지은이: A. 아인슈타인
*역주: 이 논문은 아인슈타인이 1918년 1월 31일 프로이센 과학아카데미 전체회의에 (플랑크를 통해) 제출하고 1918년 2월 14일 자로 게재된 “Über Gravitationswellen”(중력파에 관하여, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1918, 154–167쪽)이다. 원문 자체가 밝히듯, 이 논문은 이 프로젝트에서 이미 번역한 1916년 논문 “중력장 방정식의 근사적 적분”(Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation)을 다시 다루면서, 그 논문에 있던 “유감스러운 계산상의 오류”(bedauerlicher Rechenfehler)를 바로잡은 것이다. 두 논문은 §1(지연퍼텐셜에 의한 근사방정식의 풀이)과 §2(중력장의 에너지 성분)의 논리 구조가 거의 그대로 대응하며, §3(평면파) 이하부터 내용이 실질적으로 갈라진다. 가장 중요한 정정은 §4에 있다: 1916년 논문은 계산상의 오류로 인해 구대칭을 유지하는 계도 중력파를 방출하는 것처럼 보이는 결과를 얻었으나, 이 1918년 논문은 오류를 바로잡아 오직 (시간에 따라 변하는) 사중극자 모멘트만이 중력복사를 일으키며 구대칭계는 결코 복사하지 않음을 보인다 — 이는 사실상 오늘날의 “사중극자 공식”(quadrupole formula)의 첫 올바른 형태이다. 새로 추가된 §5(중력파가 역학계에 미치는 작용)와 §6(레비-치비타의 이의에 대한 답변)도 이 논문에서 처음 나온다. §6은 보존법칙을 만족시키는 “가짜텐서”(에너지-운동량 유사텐서) \(t_{\mu\nu}\)의 물리적 의미를 둘러싼 아인슈타인과 레비-치비타 사이의 유명한 논쟁을 담고 있다.
저본에 관해 밝혀 둘 것이 있다: 이 논문이 게재된 1918년 프로이센 과학아카데미 회보(Sitzungsberichte, 1918년 상반기 합본)는 명백한 퍼블릭 도메인 자료이지만(1918년 발표, 아인슈타인은 1955년 사망하여 저작권 보호기간이 이미 만료됨), 이번에는 이용자가 확보해 둔 파일이 본문이 아니라 MPIWG(막스플랑크 과학사연구소) ECHO 서버의 서지정보 페이지뿐이었고, 그 서버의 실제 지면 이미지 뷰어와 ADS의 PDF도 이 세션에서는 접근할 수 없었다. 대신 같은 1918년 상반기 합본을 스캔·OCR화하여 공개해 둔 인터넷 아카이브(Internet Archive)의 판본(識別子 in.ernet.dli.2015.105029, 인도 정부 고고학조사국 도서관 소장본)에서 154–168쪽에 걸친 이 논문의 OCR 전문을 확보하여 번역의 저본으로 삼았다. 다만 이 OCR 텍스트는 옛 활자체 스캔 특유의 잡음(예: κ가 x로, M이 31로, γ가 7로 잘못 인식되는 등)이 있어, 본문의 논증 서술과 수식의 논리적 구조는 신뢰할 수 있는 수준으로 복원하였으나, 몇몇 수식의 정확한 계수는 원문 지면 이미지 없이는 완전히 확신할 수 없었다. 이런 경우 이 프로젝트에서 이미 번역해 둔 1916년 논문(D16a)과의 구조적 대응 관계 및 이 사료가 물리학사에서 널리 논의되어 온 잘 알려진 결과라는 점에 근거하여 복원하되, 계수 하나를 특정하기 어려운 극히 일부 대목에는 그 사실을 역주로 명시하였다.
이 논문 역시 1916년 논문과 마찬가지로 허수 시간변수 \(x_4=it\)를 쓰며（\(\delta_{\mu\nu}\)는 \(\mu=\nu\)일 때 \(-1\), \(\mu\neq\nu\)일 때 \(0\)이다）, \(\gamma_{\mu\nu}\)·\(\varkappa\) 등의 표기는 1916년 논문과 통일하였다. 수식 번호는 원문의 것을 그대로 따랐다.*
중요한 문제, 곧 중력장이 어떤 방식으로 전파되는지에 관해서는 이미 1년 반 전에 나의 아카데미 논문\(^{1)}\)에서 다룬 바 있다. 그러나 당시의 서술이 충분히 명료하지 못했을 뿐 아니라 유감스러운 계산상의 오류로 훼손되어 있었으므로, 나는 여기서 이 문제를 다시 다루지 않을 수 없다.
당시와 마찬가지로 여기서도, 고찰하는 시공 연속체가 “갈릴레이적인” 것과 아주 조금밖에 다르지 않은 경우로 논의를 제한한다. 모든 지표에 대해
\[g_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu} + \gamma_{\mu\nu} \tag{1}\]
로 둘 수 있도록, 특수상대성이론에서 흔히 그렇게 하듯, 시간변수 \(x_4\)를 순허수로 택하여 \(x_4=it\)로 둔다. 여기서 \(t\)는 “빛시간”(Lichtzeit)을 뜻한다. (1)식에서 \(\delta_{\mu\nu}\)는 \(\mu=\nu\)이면 \(-1\), \(\mu\neq\nu\)이면 \(0\)이다. \(\gamma_{\mu\nu}\)는 1에 비해 작은 양으로서, 연속체가 장이 없는 상태로부터 벗어난 정도를 나타내며, 로렌츠 변환에 대해 2계 텐서를 이룬다.
| 각주 |
| 1) 이 회보 1916년, 688쪽 이하. |
우리는 임의의 좌표계에 대해 성립하는 장방정식\(^{2)}\)
\[R_{\mu\nu}+S_{\mu\nu} = -\varkappa\left(T_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu}T\right) \tag{2}\]
에서 출발한다. 여기서 \(T_{\mu\nu}\)는 물질의 에너지텐서, \(T\)는 그에 딸린 스칼라이다. \(\gamma_{\mu\nu}\)의 \(n\)차 항으로 이루어진 양을 \(n\)차의 작은 양이라 부르기로 하고, (2)식의 양변을 계산할 때 가장 낮은 차수의 항으로 논의를 제한하면, 다음의 근사방정식 체계를 얻는다.
\[\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu\partial x_\alpha}+\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu\partial x_\alpha}-\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha^2}-\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2\gamma_{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha\partial x_\beta} = -2\varkappa\left(T_{\mu\nu}-\frac12\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha T_{\alpha\alpha}\right) \tag{2a}\]
\(\gamma_{\mu\nu}\) 대신 함수
\[\gamma_{\mu\nu}' = \gamma_{\mu\nu}-\frac12\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha} \tag{3}\]
를 도입하면, 이 방정식의 좌변을 보기 좋게 쓸 수 있다. 그러면 방정식은 다음의 형태를 취한다.
\[\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\alpha^2} + (\text{좌표계 선택에 따라 사라지는 항}) = -2\varkappa T_{\mu\nu}\]
10개의 함수 \(\gamma_{\mu\nu}'\)에 대해 이 방정식 (4)식 이외에 아무런 과잉 결정도 일으키지 않으면서 4개의 조건을 더 요구할 수 있다. 그 정당성은 다음과 같은 사정에서 비롯한다. 방정식 (2)는 임의의 치환에 대해 공변이다. 곧 좌표계를 어떻게 택하든 성립한다. 새로운 좌표계를 도입하면, 그 계의 \(g_{\mu\nu}'\)은 좌표변환을 정의하는 4개의 임의의 함수에 의존한다. 이 4개의 함수를, 새 계의 \(g_{\mu\nu}\)가 4개의 임의로 지정한 관계를 만족하도록 택할 수 있다. 우리가 관심을 두는 근사에서는 이 관계가 다음의 조건
\[\sum_\alpha\frac{\partial\gamma_{\mu\alpha}'}{\partial x_\alpha} = 0 \tag{5}\]
으로 옮아가도록 택하기로 한다. 이 방정식은 그러므로 우리가 택한, 좌표계를 정하는 규정을 뜻한다. (5)식 덕분에 (4)식 대신 다음의 간단한 방정식을 얻는다.
\[\sum_\alpha\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\alpha^2} = 2\varkappa T_{\mu\nu} \tag{6}\]
(6)식으로부터, 중력장이 빛의 속도로 전파된다는 것을 알 수 있다. \(T_{\mu\nu}\)가 주어지면, 이로부터 \(\gamma_{\mu\nu}'\)을 지연퍼텐셜의 방식으로 계산할 수 있다. \(x,y,z,t\)를 \(\gamma'\)을 계산하고자 하는 관측점의 실수 좌표, \(x_0,y_0,z_0\)를 공간요소 \(dV_0\)의 공간좌표, \(r\)을 이 요소와 관측점 사이의 공간적 거리라 하면,
\[\gamma_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi}\int\frac{T_{\mu\nu}(x_0,y_0,z_0,t-r)}{r}\,dV_0 \tag{7}\]
을 얻는다.
| 각주 |
| 2) \(\lambda\)항의 도입(이 회보 1917년, 142쪽 참조)은 여기서는 다루지 않는다. |
나는 이전에\(^{1)}\), 좌표를 조건 \(\sqrt{g}=1\)에 따라 택하는 경우에 대해 중력장의 에너지 성분을 명시적으로 제시한 바 있다. 이 조건은 여기서 다루는 근사에서는 \(\partial(\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha})/\partial t = 0\)에 해당할 것이다. 그러나 이 조건은 우리가 지금 택한 좌표에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러므로 여기서는 에너지 성분을 별도의 논의를 통해 구하는 것이 가장 간단하다.
이때 다음의 어려움에 유의해야 한다. 우리의 장방정식 (6)은 오직 1차 근사에서만 옳은 데 비해, 에너지방정식은 — 쉽게 알 수 있듯이 — 2차의 작은 양이다. 그러나 우리는 다음과 같은 방법으로 어렵지 않게 목표에 이를 수 있다. (물질의) 에너지 성분 \(T_{\mu\nu}\)와 (중력장의) 에너지 성분 \(t_{\mu\nu}\)는 일반이론에 따라 다음의 관계를 만족한다.
\[\sum_\nu\frac{\partial(T_{\mu\nu}+t_{\mu\nu})}{\partial x_\nu} = 0\]
이로부터
\[\sum_\nu\frac{\partial t_{\mu\nu}}{\partial x_\nu} = -\sum_\nu\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x_\nu}\]
이 따라 나온다. 우변을, \(\partial T_{\mu\nu}/\partial x_\nu\)를 장방정식으로부터 얻어 좌변과 같은 형태로 만들면, 이로부터 \(t_{\mu\nu}\)를 알아낼 수 있다. 이 방정식의 우변에서는, 우리가 다루는 근사의 경우 두 인자가 모두 1차의 작은 양이다. 그러므로 2차 항까지 정확한 \(t_{\mu\nu}\)를 얻으려면, 우변의 두 인자를 1차 근사까지만 정확하게 대입하면 충분하다. 곧 (6)식에 의해 \(\partial T_{\mu\nu}/\partial x_\nu\) 대신, \(\dfrac{1}{2\varkappa}\dfrac{\partial}{\partial x_\nu}\sum_\alpha\dfrac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}'}{\partial x_\alpha^2}\)를 대입해도 좋다. \(t_{\mu\nu}\)에 대해서는, \(\gamma_{\mu\nu}'\)과 지표의 성격에서 유사한 양 \(t_{\mu\nu}\)를 도입하기로 하며, 이는 우리가 다루는 근사 정도에서는 앞서 말한 \(t_{\mu\nu}\)와 부호만 다르다. 이렇게 하여 \(t_{\mu\nu}\)를 다음 방정식에 따라 정한다.
\[\varkappa t_{\mu\nu} = \frac14\left[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\mu}\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\nu}-\frac12\delta_{\mu\nu}\sum_{\alpha\beta\rho}\left(\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}'}{\partial x_\rho}\right)^2\right] \tag{8}\]
우변을 변형할 때에는, (3)식에 의해
\[\gamma_{\mu\nu} = \gamma_{\mu\nu}'-\frac12\delta_{\mu\nu}\sum_\alpha\gamma_{\alpha\alpha}' \tag{3a}\]
로 두어야 한다는 것과, (6)식에 의해 \(T_{\mu\nu}\)를 \(\gamma_{\mu\nu}'\)로 나타낼 수 있다는 것을 이용한다.
\(t_{\mu\nu}\)의 물리적 의미는 다음의 고찰을 통해 가장 쉽게 알 수 있다. \(t_{\mu\nu}\)는 중력장에 대해, \(T_{\mu\nu}\)가 물질에 대해 갖는 것과 같은 역할을 한다. 비간섭적인 가측(可測)물질에 대해서는, 1차의 작은 양으로 국한하는 한
\[T_{\mu\nu} = \varrho\,\frac{dx_\mu}{ds}\frac{dx_\nu}{ds} \tag{9}\]
이다. 여기서 \(\varrho\)는 물질의 밀도 스칼라이다. 그러므로 \(T_{ik}\ (i,k=1,2,3)\)은 압력 성분에 대응하고, \(T_{i4}\ (i=1,2,3)\)은 \(\sqrt{-1}\)을 곱한 운동량밀도 벡터, 곧 에너지흐름밀도에 해당하며, \(T_{44}\)는 부호를 바꾼 에너지밀도이다. 중력장에 관련된 \(t_{\mu\nu}\)의 해석도 이와 마찬가지이다.
먼저 예로서, 정지한 점질량 \(M\)의 장을 다루어 보자. (7)식과 (9)식으로부터 곧바로
\[\gamma_{44}' = -\frac{\varkappa M}{2\pi r} \tag{11}\]
을 얻으며, 그 밖의 모든 \(\gamma_{\mu\nu}'\)은 사라진다. \(\gamma_{\mu\nu}\)에 대해서는 (11)식과 (3a)식, (1)식으로부터, 처음에 드 지터가 제시했던 값이 얻어진다.
\[\gamma_{\mu\nu} = \frac{\varkappa M}{4\pi r}\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \tag{11a}\]
일반적으로 \(0=ds^2=\sum g_{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu\)로 주어지는 광속 \(c\)는, 여기서는 관계식
\[-\Big(1+\frac{\varkappa M}{4\pi r}\Big)(dx^2+dy^2+dz^2)+\Big(1-\frac{\varkappa M}{4\pi r}\Big)c^2dt^2 = 0\]
으로부터 나온다. 그러므로 우리가 택한 좌표계에서는 광속이
\[c = 1-\frac{\varkappa M}{4\pi r} \tag{12}\]
로, 방향에는 무관하고 위치에만 의존한다.\(^{*}\) 또한 (11a)식으로부터, 작은 강체가 위치를 바꿀 때 그 모습은 대체로 그대로 유지되지만, 좌표로 잰 그 길이는 \(\big(1+\tfrac{\varkappa M}{4\pi r}\big)^{-1/2}\)의 비율로 변화한다는 것도 알 수 있다.
(역주: \(^{*}\) (12)식의 정확한 계수는 저본 OCR에서 완전히 판독되지 않아, 위 유도 과정에 근거하여 1차 근사로 복원하였다. 요지 — 이 좌표계에서 광속이 위치에는 의존하되 방향에는 무관하다는 것 — 는 본문에 뚜렷이 남아 있으며, 이는 이 프로젝트에서 이미 번역한 1912년의 두 논문(“빛의 속도와 정적 중력장의 정역학”, “정적 중력장이론”)에서 다룬 위치 의존적 광속 개념이 1918년의 이 완성된 선형화 이론에서도 그대로 이어지고 있음을 보여 준다.)
\(\gamma_{\mu\nu}'\)의 값들은 좌표계 선택에 전적으로 의존한다. 이는 노르드스트룀 선생이 이미 오래전에 서신으로 나에게 일깨워 준 바 있다. 조건 \(\sqrt{|g|}=1\)에 따라 좌표를 택하는 경우, 나는 이전에 점질량의 경우에 대해 다음의 표현을 제시한 바 있다.
\[g_{ik} = -\delta_{ik}-\frac{\varkappa M}{4\pi}\frac{x_ix_k}{r^3}\ (i,k=1,2,3),\qquad g_{i4}=g_{4i}=0,\qquad g_{44}=1-\frac{\varkappa M}{4\pi r}\]
이 좌표계 선택에서는, 중력장의 에너지 성분을 (13)식으로 2차 근사까지 정확하게 계산하면 모두 사라진다.
적절한 기준계 선택을 통해서라면 언제나 중력장의 에너지 성분을 모두 사라지게 만들 수 있으리라고 추측할 수도 있을 것이며, 이는 대단히 주목할 만한 일이 될 것이다. 그러나 일반적으로는 그렇지 않다는 것을 쉽게 보일 수 있다.
| 각주 |
| 1) Ann. d. Phys. 49, 1916년, 식 (50). |
평면 중력파를 찾기 위해, 장방정식 (6)을 만족시키는 다음의 시도를 세운다.
\[\gamma_{\mu\nu}' = a_{\mu\nu}\,f(x_1+ix_4) \tag{14}\]
여기서 \(a_{\mu\nu}\)는 실수 상수이고, \(f\)는 \((x_1+ix_4)\)의 실함수이다. (5)식으로부터 다음의 관계가 나온다.
\[a_{\mu 1}+ia_{\mu 4} = 0\quad(\mu=1,2,3,4) \tag{15}\]
(15)식의 조건이 만족되면, (14)식은 가능한 중력파를 나타낸다. 이 파동의 물리적 성격을 더 자세히 살펴보기 위해, 그 에너지흐름밀도 \(\mathfrak{f}\)를 계산해 보자. (15)식에 주어진 \(\gamma_{\mu\nu}'\)을 (8)식에 대입하면
\[\varkappa\mathfrak{f} = \frac14 f'^2\Big[\big(a_{22}-a_{33}\big)^2+4a_{23}^2\Big] \tag{16}\]
을 얻는다. 이 결과에서 놀라운 점은, (15)식을 고려할 때 (14)식에 나타나는 여섯 개의 임의의 상수 가운데 오직 둘만이 (16)식에 나타난다는 것이다. \(a_{22}=a_{33}\)이고 \(a_{23}=0\)인 파동은 에너지를 나르지 않는다. 이러한 사정은, 이러한 파동이 어떤 의미에서는 전혀 실재하지 않는다는 데 그 원인이 있으며, 이는 다음의 고찰에서 가장 간단하게 드러난다.
먼저 (15)식을 고려할 때, 에너지를 나르지 않는 파동의 \(a_{\mu\nu}\) 성분표는 다음과 같다는 것에 유의하자.
\[\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma&i\alpha\\\beta&\delta&\varepsilon&i\beta\\\gamma&\varepsilon&\zeta&i\gamma\\i\alpha&i\beta&i\gamma&-\alpha\end{pmatrix}\]
여기서 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\zeta\)는 서로 독립적으로 택할 수 있는 여섯 개의 수를 나타낸다.
이제 장이 없는 공간을 생각하되, 그 선소 \(ds\)가 적절히 택한 좌표 \((x_1',x_2',x_3',x_4')\)에 대해
\[-ds^2 = dx_1'^2+dx_2'^2+dx_3'^2+dx_4'^2 \tag{18}\]
의 형태로 나타난다고 하자. 이제 다음의 치환에 근거하여 새로운 좌표 \(x_1,x_2,x_3,x_4\)를 도입한다.
\[x_\mu' = x_\mu-A_\mu\varphi(x_1+ix_4) \tag{19}\]
\(A_\mu\)는 네 개의 실수인 무한소 상수이고, \(\varphi\)는 인수 \((x_1+ix_4)\)의 실함수이다. (18)식과 (19)식으로부터, \(A\)에 관해 2차인 양을 무시하면
\[dx_\mu'^2 = dx_\mu^2+2\varphi'(dx_1+idx_4)\sum_\nu A_\nu dx_\nu\]
가 따라 나온다. 이로부터 해당하는 \(\gamma_{\mu\nu}\)의 값을 얻고, 나아가 \(\gamma_{\mu\nu}'\)에 대해서는 함수 \(\varphi\)와 (14)식의 함수 \(f\)가
\[\varphi' = f \tag{21}\]
의 관계로 맺어져 있다고 하면, 상수의 표기법상의 차이를 제외하면 (20)식에 따른 \(\gamma_{\mu\nu}'\)이 (14)식과 (17)식에 따른 \(\gamma_{\mu\nu}'\)과 완전히 일치함이 드러난다.
에너지를 나르지 않는 이러한 중력파는, 그러므로 장이 없는 계로부터 단순한 좌표변환만으로 만들어 낼 수 있다. 그 존재는 (이러한 뜻에서) 오직 겉보기에 지나지 않는다. 본래의 뜻에서 실재하는 것은, 그러므로 \(x_1\)축을 따라 전파되면서 양 \(\gamma_{22}'-\gamma_{33}'\)과 \(\gamma_{23}'\)의 전파에 대응하는 파동뿐이다. 이 두 파동 유형은 본질에서가 아니라 방향(방위)에서만 서로 다르다. 파동장은 전파 방향에 수직한 평면에서 각도를 변형시킨다. 에너지흐름·운동량·에너지의 밀도는 (16)식으로 주어진다.
좌표 원점에 무게중심이 늘 머무르는 고립된 역학계를 생각하자. 그 안에서 일어나는 변화는 아주 느리고, 그 공간적 크기는 매우 작아서, 계 안의 임의의 두 질점 사이 거리에 대응하는 빛시간을 무한히 짧다고 볼 수 있다고 하자. 우리는 이 계가 양의 \(x\)축 방향으로 보내는 중력파에 대해 묻는다.
방금 말한 제한에 따라, 관측점의 원점으로부터의 거리 \(R\)이 충분히 클 때에는 (7)식 대신 다음의 식을 쓸 수 있다.
\[\gamma_{\mu\nu}' = -\frac{\varkappa}{2\pi R}\int T_{\mu\nu}(x_0,y_0,z_0,t-R)\,dV_0 \tag{7a}\]
우리는 에너지를 나르는 파동만을 살펴보아도 되므로, §3의 결과에 따라 성분 \(\gamma_{23}'\)과 \(\tfrac12(\gamma_{22}'-\gamma_{33}')\)만을 구하면 된다. (7a)식 우변에 나타나는 공간적분은, 로렌츠 선생이 고안한 방식으로 변형할 수 있다. 여기서는 적분
\[\int T_{22}\,dV_0\]
의 계산만을 자세히 보이기로 한다. 두 운동량 방정식
\[\sum_\alpha\frac{\partial T_{2\alpha}}{\partial x_\alpha} = 0,\qquad \sum_\alpha\frac{\partial T_{3\alpha}}{\partial x_\alpha} = 0\]
에 각각 \(-x_2\), \(-x_3\)을 곱하고, 이를 물질계 전체에 대해 적분한 뒤 서로 더하고, 부분적분을 통해 간단히 변형하면 다음을 얻는다.
\[-\int T_{22}\,dV_0+\frac{\partial}{\partial x_4}\Big(\int T_{24}\,x_2\,dV_0\Big) = 0\]
이 마지막 적분은, 다시 에너지방정식을 \(x_2x_4\)를 곱하여 변형함으로써
\[\int T_{22}\,dV_0 = \frac{\partial^2}{\partial x_4^2}\Big(\int T_{44}\,\frac{x_2^2}{2}\,dV_0\Big)\]
로 정리되고, 실수 좌표를 도입하고 \((-T_{44})\)를 물질의 밀도 \(\varrho\)로 대체하면
\[\int T_{22}\,dV_0 = -\frac12\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big(\int\varrho\,x_2^2\,dV_0\Big)\]
를 얻는다. 이러한 계산을 되풀이하면, 다음의 세 결과를 얻는다.
\[\int T_{22}\,dV_0=-\frac12\ddot J_{22},\qquad \int T_{33}\,dV_0=-\frac12\ddot J_{33},\qquad \int T_{23}\,dV_0=-\ddot J_{23} \tag{22, 24}\]
이때 약자로
\[J_{\alpha\beta} = \int\varrho\,x_\alpha x_\beta\,dV_0 \tag{23}\]
를 도입하였다. \(J_{\alpha\beta}\)는 물질계의 (시간에 따라 변하는) 관성모멘트 성분이다. (7a)식과 (22),(24)식으로부터
\[\gamma_{23}' = \frac{\varkappa}{4\pi R}\dddot J_{23},\qquad \frac12(\gamma_{22}'-\gamma_{33}') = \frac{\varkappa}{4\pi R}\cdot\frac12(\dddot J_{22}-\dddot J_{33}) \tag{25, 26}\]
을 얻는다. (25),(26)식의 \(J\)는 시각 \(t-R\)에서의 값을 취해야 하며, 곧 \(t-R\)의 함수, 또는 \(R\)이 크고 \(x\)축 부근이라면 \(t-x\)의 함수이다. (25),(26)식은 이렇게 하여 중력파를 나타내며, 그 에너지흐름은 (16)식에 따라 밀도
\[\varkappa\mathfrak{f} = \frac{\varkappa^2}{64\pi^2R^2}\Big[\big(\dddot J_{22}-\dddot J_{33}\big)^2+4(\dddot J_{23})^2\Big] \tag{27}\]
을 갖는다.
이제 우리는 이 계가 중력파로 방출하는 총 복사량을 계산하는 과제를 세운다. 이를 위해 먼저, 고찰하는 역학계가 방향코사인 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)로 정해지는 방향으로 내보내는 에너지복사를 구하기로 한다. 이는 변환을 통해서도, 또는 더 간단하게는 다음의 형식적 과제로 되돌림으로써 풀 수 있다.
\(A_{\mu\nu}\)를 (3차원의) 대칭텐서, \(\alpha_\mu\)를 벡터라 하자. \(A_{\mu\nu}\)에 관해 완전히 2차 동차이고, \(\alpha_\mu\)의 함수이기도 한 스칼라 \(S\)를 찾되, \(\alpha_1=1,\alpha_2=\alpha_3=0\)일 때
\[S \to A_{22}^2+A_{33}^2+2A_{23}^2\]
로 되는 것을 구한다. 이렇게 구한 스칼라는
\[S = \sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}^2-2\sum_{\alpha\beta\gamma}A_{\alpha\beta}A_{\beta\gamma}\alpha_\alpha\alpha_\gamma+\frac12\Big(\sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}\alpha_\alpha\alpha_\beta\Big)^2 \tag{28}\]
이다. \(A_{\alpha\beta}=\dddot J_{\alpha\beta}\)로 두면, \(S\)가 바로 방향 \((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)으로 이 역학계로부터 사방으로 뻗어 나가는 중력복사의 (계수를 제외한) 밀도임이 분명하다.
\(A_{\alpha\beta}\)를 고정한 채 \(S\)를 공간의 모든 방향에 대해 평균하면, 복사의 평균 밀도 \(\bar S\)를 얻는다. 이에 \(4\pi R^2\)을 곱한 것이 바로, 역학계가 중력파를 통해 단위시간당 잃는 에너지이다. 계산 결과는 다음과 같다.
\[\frac{dE}{dt} = -\frac{\varkappa}{4\pi}\cdot\frac{1}{5}\sum_{\alpha\beta}\Big(\dddot J_{\alpha\beta}-\frac13\delta_{\alpha\beta}\sum_\gamma\dddot J_{\gamma\gamma}\Big)^2 \tag{30}\]
이 결과로부터, 언제나 구대칭을 유지하는 역학계는 결코 복사할 수 없음을 알 수 있다 — 이는 계산상의 오류로 훼손되었던 이전 논문의 결과와는 상반된다. (27)식으로부터, 어떤 방향으로도 복사가 음수가 될 수 없으며, 따라서 총 복사량 역시 결코 음수가 될 수 없음이 분명하다.
이미 이전 논문에서도 강조하였듯이, 이 고찰의 최종 결과는 열운동으로 인한 물체의 에너지 손실을 요구하게 되는데, 이는 이 이론의 일반적 타당성에 의문을 불러일으킬 수밖에 없다. 완성된 양자론이라면 맥스웰 전기역학뿐 아니라 이 중력이론 또한 수정할 수밖에 없으리라고 여겨진다.
(역주: (30)식의 정확한 수치 계수는 저본 OCR에서 온전히 판독되지 않았다. 위에 제시한 형태 — 곧 관성모멘트텐서의 대각합(자취)을 제거한 부분(즉 사중극자 모멘트)의 세 번째 시간미분의 제곱합에 비례한다는 구조 — 는 본문의 논증(구대칭계는 방사하지 않는다는 결론)과 정합하며, 오늘날 “사중극자 공식”으로 불리는 결과의 최초의 올바른 형태에 해당한다는 것이 물리학사 문헌에서 널리 확인된 사실이다. 다만 계수 \(\tfrac1{4\pi}\cdot\tfrac15\)는 1916년 논문(D16a, 이 프로젝트의 기존 번역)의 (잘못된) 계수 \(\tfrac1{24\pi}\)와의 관계를 참고하여 복원한 것으로, 원문 지면 이미지로 대조하기 전까지는 잠정적임을 밝혀 둔다.)
완결을 위해, 중력파의 에너지가 어떻게 역학계로 옮아갈 수 있는지도 간략히 살펴보기로 하자. 다시 §4에서 다룬 종류의 역학계를 생각한다. 이 계가, 계의 크기에 비해 파장이 훨씬 긴 중력파의 작용을 받는다고 하자. 계가 얻는 에너지를 알아내기 위해, 우리는 물질의 운동량-에너지 방정식
\[\sum_\nu\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x_\nu} = 0\]
에서 출발한다. \(\mu=4\)(에너지방정식)에 대해 계 전체에 걸쳐 이를 적분하면
\[\frac{\partial}{\partial x_4}\Big(\int T_{44}\,dV\Big) = -\sum_{\alpha}\frac12\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}}{\partial x_4}\,(\cdots)\]
를 얻는다. 좌변의 적분은 물질계 전체의 에너지 \(E\)이다. 그러므로 좌변은 이 에너지의 시간에 따른 증가율이다. 실수 시간에 대한 미분으로 바꾸고, 우변에서는 2차의 작은 양까지만 남기면 다음을 얻는다.
\[\frac{dE}{dt} = \frac12\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial\gamma_{\alpha\beta}}{\partial t}\int T_{\alpha\beta}\,dV\]
이제 중력장을 나타내는 \(\gamma_{\mu\nu}\)를, 입사하는 파동에 대응하는 부분 \((\gamma_{\mu\nu})_1\)과 나머지 부분 \((\gamma_{\mu\nu})_2\)로 나눌 수 있다.
\[\gamma_{\mu\nu} = (\gamma_{\mu\nu})_1+(\gamma_{\mu\nu})_2\]
그러면 위 식 우변의 적분도 두 적분의 합으로 나뉘며, 그 가운데 첫째 것이 파동에서 비롯한 에너지 증가를 나타낸다. 여기서는 오직 이것에만 관심이 있으므로, 표기를 복잡하게 만들지 않기 위해 \(dE/dt\)가 파동만으로부터 비롯한 에너지 증가를, \(\gamma_{\alpha\beta}\)가 위에서 \((\gamma_{\alpha\beta})_1\)이라 한 부분을 뜻하는 것으로 새기기로 한다. 그러면 \(T_{\alpha\beta}\)는 국소적으로 느리게 변화하는 함수이므로
\[\int T_{\alpha\beta}\,dV \approx (\text{상수})\]
로 두어도 좋다. 작용하는 파동을 에너지를 나르는 파동으로 하되, 그 가운데 오직 성분 \(\gamma_{23}(=\gamma_{23}')\)만이 0이 아니라고 하면, (22)식에 의해
\[\frac{dE}{dt} = \frac12\frac{\partial\gamma_{23}}{\partial t}\ddot J_{23}\]
이다. 주어진 파동과 주어진 역학적 과정에 대해, 이로부터 파동이 계에 넘겨준 에너지를 적분을 통해 구할 수 있다.
레비-치비타 선생은 최근 일련의 흥미로운 연구를 통해 일반상대성이론의 여러 문제를 밝히는 데 이바지하였다. 그 연구들 가운데 하나\(^{1)}\)에서 그는 보존법칙에 관해 나와는 다른 입장을 취하며, 이 자신의 견해에 근거하여 중력파를 통한 에너지 방사에 관한 나의 논증이 정당한지를 문제 삼는다. 우리는 그동안 서신 왕래를 통해 이 물음을 서로 만족스러운 방식으로 해명하였지만, 나는 이 문제를 위해 보존법칙에 관한 몇 가지 일반적인 소견을 여기에 덧붙이는 것이 좋으리라고 생각한다.
일반상대성이론의 기초에 따르면, 좌표계를 어떻게 선택하든 성립하는 다음 형태의 네 방정식이 존재한다는 것은 널리 인정되고 있다.
\[\sum_\nu\frac{\partial(T_\nu^\sigma+t_\nu^\sigma)}{\partial x_\nu} = 0\qquad(\sigma=1,2,3,4) \tag{35}\]
여기서 \(T_\nu^\sigma\)는 물질의 에너지 성분이고, \(t_\nu^\sigma\)는 \(g_{\mu\nu}\)와 그 1차 도함수들의 함수이다. 그러나 이 \(t_\nu^\sigma\)를 중력장의 에너지 성분으로 보아야 하는지에 관해서는 견해가 갈린다. 나는 이러한 견해차가 실질적인 것이 아니라 단순한 낱말의 문제에 지나지 않는다고 본다. 다만 나는, 위에 제시한, 아무도 부정하지 않는 방정식이야말로 보존법칙의 가치를 이루는 저 조망의 편의를 가져다준다고 주장한다. 이를 네 번째 방정식(\(\sigma=4\)) — 나는 이를 에너지방정식이라 부르곤 한다 — 에 대해 설명해 보자.
공간적으로 국한된 물질계가 있고, 그 바깥에서는 물질밀도와 전자기장의 세기가 사라진다고 하자. 이 물질계 전체를 둘러싸는 정지한 곡면 \(S\)를 생각하자. 그러면 네 번째 방정식을 \(S\)로 둘러싸인 공간에 대해 적분함으로써 다음을 얻는다.
\[-\frac{\partial}{\partial t}\Big\{\int(T_{44}+t_{44})\,dV\Big\} = \int\big(t_{41}\cos(n,x_1)+t_{42}\cos(n,x_2)+t_{43}\cos(n,x_3)\big)\,d\sigma\]
\(t_{44}\)를 중력장의 에너지밀도로, \((t_{41},t_{42},t_{43})\)을 중력에너지흐름의 성분으로 불러야 할 이유를, 그 어떤 근거로도 강제할 수는 없다. 그러나 다음과 같이는 주장할 수 있다: 만약 \(t_{44}\)의 공간적분이 “물질적” 에너지밀도의 그것에 비해 작다면, 위 방정식의 우변은 틀림없이 그 계의 물질적 에너지의 손실을 나타낸다는 것이다. 바로 이 점만이, 위 논의에서, 그리고 앞선 나의 중력파 논문에서 실제로 이용된 전부이다.
레비-치비타 선생은 (그리고 그보다 앞서 더 온건한 형태로 로렌츠 선생도) (35)식과는 다른 보존법칙의 정식화를 제안하였다. 그는 (그리고 다른 몇몇 동료 학자들도) \(t_{\mu\nu}\)가 텐서를 이루지 않는다는 이유로 (35)식을 강조하는 것과 위와 같은 해석에 반대한다. 이 점은 인정할 수밖에 없다. 그러나 나는, 텐서 성분의 변환 성질을 갖지 않는 양에 물리적 의미를 부여해서는 안 될 이유를 알지 못한다. 오직 필요한 것은, 그 방정식 체계가 좌표계를 어떻게 택하든 성립한다는 것뿐이며, 방정식 체계 (35)는 바로 이 조건을 충족한다. 레비-치비타는 다음과 같은 운동량-에너지 법칙의 정식화를 제안한다. 그는 중력장방정식을 다음의 형태로 쓴다.
\[T_{\mu\nu}+A_{\mu\nu} = 0 \tag{37}\]
여기서 \(T_{\mu\nu}\)는 물질의 에너지텐서이고, \(A_{\mu\nu}\)는 \(g_{\mu\nu}\)와 그 처음 두 계의 좌표에 대한 도함수에 의존하는 공변텐서이다. 이 \(A_{\mu\nu}\)가 중력장의 에너지 성분으로 불린다.
이러한 명명에 대해 논리적으로 이의를 제기할 수는 물론 없다. 그러나 나는, 방정식 (37)로부터는 우리가 보존법칙으로부터 이끌어내는 데 익숙한 것과 같은 종류의 결론을 이끌어낼 수 없다고 본다. 이는 (37)식에 따르면 총 에너지 성분이 어디서나 사라진다는 사정과 관련이 있다. (37)식은 예컨대 — (35)식과는 달리 — 어떤 물질계가 아무런 흔적도 남기지 않고 완전히 무(無)로 사라지는 것을 배제하지 않는다. 왜냐하면 (37)식에 따르면 (그러나 (35)식에 따르지는 않는다) 그 계의 총 에너지는 처음부터 이미 0이며, 이 에너지값의 보존은 그 계가 어떤 형태로든 계속 존재할 것을 요구하지 않기 때문이다.
| 각주 |
| 1) Atti della R. Accad. dei Lincei, 제26권, 제2차 세미스터, 1917년 4월 1일 회기. |
(역주: 이 §6은 일반상대성이론사에서 잘 알려진 아인슈타인-레비치비타 논쟁의 핵심 문서이다. 아인슈타인의 입장 — 좌표계에 따라 값이 달라지는 “가짜텐서(pseudotensor)” \(t_{\mu\nu}\)라도, 그것이 물질의 에너지텐서와 함께 만족스러운 보존법칙 (35)를 이루는 한 물리적으로 유의미하다는 것 — 은 이후에도 일반상대성이론에서 중력장의 에너지를 다루는 표준적 입장으로 남았으며, 오늘날에도 “중력에너지의 국소화 불가능성” 문제로 논의된다.)
(1918년 2월 14일 발행.)