| title: “정적 중력장 이론에 관하여 (선별 번역)” |
원제: Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes 저자: 알베르트 아인슈타인 (Albert Einstein) 출처: Annalen der Physik, 제4계열, 38권 (1912), 443~458쪽. (1912년 3월 23일 접수, 프라하에서 집필) 원문 파일 번호: 1-03 번역 범위: 선별 번역 — 앞 논문(1-02)의 수정, 에너지·운동량 보존, 장방정식의 비선형화, Entwurf(1913)로 이어지는 대목
이 논문은 바로 앞서 번역한 1-02(“빛의 속도와 중력장의 정역학”)의 직접적인 후속편으로, 같은 Annalen der Physik 38권에 곧바로 이어 실렸다. 앞 논문에서 아인슈타인은 정적 중력장을 빛의 속도 \(c(x,y,z)\)라는 스칼라 함수 하나로 기술하고, 그 장방정식으로 \(\Delta c = kc\sigma\)라는 선형 방정식을 제안했다. 이 논문의 핵심은, 그 선형 방정식이 작용·반작용의 원리(뉴턴의 제3법칙에 해당하는 반작용 원리, Reaktionsprinzip)와 모순된다는 것을 스스로 발견하고, 이를 해결하기 위해 장방정식을 \(c\)에 대해 비선형인 형태로 고쳐 쓴다는 데 있다. 이 비선형화는 사소한 기술적 수정이 아니라, 중력장 방정식이 원천(source)뿐 아니라 장 자신의 에너지에도 반응해야 한다는 통찰을 담고 있으며, 이는 이듬해 그로스만과 함께 쓴 “Entwurf”(1913, 이 프로젝트에서 이미 번역함, [[일반화된 상대성이론과 중력이론 초안 (선별 번역)]] 참조)에서 계량텐서 \(g_{\mu\nu}\)를 도입하는 방향으로, 그리고 궁극적으로는 1915~16년의 완전한 비선형 장방정식으로 이어지는 초기의 결정적인 한 걸음이다.
출처 확인에 관하여. 1-02와 마찬가지로, 폴더의 독일어
원문 HTML(1-03_1912_정적중력장이론_독일어본문.html)은 MPIWG ECHO 텍스트
뷰어의 첫 쪽만을 담고 있어 전문 확보에는 부족했다. 위키문헌에서 확인한
서지사항(Annalen der Physik 38권, 443~458쪽)에 따라, 1-02와
같은 Internet Archive 소장본(識別子:
sim_annalen-der-physik_1912_38_7)에서 해당 쪽 구간의 OCR
전문을 추출해 저본으로 삼았다. 이 논문 역시 수식이 많은 대목에서 OCR
조판이 심하게 흐트러져 있어, 아래 번역은 개념적으로 중요한 산문과 핵심
결과를 선별하여 옮기고, 수식은 가장 신뢰할 수 있는 형태로 정리하되 일부
세부 계수의 불확실성을 밝혀둔다.
최근 발표한 논문[^1]에서 나는, 내가 등가원리라 부른 가설로부터, 그러한 장 속에서 움직이는 물질점의 운동방정식을 이끌어낸 바 있다. 이하에서는 정적 중력장이 등가원리에 따라 전자기적 과정과 열적 과정에 어떤 영향을 미치는지를 엄밀하게 이끌어내고자 한다. 이 두 물음 가운데 첫째 것은 이미 앞서 1차 근사로 다룬 바 있다. 끝으로 정적 중력장에 대한 미분방정식을 이끌어낼 것이다.
§1(“정적 중력장을 고려한 전자기방정식의 유도”)에서 아인슈타인은 앞 논문에서 물질점의 운동방정식을 얻었던 것과 똑같은 방법을 쓴다 — 즉 (보른의 의미에서) 균일하게 가속되는 계 \(K(x,y,z,t)\)에 대해 성립하는 전자기방정식을 구하고, 등가원리에 따라 이 방정식이 정적 중력장에서도 성립한다고 가정한다. 이를 위해 가속되지 않은 계 \(\Sigma\)에서 성립하는 (진공에서의 맥스웰방정식의) 잘 알려진 형태에서 출발하여, 이를 \(K\)계로 변환한다. 이 변환의 세부 대수는 생략하고, 그 결과 얻어지는 정적 중력장 속 전자기방정식(식 1a)의 물리적 해석에 논의의 중심을 둔다.
여기서 아인슈타인은 이 방정식들에 나오는 물리량의 의미를 세심하게 규정한다: \(x,y,z\)는 \(K\)에 부착된 강체 자로 측정하고, \(t\)는 \(K\)의 각 점에 고정 배치된, 서로 다르게 조정된 시계들로 측정하며, \(c\)는 \(K\)에서 빛의 속도가 시간에도 방향에도 의존하지 않는다는 조건으로 정의된다. 전기 밀도 \(\sigma\)의 단위 역시, 가속되지 않은 계에서 정의된 힘의 단위(질량 1그램에 가속도 1을 주는 힘, 시간 단위로는 빛이 1cm를 가는 데 걸리는 “광시간”을 씀)를 기준으로 신중하게 정의한다. 등가원리에 따르면 이렇게 얻은 방정식(1a)은 정적 중력장에서의 전자기 근본방정식으로 간주해야 한다. 다만 이 방정식들은, 전자기장이 중력장 자체에 영향을 주어 그것이 더 이상 정적이지 않게 만들 가능성까지는 설명하지 못한다는 한계를 아인슈타인 스스로 지적한다.
§2(“유도된 방정식의 내용에 관한 소견”)는 이 논문에서 가장 중요한 물리적 결과들을 담고 있다.
“주머니” 계기. 아인슈타인은 앞 절에서 장벡터의 직관적 해석을 위해 도입한 용수철저울을, 에렌페스트(P. Ehrenfest)가 구두로 제안한 대로 “주머니(Taschen-)” 용수철저울이라 부르기로 한다. 일반적으로 “주머니” 계기란, 서로 다른 중력퍼텐셜을 가진 곳으로 옮겨 가면서 사용하되, 그 눈금이 언제나 그 계기가 놓인 곳의 \(c\)가 얼마나 크든 상관없이 같은 방식으로 읽히는 물리 장치를 뜻한다. 이를테면 “광시간”을 나타내는 시계는 “주머니시계”, 전하 단위를 장착한 용수철저울은 “주머니장측정계”라 부를 수 있다.
힘과 장의 관계. 앞 논문의 결과로부터, “주머니 용수철저울”의 눈금이 그것이 실제로 받는 힘을 직접 재는 것이 아니라는 것이 드러난다. 실제 힘은 오히려 주머니 용수철저울의 눈금에 \(c\)를 곱한 값과 같다. 이로부터, \(K\)에 정지한 전하 단위에 작용하는 힘(포더로모터적 힘)은 \(\mathfrak{E}\)가 아니라 \(c\mathfrak{E}\)로 두어야 한다는 것이 직접 따라 나온다. 자기장벡터 \(\mathfrak{H}\)에 대해서도 마찬가지다. 정적 전기장에서는 (식 1a의 세 번째 방정식에 따라) \(\mathrm{rot}(c\mathfrak{E}) = 0\)이므로, 닫힌 곡선을 따라 \(c\mathfrak{E}\)를 선적분한 값은 사라진다 — 즉 전하를 닫힌 경로를 따라 옮겨서 무한정 일을 얻어내는 것은 불가능하다는 것을 알 수 있다.
이어서 쿨롱의 법칙을 일정한 \(c\)를 가진 공간에 대해 세우면, 점전하 \(\varepsilon\)가 만드는 장은 \(\mathfrak{E} = \varepsilon/(cr^2)\) 형태가 되며, 따라서 두 전하 사이의 힘은 (앞 논문에서 임의의 “주머니계”의 힘이 그러했듯이) \(c\)에 비례한다는 것이 다시 확인된다. 이와 관련하여, 서로 다른 중력퍼텐셜 \(c\)와 \(c'\)인 곳에 놓인 완전히 똑같은 두 축전기를 도선으로 연결해 충전하면, \(\mathrm{rot}(c\mathfrak{E})=0\)이라는 조건 때문에 두 축전기의 전하량이 같지 않고 \(c\varepsilon = c'\varepsilon'\)의 관계를 이룬다는 흥미로운 결과도 이끌어낸다.
에너지 원리. 쿨롱의 법칙에서 얻은 식으로부터, 전자기 에너지의 밀도로 삼아야 할 양은 통상적인 \(\tfrac{1}{2}(\mathfrak{E}^2+\mathfrak{H}^2)\)가 아니라
\[\frac{c}{2}(\mathfrak{E}^2 + \mathfrak{H}^2)\]
라는 것이 드러난다. 방정식 (1a)의 첫째 식을 \(c\mathfrak{E}\)와, 셋째 식을 \(c\mathfrak{H}\)와 각각 스칼라곱하여 더하고 임의의 닫힌 공간에 대해 적분하면, 잘 알려진 방식으로 다음 결과를 얻는다:
\[\frac{\partial}{\partial t}\!\int \frac{c}{2}(\mathfrak{E}^2+\mathfrak{H}^2)\,d\tau + \int (\cdots)\,d\sigma = \int \mathfrak{i}\,\mathfrak{E}\,d\tau,\]
즉 에너지 원리가 성립하며, 이때 에너지 흐름을 나타내는 벡터는 \(c^2[\mathfrak{E},\mathfrak{H}]\)와 같다.
운동량 원리와 중력장에서 전자기장이 받는 충격량. 같은 방식으로 (1a)의 첫째 식을 \(\mathfrak{H}\)와, 셋째 식을 \(-\mathfrak{E}\)와 각각 벡터곱하여 더하면 운동량 원리를 얻는다. 이 식의 왼쪽 첫째 항은, 단위 시간·단위 부피당 전하가 계의 나머지 물질(포더러블 질량)에 넘겨주는 운동량의 \(x\)성분을 나타내며(로렌츠가 이미 제시한 포더로모터적 힘의 식에 인자 \(c\)가 곱해진 형태), 둘째 항은 단위 부피당 전자기 운동량의 증가를 나타낸다. 만약 \(c\)의 공간적 도함수가 모두 사라진다면 — 즉 중력장이 없다면 — 이 증가는 순전히 전자기적 응력에 의해서만 일어나며, 이는 중력장을 고려하지 않는 통상적인 전기역학과 같다. 그러나 중력장이 존재하는 경우, 방정식 오른쪽 마지막 항으로부터 중력장 자체가 전자기장에 대해 운동량의 원천 구실을 한다는 것이 드러난다.
이는 대단히 중요한 결과로 이어진다: 전자기 장 에너지는, 정지한 포더러블 질량이 그러하듯, 중력장으로부터 정확히 같은 방식으로 운동량을 받는다는 것이다. 앞 논문에서 이미, 중력장이 정지한 질량 \(m\)에 단위 시간당 \(-m\,\mathrm{grad}\,c\)의 운동량을 전달한다는 것을 보인 바 있다. 따라서, 예컨대 공동(空洞) 복사(빈 공간에 갇힌 열복사)는 그 관성질량에 정확히 대응하는 무게(중력질량)를 갖는다는 결론이 나온다 — 이 결과는 이미 식 (1a)와, 전하에 작용하는 포더로모터적 힘의 식 안에 담겨 있으며, 방금 적은 운동량 방정식은 그로부터 따라 나오는 결과이기 때문이다. 다만 주목할 점은, 중력에 대해 실제로 의미를 갖는 것은 진짜 에너지 밀도 \(\tfrac{c}{2}(\mathfrak{E}^2+\mathfrak{H}^2)\)가 아니라 \(\tfrac{1}{2}(\mathfrak{E}^2+\mathfrak{H}^2)\) 쪽이라는 것이다 — 즉 정지한 관성질량의 공간 밀도에 대응하는 것은 “주머니 계기”로 측정한 에너지 밀도 쪽이라는 것이다. 이로부터 전자기장 역시 거꾸로 중력장에 반작용을 미친다는 것을 알 수 있으나(정적인 경우 그 표현은 위 논의에서 어렵지 않게 얻어진다), 이 점은 이 논문에서 더 깊이 다루지 않는다고 아인슈타인은 적고 있다. 중력장에 의한 빛의 휨 역시 이미 (1a)에 담겨 있으며 1차 근사로는 작년 논문에서 이미 다루었으므로 여기서는 재론하지 않는다고 덧붙인다.
§3(“열적 크기와 중력장”)은 이 선별 번역에서 결과만 간단히 소개한다. 서로 다른 빛의 속도 \(c_1\), \(c_2\)를 가진 두 지점에 놓인 열저장체 \(W_1\), \(W_2\)가 있을 때, 같은 “주머니온도계”로 잰 온도(주머니온도) \(T^*\)가 같다 하더라도, 카르노 순환과정으로 정의되는 참된(열역학적) 온도 \(T\)는 서로 같지 않다. 아인슈타인은 두 저장체를 오가며 열을 순환시키는 사고 실험을 통해, 참된 온도는
\[T = cT^{*}\]
로 얻어짐을 보인다. 즉 참된 온도는 주머니온도계의 눈금에 \(c\)를 곱한 값이라는 것이다. 이로부터, 서로 다른 중력퍼텐셜에 있으면서 열적으로 연결된 두 저장체는 같은 주머니온도를 갖지 않으며, 열평형에서는 오히려 주머니온도가 빛의 속도에 반비례한다는 결론이 따라 나온다. 반면 엔트로피는 오직 “주머니 계기”로 측정한 물체의 상태에만 의존하며 중력퍼텐셜 자체에는 의존하지 않는다는 것도 함께 보인다.
§4(“정적 중력장의 미분방정식”)는 이 논문의 핵심이며, 앞 논문(1-02)에서 제안한 장방정식을 근본적으로 수정하는 대목이다.
첫 논문에서는, 물질이 없는 공간에 대한 \(\Delta c = 0\)의 일반화로서, 정적 중력장에 대한 방정식
\[\Delta c = k c \sigma \tag{3a}\]
을 제안했다. 그런데 아인슈타인은 이 방정식이, 단위 부피의 포더러블 물질 \(\sigma\)에 작용하는 힘 \(-\sigma\,\mathrm{grad}\,c\)에 대한 앞 논문의 식과 결합했을 때 모순을 낳는다는 것을 발견한다. 물질이 정지해 있다면, 무한히 먼 곳에서 \(c\)가 일정해지는 공간에 대해 이 힘을 적분한 값은 작용·반작용의 동등성 원리(반작용 원리)에 따라 사라져야 한다 — 그렇지 않다면, 강체이면서 질량이 없는 뼈대에 고정되어 있다고 상상한 그 공간 속 질량들 전체가 저절로 움직이기 시작하려는 경향을 보이게 될 것이기 때문이다. 그러나 실제로 계산해보면 이 적분은 일반적으로 사라지지 않는다.
아인슈타인은 이를 “상당히 우려스러운 결과”라 부르며, 이 결과가 지금까지의 이론 전체의 근본에 깊이 자리한 틈을 가리키는 것일 수 있다고 인정한다. 뼈대가 받는 응력에 무게를 부여하는 식으로 이 모순을 해소하려는 시도도 검토하지만, 거울 벽으로 둘러싸인 상자 안에 복사를 가둔 사고 실험과, 완전탄성 충돌하는 물질점들(단원자 기체의 모형)을 담은 상자의 사고 실험을 통해, 만약 무게 없는 뼈대의 응력 부분에 중력이 작용한다고 가정하면 오히려 계의 관성질량과 중력질량이 어긋나게 된다는 것을 보여, 이런 식의 해결책을 기각한다.
즉 식 (3a)와, 물질점의 운동방정식으로부터 필연적으로 따라 나오는 힘의 표현이 반작용 원리를 어긴다는 문제는 그대로 남는다. 운동방정식 자체를 의심해볼 수도 있겠지만, 이는 거의 손댈 수 없다는 것을 별도의 논증(옛 상대성이론의 결과와 부합하도록 운동량의 형태를 제약하는 차원 분석 논증)으로 보인다.
그리하여 아인슈타인은 다음과 같은 결론에 이른다: 이 반작용 원리 위반을 해소하는 유일한 길은, 방정식 (3a)와 (8a)를 — 힘의 식 \(\mathfrak{R} = -m\,\mathrm{grad}\,c\)를 그대로 유지한 채로 — 반작용 원리를 만족시키는, \(c\)에 대해 (여전히) 동차인 다른 방정식으로 바꾸는 것뿐이다. 그는 이 발걸음을 내딛기가 쉽지 않다고 솔직히 토로한다 — 왜냐하면 이로써 “무조건적 등가원리”의 토대를 떠나게 되기 때문이다. 등가원리는 오직 무한소 크기의 장에 대해서만 유지될 수 있는 것으로 보인다고 그는 적는다. (다만 물질점의 운동방정식과 전자기방정식의 앞선 유도들은, 이들이 오직 무한소 공간에 대해서만 방정식 (2)를 사용하므로 이 때문에 헛된 것이 되지는 않는다고 덧붙인다.)
임의의 공간에 걸쳐 뻗은 적분 \(\int \sigma\,\mathrm{grad}\,c\,d\tau\)를 적절히 변형함으로써, 아인슈타인은 (4)를 유지한 채로 (3a)를 다음과 같은 방정식으로 바꾸면 반작용 원리가 충족된다는 것을 보인다:
\[c\,\Delta c - \tfrac{1}{2}(\mathrm{grad}\,c)^2 = k c^2 \sigma, \tag{3b}\]
이는 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다:
\[\Delta\!\left(\tfrac{1}{2}c^2\right) = \cdots\]
여기서 \(\sigma\)는 포더러블 물질의 밀도, 또는 (뒤에서 밝히듯) 포더러블 물질의 밀도에 “주머니 계기”로 측정한 에너지 밀도를 더한 것을 뜻한다.
역주: 식 (3b)의 정확한 계수는 이번 스캔본의 OCR 손상이 심해 완전히 확정하지 못했다. 위에 옮긴 형태 \(c\Delta c - \tfrac12(\mathrm{grad}\,c)^2 = kc^2\sigma\)는 원문 OCR에 남아 있는 “\(c \Delta c - \tfrac{1}{2}(\mathrm{grad}\,c)^2 = k c^2 \sigma\)” 계열의 문자열과, 이 논문이 역사적으로 처음 제안한 비선형 장방정식이라는 사실(르네·자우어 등 과학사 연구가 이 식을 아인슈타인이 최초로 도입한 비선형 중력장방정식으로 규정하는 것)에 근거하여 재구성한 것이다. 핵심은 정확한 계수가 아니라, 이 지점에서 아인슈타인이 처음으로 — 장의 원천(물질 밀도 \(\sigma\))뿐 아니라 장 자기 자신의 에너지까지 방정식의 오른쪽에 들어가야 하는 비선형 방정식을 제안했다는 사실 자체다.
이 새로운 방정식이 옳다는 것은 에너지 논증으로도 뒷받침된다. 만약 모든 에너지 밀도(\(\sigma c\))가 중력의 힘선에 (음의) 발산을 만들어낸다면, 중력장 자체의 에너지 밀도에 대해서도 마찬가지여야 한다. (3b)를
\[\Delta c = k\left(\sigma c + \frac{(\mathrm{grad}\,c)^2}{2kc}\right)\]
의 형태로 쓰면, 괄호 안의 둘째 항이 바로 중력장 자체의 에너지 밀도로 해석되어야 한다는 것을 곧바로 알 수 있다. 아인슈타인은 이어서, 이 항이 에너지 원리의 관점에서도 실제로 중력장의 에너지 밀도를 나타낸다는 것을 — 유한한 영역에 놓인 물질을 무한소만큼 가상적으로 변위시켰을 때 그 물질에 가해야 하는 일이, 위 식의 괄호 안 전체 에너지 밀도를 전체 공간에 대해 적분한 값의 변화와 같아야 한다는 조건으로부터 — 증명한다.
이렇게 하여, 이 논문은 중력장방정식이 반드시 비선형이어야 한다는 것, 그리고 그 비선형성이 다름 아니라 “중력장 자신의 에너지도 새로운 중력장의 원천이 된다”는 물리적 요구에서 비롯된다는 것을 처음으로 명확히 보여준다. 이는 이듬해 그로스만과 함께 쓴 “Entwurf” 논문에서 중력장을 계량텐서 \(g_{\mu\nu}\) 전체로 표현하고, 그 장방정식이 처음부터 비선형적 구조(리치텐서류의 축약과 크리스토펠 기호의 이차항으로 이루어진 구조)를 가지도록 요구하게 되는 방향으로 곧바로 이어지는, 이 정적 이론 단계에서 나온 가장 중요한 통찰이라 할 수 있다.
논문 말미의 “교정 추기(Nachtrag zur Korrektur)”에서 아인슈타인은, 정적 중력장 속 물질점의 운동방정식이 라그랑주 방정식의 형태로 쓰면 매우 단순해진다는 것을 짧게 덧붙인다. 즉
\[H = -m\sqrt{c^2 - \dot{x}^2 - \dot{y}^2 - \dot{z}^2}\]
로 놓으면 운동방정식이 라그랑주 형식으로 얻어지며, 외력이 작용하지 않는 정적 중력장 속 물질점에 대해서는 그로부터
\[\delta\!\int (c^2\,dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2)^{1/2} = 0\]
과 같은 형태의 변분 원리(최단시간 원리에 해당)가 성립한다는 것을 지적한다. 아인슈타인은 (플랑크가 통상적인 상대성이론에 대해 이미 보인 바와 같이) 해석역학의 방정식들이 뉴턴역학을 훨씬 뛰어넘는 의미를 지닌다는 것이 여기서도 드러난다고 말하며, 마지막에 적은 해밀턴 방정식이 [동적 중력장을 다루는 이후 이론이] 어떤 방향으로 구성되어야 할지를 예감케 한다는 말로 논문을 맺는다 — 이는 그대로 “Entwurf”의 변분 원리적 접근을 예고하는 대목이다.