# 중력장은 물질 소립자의 구조에서 본질적인 역할을 하는가?

알베르트 아인슈타인, 1919

> 번역 저본: A. Einstein, “Do Gravitational Fields Play an Essential Part in the Structure of the Elementary Particles of Matter?”, in *The Principle of Relativity*, trans. W. Perrett and G. B. Jeffery, pp. 189–198. 공개 영역 영어 번역을 바탕으로 새로 옮겼다. 식은 스캔 OCR의 탈락을 바로잡아 표준 텐서 표기로 정리했다.

뉴턴의 중력이론도 상대론적 중력이론도 지금까지 물질의 구성 이론을 진전시키지 못했다. 이 사실을 염두에 두고, 이하에서는 원자를 이루는 기본적인 구조들이 중력에 의해 결합되어 있다고 생각할 만한 이유가 있음을 보이겠다.

## §1. 현재 견해의 결함

전자를 이루는 전기가 어떻게 평형을 유지하는지를 설명할 이론을 세우기 위해 많은 노력이 기울여졌다. 특히 G. 미에는 이 문제를 깊이 연구했다. 그의 이론은 이론물리학자들 사이에서 상당한 지지를 얻었는데, 맥스웰–로런츠 이론의 에너지 항 외에 전자기 퍼텐셜의 성분에 의존하는 보충항을 에너지텐서에 도입하는 데 주로 기초한다. 이 새 항들은 전자 바깥 공간에서는 중요하지 않지만 전자 내부에서는 전기적 반발력에 맞서 평형을 유지하게 한다.

미에, 힐베르트, 바일이 세운 이론의 형식적 구조는 아름답지만, 그 물리적 결과는 아직 만족스럽지 않다. 한편으로 가능한 선택지가 너무 많아 낙담하게 하고, 다른 한편으로 보충항을 해가 만족스러울 만큼 단순한 형태로 만들지 못했다.

지금까지 일반상대성이론도 이 문제의 상태를 바꾸지 못했다. 우선 우주론적 항을 무시하면 장방정식은

\[
G_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}G=-\kappa T_{\mu\nu} \tag{1}
\]

의 형태이다. 여기서 \(G_{\mu\nu}\)는 축약된 리만 곡률텐서, \(G\)는 거듭 축약해 얻는 곡률스칼라, \(T_{\mu\nu}\)는 ‘물질’의 에너지텐서이다.

\(T_{\mu\nu}\)가 계량 \(g_{\mu\nu}\)의 미분에 의존하지 않는다고 보는 것은 이 방정식의 역사적 발전과 부합한다. 이 양들은 원래 가변 계량이 등장하지 않는 특수상대성이론에서의 에너지 성분이기 때문이다. 식 (1) 왼쪽의 두 번째 항은 왼쪽의 발산이 항등적으로 0이 되도록 선택된다. 따라서 식 (1)의 발산을 취하면

\[
T^{\nu}{}_{\mu;\nu}=0, \tag{2}
\]

특수상대론의 극한에서는 완전한 보존방정식

\[
\partial_\nu T^{\nu}{}_{\mu}=0
\]

을 얻는다. 여기에 식 (1) 왼쪽 둘째 항의 물리적 근거가 있다.

그러나 이런 극한으로 옮아갈 수 있다는 것이 선험적으로 확정된 것은 결코 아니다. 중력장이 물질입자의 구조에서 본질적인 역할을 한다면, 입자에 대해 \(g_{\mu\nu}\)를 상수로 만드는 극한은 정당성을 잃는다. 계량이 상수라면 물질입자 자체가 존재할 수 없을 것이기 때문이다. 그러므로 중력이 입자를 이루는 장의 구조에 관여할 가능성을 고려하려면 식 (1)을 확정된 것으로 볼 수 없다.

식 (1)에 전자기장에 대한 맥스웰–로런츠 에너지텐서를 넣고 발산을 취하면, 전자기장 방정식과 결합하여 전하전류에 작용하는 로런츠 힘의 관계를 얻는다. 전자기 에너지텐서에는 특히

\[
T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=0 \tag{3}
\]

이라는 중요한 성질이 있다.

## §2. 장방정식의 수정

이제 식 (1) 대신 흔적이 제거된 형태

\[
G_{\mu\nu}-\frac14g_{\mu\nu}G=-\kappa T_{\mu\nu} \tag{1a}
\]

를 생각하자. 이 식에서 두 번째 항의 역할은 왼쪽의 스칼라, 곧 그 흔적을 항등적으로 0으로 만드는 데 있다. 오른쪽의 스칼라도 식 (3)에 따라 0이다. 반대로 원래 식 (1)에서 출발했다면 \(G=0\)이라는 조건을 얻었을 것이고, 그것은 전기장과 무관하게 계량에 대해 어디서나 성립해야 한다. 따라서 방정식계 [(1), (3)]은 [(1a), (3)]을 함의하지만 그 역은 성립하지 않는다.

처음에는 (1a)가 전자기장 방정식과 함께 전체 장을 충분히 정하는지 의심할 수 있다. 일반상대론적 이론에서 \(n\)개의 독립변수를 정하려면 서로 독립인 미분방정식은 \(n-4\)개면 된다. 좌표 선택의 자유 때문에 해에는 네 개의 임의적인 좌표함수가 필연적으로 남기 때문이다. 계량과 전자기장을 합친 16개의 독립량을 정하는 데에는 12개의 독립방정식이 필요하다. 실제로 식 (1a)의 9개와 전자기 방정식의 3개가 서로 독립이다.

식 (1a)의 발산을 취하고 \(G_{\mu\nu}-\tfrac12g_{\mu\nu}G\)의 발산이 0이라는 항등식을 이용하면, 곡률스칼라의 기울기와 전자기장이 전류에 가하는 힘 사이의 관계를 얻는다. 이를 간명히 쓰면

\[
\frac14\,\partial_\sigma G
=-\kappa F_{\sigma\alpha}J^\alpha. \tag{4a}
\]

우선 이 식에서 전하밀도가 0인 4차원 영역에서는 곡률스칼라 \(G\)가 일정함을 알 수 있다. 그런 공간 부분들이 모두 연결되어 있고 전하밀도는 서로 분리된 ‘세계관’ 안에서만 0이 아니라고 가정하면, 그 세계관 밖에서는 곡률스칼라가 일정한 값 \(G_0\)을 갖는다.

식 (4a)는 전하밀도가 0이 아닌 영역 안에서 \(G\)가 어떻게 움직이는지에 대해서도 중요한 결론을 준다. 전기를 보통처럼 움직이는 전하밀도로 보고

\[
J^\sigma=\rho\frac{dx^\sigma}{ds} \tag{7}
\]

라고 두자. 전자기장 텐서 \(F_{\sigma\alpha}\)가 반대칭이므로 식 (4a)에 \(J^\sigma\)를 내적으로 곱하면

\[
J^\sigma\partial_\sigma G=0. \tag{8}
\]

따라서 곡률스칼라는 전하의 운동을 나타내는 각 세계선을 따라 일정하다.

식 (4a)는 다음처럼 그림으로 이해할 수 있다. 곡률스칼라는 음의 압력과 같은 역할을 하며, 전기적 입자 바깥에서는 일정한 값 \(G_0\)을 갖는다. 각 입자 내부에는 음의 압력, 곧 양의 \(G-G_0\)가 존재하고, 그 압력의 감소가 전기역학적 힘과 평형을 이룬다. 입자 내부에서 압력의 최솟값, 다시 말해 곡률스칼라의 최댓값은 시간에 따라 변하지 않는다.

이제 식 (1a)를

\[
\left(G_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}G\right)
+\frac14g_{\mu\nu}G_0
=-\kappa\left[T_{\mu\nu}
+\frac{1}{4\kappa}g_{\mu\nu}(G-G_0)\right] \tag{9}
\]

의 형태로 쓴다.

한편 우주론적 항을 지닌 종래의 장방정식은

\[
G_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}G+\lambda g_{\mu\nu}
=-\kappa T_{\mu\nu}
\]

이다. 전기장과 중력장만 있는 영역에서는 오른쪽의 흔적이 0이므로 \(-G+4\lambda=0\), 즉 \(G\)가 일정하다. 따라서 \(\lambda\)를 \(G_0/4\)로 바꾸어

\[
G_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}G
+\frac14g_{\mu\nu}G_0
=-\kappa T_{\mu\nu} \tag{10}
\]

이라고 쓸 수 있다.

식 (9)와 (10)을 비교하면, 새 장방정식과 이전 방정식의 차이는 ‘중력질량’의 텐서에 곡률스칼라와 관련된 추가 성분이 들어간다는 데 있음을 알 수 있다. 새 형식의 큰 장점은 \(\lambda\)가 더 이상 기본법칙에 고유한 보편상수가 아니라 적분상수로 나타난다는 것이다.

## §3. 우주론적 문제에 관하여

마지막 결과는 새 형식에서는 별도의 가설 없이도 우주를 공간적으로 유한하다고 볼 수 있으리라는 추측을 가능하게 한다. 앞선 논문에서와 같이, 물질이 균일하게 분포하면 구형 우주가 방정식과 양립함을 다시 보이겠다.

먼저 정적인 계량을

\[
ds^2=-\gamma_{ik}dx^i dx^k+dx_4^2,
\qquad i,k=1,2,3 \tag{11}
\]

로 둔다. 3차원 공간의 2차 곡률텐서와 곡률스칼라를 각각 \(P_{ik}\), \(P\)라고 하면 4차원 곡률의 공간 성분은 이것들로 표현되고 시간과 섞인 성분은 0이 된다.

우선 식 (1a)를 사용해 보자. 여기서 \(T_{\mu\nu}\)는 물질을 이루는 전기적 입자에서 생기는 전자기장의 에너지텐서이다. 그 흔적은 어디서나 0이다. 각 성분은 위치에 따라 빠르게 변하지만, 지금 목적에는 그 평균값으로 바꾸어도 될 것이다. 등방성과 정지성을 적용하면 공간 대각성분들이 서로 같고 시간성분과 정해진 관계를 이루며, 비대각성분은 0이다. 그러면 식 (1a)는

\[
P_{ik}-\frac12\gamma_{ik}P
=-\frac14\kappa\gamma_{ik}\,\overline{T^4{}_4}, \tag{13}
\]

\[
\frac12P=-\frac34\kappa\,\overline{T^4{}_4} \tag{14}
\]

의 꼴이 된다. 식 (13)의 흔적은 식 (14)와 일치한다. 바로 이 때문에 기본방정식은 구형 우주라는 생각을 허용한다. 두 식에서

\[
P_{ik}+\frac13P\,\gamma_{ik}=0 \tag{15}
\]

이 나오며, 이 방정식계가 3차원 구형공간에 의해 만족된다는 것은 알려져 있다.

같은 고찰을 식 (9)에 기초하여 할 수도 있다. 식 (9) 오른쪽은 현상론적으로 물질의 에너지텐서로 대체해야 할 항들이다. 정지한 물질의 평균밀도를 \(\rho\)라 하면, 이는 시간–시간 성분만 \(\rho\)인 텐서로 평균화된다. 그 결과

\[
P_{ik}-\frac12\gamma_{ik}P-\frac14\gamma_{ik}G_0=0, \tag{16}
\]

\[
\frac12P+\frac14G_0=-\kappa\rho \tag{17}
\]

을 얻는다. 식 (16)의 흔적과 식 (17)을 함께 쓰면

\[
G_0=-\frac23P=2\kappa\rho, \tag{18}
\]

따라서

\[
P_{ik}-\kappa\rho\,\gamma_{ik}=0. \tag{19}
\]

이는 계수를 표현하는 방식만 제외하면 식 (15)와 일치한다. 두 표현을 비교하면 물질을 구성하는 에너지 가운데 4분의 3은 전자기장에, 4분의 1은 중력장에 귀속되어야 한다는 결론이 나온다. \((20)\)

## §4. 맺음말

이상의 고찰은 미에의 이론처럼 가설적인 보충항을 도입하지 않고 중력장과 전자기장만으로 물질을 이론적으로 구성할 가능성을 보여 준다. 이 가능성은 우주론적 문제를 풀기 위해 특별한 상수 \(\lambda\)를 도입할 필요를 없애 준다는 점에서 특히 유망해 보인다.

그러나 한 가지 특이한 어려움이 있다. 식 (1)을 구면대칭인 정적 경우로 특수화하면 계량과 전자기장을 결정하는 데 필요한 방정식이 하나 부족해진다. 그 결과 어떤 구면대칭 전하분포라도 평형을 유지할 수 있는 것처럼 보인다. 그러므로 주어진 장방정식만을 직접 이용해서는 아직 기본 양자의 구성 문제를 풀 수 없다.

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## 번역 및 해설 주석

- 이 논문은 오늘날 확립된 입자물리 이론이 아니라, 전자기장과 중력장만으로 물질입자의 안정성과 구조를 설명하려 한 초기 통일장 구상이다. 저자 자신도 마지막 문단에서 방정식이 입자구조를 유일하게 결정하지 못한다고 인정한다.
- 저본 pp. 192–198의 텐서식은 OCR에서 첨자와 일부 계수가 탈락했다. 명료한 장방정식과 논리 연결은 표준 표기로 복원했으나, 식 (13)–(20)의 계수나 첨자를 문자 단위로 인용할 때에는 원면 대조가 필요하다.
- ‘world-thread’는 입자의 시공간적 연장을 뜻하는 당대 표현이므로 ‘세계관(世界管)’으로 옮겼다. 현대의 세계선보다 두께를 가진 영역이라는 뉘앙스를 포함한다.