| title: “일반상대성이론의 우주론적 문제에 관하여” |
원제: Zum kosmologischen Problem der allgemeinen Relativitätstheorie 저자: 알베르트 아인슈타인 출처: 프로이센 과학아카데미 회의보(Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften), 물리수학분과, 1931년 4월 16일 전체회의 발표분, 235–237쪽. 원문 파일 번호: 1-05 번역 범위: 전문 번역
이 짧은 논문은 아인슈타인이 1917년 자신의 정적 우주 모형(D17, 「일반상대성이론에 따른 우주론적 고찰」)을 공식적으로 포기하고, 프리드만이 1922년 처음 제시한 동역학적(팽창·수축하는) 우주 해를 받아들이는 전환점을 보여주는 1차 사료다. 이 전환의 배경에는 두 갈래의 사정이 있다. 하나는 이론 내적인 것으로, 1922·1923년 프리드만의 논문에 대한 아인슈타인 자신의 논평과 정정(1-04)에서 이미 프리드만의 계산이 옳다는 것을 인정한 바 있다는 점이다. 다른 하나는 관측적인 것으로, 허블이 1929년 발표한 외부은하의 적색편이-거리 관계(이 논문에서 “허블의 결과”라고 언급되는 것)가 우주가 정적이지 않고 팽창하고 있음을 시사했다는 점이다.
이 논문에서 아인슈타인은 우주상수 \(\lambda\) 항을 완전히 제거하지는 않지만, \(\lambda=0\)으로 놓아도 관측 사실과 부합하는 동역학적 모형이 가능함을 보이며, 이 방향을 선호한다는 뜻을 분명히 밝힌다. 이 논지는 이듬해인 1932년 아인슈타인과 더 시터가 공동으로 발표한 「팽창과 우주의 평균 밀도 사이의 관계에 관하여」(1-07, 이미 이 프로젝트에서 번역함)에서 곡률을 0으로 놓는 더 단순한 형태로 다시 정식화된다. 다만 이 논문 자체에서 아인슈타인이 우주상수를 “일생일대의 최대 실수”라고 불렀다는 유명한 일화를 직접 뒷받침하는 표현은 등장하지 않는다는 점을 밝혀 둔다 — 그런 표현은 이 논문이 아니라 후대(조지 가모프의 회고록 등)의 전언에 근거한 것으로, 이 원전이 그 일화를 직접 입증하는 것처럼 서술해서는 안 된다.
기호는 원문을 그대로 보존했다: \(P\)(공간의 곡률반지름, “세계반지름”), \(\rho\)(물질의 평균 밀도), \(D\)(허블의 결과로부터 얻어지는, 거리로 나눈 도플러 효과 — 오늘날의 허블 상수에 해당), \(\lambda\)(우주상수), \(\kappa\)(중력상수), \(x_1,x_2,x_3,x_4\)(좌표), \(R_{ik}\)(리치 텐서), \(g_{ik}\)(계량텐서), \(T_{ik}\)(에너지-운동량 텐서). 식 번호(1)~(3), (2a), (2b), (3a)도 원문 그대로 유지했다.
우주론적 문제란, 물질(항성과 항성계의 물질을, 논의를 편하게 하기 위해 연속적으로 분포한 물질로 대치해 생각한)이 전체적으로 어떻게 분포되어 있는지, 그리고 큰 규모에서 공간이 어떤 성질을 지니는지에 관한 물음을 뜻한다. 일반상대성이론을 세운 직후 내가 이 문제를 처음 다룬 이래, 이 주제에 관한 이론적 연구들이 여럿 나왔을 뿐만 아니라, 허블의 도플러 효과 연구와 은하계 밖 성운의 분포 연구를 통해 이론에 새로운 길을 제시하는 사실들이 밝혀졌다.
나의 원래 연구에서 나는 다음과 같은 가정에서 출발했다.
당시 나는 일반상대성이론의 장방정식에 이른바 우주론적 항을 도입하면, 이 두 가정을 0이 아닌 어떤 평균 밀도 \(\rho\)와 부합시킬 수 있음을 보였다. 그렇게 하면 방정식은 다음과 같아진다.
\[(R_{ik} - \tfrac{1}{2}g_{ik}R) + \lambda g_{ik} = -kT_{ik} \dots (1)\]
이 방정식은, \(\rho\)가 물질의 (압력 없는) 평균 밀도를 나타낼 때, 반지름 \(P = \sqrt{\dfrac{2}{\varkappa\rho}}\)인 공간적으로 구형인 정적 세계에 의해 충족된다.
그런데 이제 허블의 결과를 통해, 은하계 밖 성운들이 공간에 고르게 분포되어 있으며 팽창운동(적어도 그 계통적 적색편이를 도플러 효과로 해석한다면) 중에 있다는 것이 분명해졌으므로, 공간이 정적이라는 가정(2)은 더는 정당성을 지니지 못하며, 일반상대성이론이 이 발견들을 설명해 낼 수 있는가 하는 물음이 생긴다.
여러 연구자들이 시간에 따라 변화하는 반지름 \(P\)를 지닌 구형 공간을 통해 이 새로운 사실들을 설명하고자 시도했다. 이 길을 관측 사실과 무관하게 최초로 걸어간 사람은 A. 프리드만이었으며,¹ 나는 그의 계산 결과에 근거해 이하의 고찰을 편다. 그는 다음과 같은 형태의 선분요소에서 출발한다.
\[ds^2 = -P^2(dx_1^2 + \sin^2 x_1\, dx_2^2 + \sin^2 x_1 \sin^2 x_2\, dx_3^2) + c^2\, dx_4^2 \dots (2)\]
여기서 \(P\)는 실수 시간변수 \(x_4\)만의 함수로 취급된다. \(P\)를 결정하고 이 양과 (가변적인) 밀도 \(\rho\)의 관계를 구하기 위해, 그는 (1)로부터 다음 두 미분방정식을 얻는다.
\[\frac{P'^2}{P^2} + \frac{2P''}{P} + \frac{c^2}{P^2} - \lambda = 0 \dots, \quad (2)\]
\[\frac{3P'^2}{P^2} + \frac{3c^2}{P^2} - \lambda = \varkappa c^2 \rho \dots. \quad (3)\]
이 방정식들로부터 나의 이전 해를 얻으려면 \(P\)를 시간적으로 일정하다고 가정하면 된다. 그런데 이 방정식들을 이용하면, 이 해가 안정적이지 않다는 것 — 즉 어느 시점에는 그 정적 해와 거의 다르지 않던 해가, 시간이 지남에 따라 점점 더 그 해로부터 멀어져 간다는 것 — 도 보일 수 있다. 바로 이 이유만으로도, 허블의 관측 결과는 차치하고서라도, 나는 더는 나의 당시 해에 물리적 의미를 부여할 마음이 들지 않는다.
이러한 사정 아래에서는, 이론적으로 보아도 어차피 만족스럽지 않은 \(\lambda\)항을 도입하지 않고도 이 사실들을 설명할 수 있는지 물어보아야 한다. 여기서는 프리드만처럼 복사의 작용을 무시하면서, 이것이 어느 정도까지 가능한지를 살펴보고자 한다. 프리드만이 보였듯이, (\(\lambda=0\)일 때) (2)를 적분하면 다음을 얻는다.
\[\left(\frac{dP}{dt}\right)^2 = c^2\frac{P_0-P}{P} \dots, \quad (2a)\]
여기서 \(P_0\)는 세계반지름의 시간적으로 넘어설 수 없는 상한을 나타내는 적분상수다. 여기서 \(\dfrac{dP}{dt}\)의 부호가 바뀌는 지점이 반드시 있어야 한다.² (3)으로부터, (\(\lambda=0\)일 때) \(\rho\)는 언제나 양(陽)이어야 한다는 것 — 그래야 마땅한 대로 — 이 따라 나온다.
허블의 결과로부터, 현재로서는 \(\dfrac{dP}{dt} > 0\)으로 놓아야 하며, 거리로 나눈 도플러 효과가 거리와 무관한 크기라는 것이 따라 나오는데, 이는 여기서 필요한 정도의 정확도로는 다음 양
\[D = \frac{1}{P}\frac{dP}{dt}\cdot\frac{1}{c}\]
으로 나타낼 수 있다. (2a) 대신 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[D^2 = \frac{1}{P^2}\frac{P_0-P}{P} \dots \quad (2b)\]
그리고 (3) 대신 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[D^2 = \frac{1}{3}\varkappa\rho\frac{P_0-P}{P_0} \dots. \quad (3a)\]
(2a)로 기술되는 과정은 다음과 같다. \(P\)가 작을 때는(엄밀한 극한의 경우인 \(P=0\)에 대해서는 우리의 이상화가 통하지 않지만) \(P\)가 매우 빠르게 증가한다. 그 뒤 \(P\)가 커짐에 따라 변화율 \(\dfrac{dP}{dt}\)는 점점 더 줄어들며, 극한값 \(P=P_0\)에 이르면 사라지고, 그 뒤로는 전체 과정이 (즉 \(P\)가 점점 더 빠르게 줄어들며) 거꾸로 진행된다.
우리의 공식들을 실제 사실과 비교하고자 한다면, 우리는 우리 자신이 증가하는 \(\rho\)의 국면 어딘가에 있다고 가정해야 한다. 대략적인 어림을 위해서는, \(P-P_0\)가 \(P_0\)와 같은 자릿수라고 가정하는 것이 합당해 보인다. 그러면 우리는 순전히 자릿수 정도로
\[D^2 \propto \varkappa\rho\]
라는 식을 얻게 되는데, 이는 \(\rho\)에 대해 \(10^{-26}\) 정도의 자릿수를 준다. 이는 천문학자들의 추산치와 어느 정도 부합하는 듯 보인다. 마찬가지로 (2b)에 따르면 현재의 세계반지름은 자릿수로
\[P \propto \frac{1}{D}\]
에 의해 정해지는데, 이는 약 \(10^8\) 광년 정도를 준다.
그런데 이 견해 전체에서 가장 큰 어려움은, (2a)에 따라 \(P=0\)이 나오는 과거의 시점이 겨우 \(10^{10}\)년 전이라는 데 있다는 사실은 잘 알려져 있다. 여기서는, 항성 물질 분포의 비균질성이 우리의 근사적 취급을 허구적인 것으로 만든다는 지적을 통해 이 어려움을 피해 갈 길을 찾을 수 있을 것이다. 게다가, 허블이 관측한 스펙트럼선의 그토록 거대한 이동을 도플러 효과로 해석하는 어떤 이론이라 하더라도, 이 어려움을 그리 편하게 피해 가지는 못하리라는 점도 지적해 두어야 한다. —
어쨌든 이 이론은 천문학적 사실들과 손쉽게 비교할 수 있을 만큼 단순하다. 나아가 이 이론은 천문학에서 큰 시간적 외삽을 할 때 얼마나 신중해야 하는지도 보여준다. 무엇보다 주목할 만한 점은, 일반상대성이론이 이제 경험적으로 멀리 밀려난 공간의 준정적(準靜的) 성질이라는 가정에 기대지 않고도 — 즉 \(\lambda\)항 없이도 — 허블의 새로운 사실들을 더 무리 없이 설명해 낼 수 있는 것처럼 보인다는 사실이다.
¹ Zeitschr. f. Physik. 10권, 377쪽, 1922년. ² (2a)에 따르면 \(P\)는 \(P_0\)를 넘어 커질 수 없으며, (2)에 따르면 \(P\)는 값 \(P_0\)에 머물러 있을 수 없다.