| title: “팽창과 우주의 평균 밀도 사이의 관계에 관하여 (선별 번역)” |
원제: On the Relation between the Expansion and the Mean Density of the Universe 저자: 알베르트 아인슈타인, 빌럼 드 시터 (A. Einstein and W. de Sitter) 출처: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 18권 3호 (1932년 3월 15일), 213~214쪽. (윌슨산 천문대를 통해 전달, 1932년 1월 25일) 원문 파일 번호: 1-07 (프로젝트 문서상 1-06/07로 묶임) 번역 범위: 선별 번역 — 곡률·우주상수 가정, 밀도-팽창률 관계, 관측값에 대한 논의 (논문 전체가 두 쪽으로 매우 짧아 사실상 전문에 해당)
이 짧은 논문은 오늘날 “아인슈타인-드시터 모형(Einstein-de Sitter model)”으로 불리는 우주론적 모형을 처음 제시한 글이다. 아인슈타인은 1917년 논문에서 정적인 우주를 유지하기 위해 장방정식에 “우주상수” \(\lambda\) 항을 도입한 바 있는데(이는 훗날 그가 “일생일대의 실수”라 불렀다고 전해지는 바로 그 항이다), 1929년 허블(Hubble)의 우주 팽창 관측 이후 정적 우주라는 전제 자체가 무너지면서 이 항의 존재 이유도 사라졌다. 이 논문에서 아인슈타인과 드 시터는, 공간의 곡률을 0으로(즉 공간적으로 평평하게) 놓고 우주상수 항 없이도 관측된 팽창과 물질 밀도를 정합적으로 설명할 수 있음을 매우 간결하게 보인다. 이는 프리드만(1922)이 먼저 수학적으로 보인 동역학적(팽창) 해를, 아인슈타인이 관측적으로 가장 단순한 형태(곡률 0)로 받아들여 공식화한 최초의 글이라는 점에서 중요하다.
이 논문은 이 프로젝트의 번역 순서 문서에서 1-06/07로 함께 묶여 있으나, 실제로 저작물 폴더에는 1-07 항목(이 논문의 PMC 서지 페이지)만 존재하며 별도의 1-06 파일은 없었다. 서지사항을 대조한 결과 이 한 편의 논문이 바로 그 “1932 아인슈타인-드시터 모형” 원논문임을 확인했으므로, 이 선별 번역은 이 한 편의 완역에 해당한다.
출처 확인에 관하여. 폴더의 1-07 파일(1-07_1932_아인슈타인-드시터_PMC_공식페이지.html)은 PMC(PubMed Central)의 서지 정보 페이지만을 담고 있어 본문이 없었다. PMC의 정식 논문 페이지(PMC1076193)에 직접 접속해 원문 PDF(Proceedings of the National Academy of Sciences 18권 213~214쪽 스캔본)를 화면으로 확인하여 이를 저본으로 번역했다. 저자 두 사람(아인슈타인 1955년 사망, 드 시터 1934년 사망) 모두 사망 후 오랜 시간이 지났고, 1932년에 미국에서 발표된 학술지 논문이라는 점에서 퍼블릭도메인 자료다.
용어는 이 프로젝트의 기존 번역들과 통일했다: 곡률(curvature), 우주상수(cosmological constant), 계량/선분요소(line-element), 장방정식(field equations), 평균 밀도(mean density), 팽창계수(coefficient of expansion) 등. 원문 기호 \(R\)(우주반지름), \(\lambda\)(우주상수), \(\kappa\)(중력상수), \(\rho\)(밀도), \(h\)(팽창계수) 등은 그대로 유지했다.
최근 발표된 소론에서, 하이크만(O. Heckmann) 박사는 《괴팅겐 소식(Göttinger Nachrichten)》을 통해 다음과 같은 점을 지적한 바 있다. 즉 일정한 밀도를 갖는 일반상대성이론 장방정식의 비정적(非靜的) 해는 3차원 공간이 반드시 양의 곡률을 가진다는 것을 뜻하지 않으며, 그 곡률은 음일 수도, 0일 수도 있다는 것이다.
곡률에 대한 직접적인 관측 증거는 없으며, 직접 관측되는 자료는 오직 평균 밀도와 팽창뿐이다. 후자는 실제 우주가 비정적인 경우에 해당한다는 것을 증명해준다. 따라서 관측된 사실만으로는 곡률의 부호도 값도 이끌어낼 수 없다는 것이 분명하며, 이로부터 애초에 곡률을 도입하지 않고서도 관측된 사실을 나타낼 수 있는지 하는 물음이 제기된다.
역사적으로, “우주상수(cosmological constant)” \(\lambda\)를 담은 항이 장방정식에 도입된 것은, 정적 우주에서 유한한 평균 밀도가 존재한다는 것을 이론적으로 설명하기 위해서였다. 그런데 이제는 동역학적인 경우에는 \(\lambda\)를 도입하지 않고서도 바로 이 목적을 이룰 수 있다는 것이 드러난다.
곡률이 0이라고 가정하면, 선분요소(계량)는 다음과 같다:
\[ds^2 = -R^2(dx^2+dy^2+dz^2) + c^2\,dt^2, \tag{1}\]
여기서 \(R\)은 \(t\)만의 함수이고 \(c\)는 빛의 속도다. 논의를 간단히 하기 위해 압력 \(p\)를 무시하면,1 \(\lambda\)가 없는 장방정식은 두 개의 미분방정식으로 이어지는데, 이 가운데 필요한 것은 곡률이 0인 경우에 해당하는 다음 하나뿐이다:
\[\frac{1}{R^2}\left(\frac{dR}{c\,dt}\right)^2 = \frac{1}{3}\kappa\rho. \tag{2}\]
관측값들은 팽창계수와 평균 밀도를 다음과 같이 제공한다:
\[\frac{1}{R}\frac{dR}{c\,dt} = h = \frac{1}{R_B}, \qquad \rho = \frac{2}{\kappa R_A^2}.\]
따라서 (2)로부터 다음과 같은 이론적 관계를 얻는다:
\[h^2 = \frac{1}{3}\kappa\rho \tag{3}\]
또는
\[\frac{R_A^2}{R_B^2} = \frac{2}{3}. \tag{3'}\]
팽창계수로 \(h = 500\ \text{km/sec}\) (백만 파섹당)2을 취하면
\[R_B = 2\times 10^{27}\ \text{cm}\]
이 되며, 따라서
\[R_A = 1.63\times 10^{27}\ \text{cm}\]
즉
\[\rho = 4\times 10^{-28}\ \text{gr}\cdot\text{cm}^{-3} \tag{5}\]
을 얻는데, 이는 우리 두 사람 가운데 한 사람3이 채택한 밀도의 상한값과 정확히 일치한다는 사실이 드러난다.
팽창계수 \(h\)를 결정하는 데는, 측정된 적색편이 자체는 별다른 불확실성을 끌어들이지 않지만, 외부은하 성운까지의 거리는 아직도 매우 불확실하다. 밀도는 이 성운들의 질량에 대해 가정한 값에 의존하며, 나아가 거리의 척도에 대한 가정과, 우주 안의 모든 물질이 성운에 집중되어 있다는 가정에도 좌우된다. 이 마지막 가정 역시 상당한 불확실성의 요인이 될 수 있음은 부정하기 어렵다. 이를 감안하더라도, 관측으로부터 얻어지는 비율 \(h^2/\rho\), 즉 \(R_A^2/R_B^2\)는, \(\Delta\)를 평균적인 성운 하나를 담고 있는 정육면체의 한 변, \(M\)을 그 성운의 평균 질량이라 할 때 \(\Delta/M\)에 비례하게 된다. 위에서 채택한 값들은, 오르트(Oort) 박사가 추정한 우리 은하계 질량의 약 두 배에 해당하는 \(M = 2.0\times 10^{11}\,\odot\)(태양질량)에, \(\Delta = 10^8\)광년에 대응한다. 그러므로 곡률 0이라는 가정에 대응하는 밀도 (5)와 팽창계수 (4)는 그 크기의 자릿수에서는 아마도 옳을 것이지만, 우리는 현재로서는 3차원 공간의 곡률을 가정하지 않고서도 이 사실들을 나타낼 수 있다는 결론을 내려야 할 것이다. 그러나 곡률은 본질적으로 결정 가능한 양이며, 관측에서 얻어지는 자료가 더 정밀해지면 앞으로 우리는 그 부호와 값을 확정할 수 있게 될 것이다.