전시키면 서로 뒤바뀔 뿐임이 드러난다. 다시 말해 순수 횡파에는 실질적으로 단 하나의 독립적인 파동 유형만이 남는다.
이처럼 평면파의 거의 모든 자유도가 좌표적 인공물로 환원된다는 사실이, 엄밀한(비선형) 파동해가 정말로 존재하는지에 대한 의문을 불러일으킨 출발점이었다. 저자들은 이어서 물질계에 의한 파동의 발생을 지연 퍼텐셜을 통해 논의하고(원문 (10)–(13a)), 사중극자 모멘트의 시간에 대한 이계도함수가 파동 방출을 결정한다는 것, 그리고 지연 퍼텐셜과 선행(advanced) 퍼텐셜을 절반씩 섞으면 감쇠 없는 정상파에 해당하는 해를 얻을 수 있다는 흥미로운 가능성도 짚어 둔다.
제1부의 의문에 답하기 위해, 저자들은 근사(선형화)를 전혀 쓰지 않고 방정식 (1)을 원통 대칭을 지닌 경우에 대해 엄밀하게 다룬다. 좌표는 회전축을 \(x_1=0\), 자오면 내 각도를 \(x_3\)로 취하며, 모든 자오면에 대해 장이 대칭이라는 요구로부터 계량은 \(g_{11},g_{22},g_{33},g_{44},g_{14}\) 다섯 성분만 0이 아니게 된다. 좌표를 더 골라 \(g_{14}=0,\ g_{11}=-g_{44}\)(원문 (14))로 둘 수 있으며, \(-g_{11}=g_{44}=A,\ -g_{22}=B,\ -g_{33}=C\)(원문 (15), \(A,B,C>0\))로 표기한다.
리치 텐서 성분을 \(A,B,C\)로 나타낸 방정식(원문 (16), 대단히 복잡한 식이므로 여기서는 생략한다)에 새 변수 \(\alpha=\log A,\ \beta=\tfrac{1}{2}\log(B/C),\ \gamma=\tfrac{1}{2}\log(BC)\)(원문 (15a))를 도입하면 방정식군이 훨씬 단순해진다(원문 (17)–(21)). 이 가운데 첫째식과 넷째식을 결합하면
\[\gamma_{11} - \gamma_{44} + (\gamma_1{}^2 - \gamma_4{}^2) = 0 \tag{22}\]
을 얻으며, 여기에 치환 \(\gamma=\log\sigma,\ \sigma=(BC)^{\frac{1}{2}}\)(원문 (23))를 적용하면 놀랍도록 단순한 결과가 나온다. 바로 통상적인 파동방정식
\[\sigma_{11} - \sigma_{44} = 0 \tag{24}\]
이다. 이 방정식의 일반해는
\[\sigma = f(x_1+x_4) + g(x_1-x_4) \tag{25}\]
로, \(f,g\)는 임의의 함수다. 이것이 이 논문의 핵심적 전환점이다. \(\gamma\)가 실제로 파동방정식을 만족하며, 그 해가 임의의 진행파 형태를 취할 수 있다는 것—즉 좌표변환으로는 없앨 수 없는, 진짜로 파동적인(요동하는) 엄밀해가 실제로 존재한다는 것이 이로써 증명된다. 저자들은 이어서 좌표 \(x_1\)을 적절히 재정의하면(원문 (26)–(27)) 계량이 순수하게 원통좌표계에서의 편평한 공간(유클리드 공간, \(A=1,\ B=1,\ C=x_1^2\))으로 귀착됨을 확인하고, 최종적으로
\[\beta_{11} - \beta_{44} + \frac{1}{x_1}\beta_1 = 0 \tag{28}\]
을 얻는다. 이는 3차원 공간에서 회전축으로부터의 거리를 \(x_1\)이라 할 때, 바로 그 원통파에 대한 (통상적인) 방정식이다. \(\alpha\)와 \(\gamma\)는 이 \(\beta\)로부터 각각 (29)식과 (30)식을 통해 정해진다.
마지막으로 저자들은 시간적으로 순수하게 주기적인 “정상파”가 존재하는지를 검토한다. \(\beta=X_0+X_1\sin\omega x_4+X_2\cos\omega x_4\)(\(X_0,X_1,X_2\)는 \(x_1\)만의 함수) 형태의 해를 대입하면, 정상적(제자리에서 진동하는) 진동의 경우에는 적분 \(\int\beta_1\beta_4\,dx_4\)(한 주기 전체에 걸친)가 정확히 0이 됨을 보일 수 있다. 그러나 진행파를 포함하는 일반적인 경우에는, 이 적분이 \(\tfrac{1}{2}(X_1X_2'-X_2X_1')\omega T\)—0이 되지 않고 언제나 같은 부호를 유지하는 양—로 주어진다.
이로부터 다음과 같은 물리적 결론이 따라 나온다. 진행하는 중력파는 실제로 에너지를 운반한다. 이는 계량에 나타나는 시간에 따른 세속적(누적적) 변화와 결부되어 있으며, 그 변화는 다시 축 \(x=0\) 위에 국한된 중력 질량이 시간에 따라 체계적으로 변화하는 것과 맞물려 있다.
주.—이 논문의 제2부는 로젠 씨가 러시아로 떠난 뒤 내가 상당히 크게 고쳐 썼는데, 왜냐하면 우리가 원래 우리의 공식 결과를 잘못 해석했었기 때문이다. 이 원래의 오류를 규명하는 데 다정하게 도움을 준 나의 동료 로버트슨(Robertson) 교수에게 감사드리고 싶다. 또한 번역에 친절히 도움을 준 호프만(Hoffmann) 씨에게도 감사드린다.
— 아인슈타인