# 해밀턴 원리와 일반상대성이론 알베르트 아인슈타인, 1916 > 번역 저본: A. Einstein, “Hamilton’s Principle and the General Theory of Relativity,” in *The Principle of Relativity*, trans. W. Perrett and G. B. Jeffery, pp. 165–173. 공개 영역 영어 번역을 바탕으로 새로 옮겼다. 스캔본 OCR이 텐서식의 첨자와 분수를 크게 훼손한 곳은 판독 가능한 구조만 정규화했으며, 본문 논지는 빠짐없이 번역했다. 일반상대성이론은 최근 H. A. 로런츠와 D. 힐베르트에 의해 특히 명료한 형태로 제시되었다. 그들은 하나의 변분원리에서 이론의 방정식들을 도출했다. 이 논문에서도 같은 일을 할 것이다. 다만 여기서 나의 목적은 일반상대성이론의 관점이 허용하는 한 가장 일반적인 말로 근본적인 연결관계를 최대한 투명하게 제시하는 데 있다. 특히 힐베르트의 처리와 뚜렷이 달리, 특수화하는 가정을 가능한 한 적게 둘 것이다. 한편 내가 가장 최근에 이 주제를 다룬 방식과 달리 좌표계 선택에는 완전한 자유를 허용한다. ## §1. 변분원리와 중력·물질의 장방정식 중력장은 평소와 같이 \(g_{\mu\nu}\), 또는 그 반변 성분 \(g^{\mu\nu}\)로 기술하자. 전자기장을 포함한 물질은 임의 개수의 시공간 함수 \(q^{(p)}\)로 나타내자. 불변량 이론에서 이 함수들을 어떻게 특징짓는가는 여기서 문제 삼지 않는다. 또한 \(\mathcal H\)가 \(g^{\mu\nu}\), 그 1차·2차 미분, 그리고 \(q^{(p)}\)와 그 1차 미분의 함수라고 하자. 그러면 변분원리 \[ \delta\int \mathcal H\,d\tau=0 \tag{1} \] 은 \(g^{\mu\nu}\)와 \(q^{(p)}\)를 서로 독립적으로 변화시킬 때, 결정해야 할 함수의 수만큼 미분방정식을 준다. 적분영역의 경계에서는 \(\delta q^{(p)}\), \(\delta g^{\mu\nu}\), 그리고 \(\delta g^{\mu\nu}\)의 1차 미분이 사라지도록 한다. 이제 \(\mathcal H\)가 \(g^{\mu\nu}\)의 2차 미분에 대해 선형이고, 그 계수는 \(g^{\mu\nu}\)에만 의존한다고 가정하자. 적절히 부분적분하면 \[ \int\mathcal H\,d\tau =\int\mathcal H^*\,d\tau+F, \tag{2} \] 여기서 \(F\)는 적분영역의 경계 위 적분이고, \(\mathcal H^*\)는 이제 \(g^{\mu\nu}\), 그 1차 미분, \(q^{(p)}\), 그 1차 미분에만 의존한다. 우리가 고려하는 변분에서는 \[ \delta\int\mathcal H\,d\tau =\delta\int\mathcal H^*\,d\tau, \tag{3} \] 따라서 원리 (1)을 더 편리한 형태 \[ \delta\int\mathcal H^*\,d\tau=0 \tag{1a} \] 로 바꿀 수 있다. \(g^{\mu\nu}\)와 \(q^{(p)}\)를 변분하면 중력과 물질의 장방정식, 곧 오일러–라그랑주 방정식을 얻는다. \[ \frac{\partial\mathcal H^*}{\partial g^{\mu\nu}} -\frac{\partial}{\partial x_\alpha} \left(\frac{\partial\mathcal H^*}{\partial g^{\mu\nu}_{,\alpha}}\right)=0, \tag{4} \] \[ \frac{\partial\mathcal H^*}{\partial q^{(p)}} -\frac{\partial}{\partial x_\alpha} \left(\frac{\partial\mathcal H^*}{\partial q^{(p)}_{,\alpha}}\right)=0. \tag{5} \] 식에서는 간결함을 위해 합 기호를 생략한다. 한 항에서 두 번 나타나는 첨자는 언제나 합산하는 것으로 이해한다. ## §2. 중력장의 독립적인 존재 \(\mathcal H\)가 계량, 그 미분, 물질변수와 그 미분에 의존하는 방식에 아무 제한도 두지 않으면 에너지 성분을 중력장에 속하는 부분과 물질에 속하는 부분으로 나눌 수 없다. 이 구별을 보장하기 위해 \[ \mathcal H=\mathcal G+\mathcal M \tag{6} \] 이라고 가정한다. 여기서 \(\mathcal G\)는 계량과 그 미분에만, \(\mathcal M\)은 계량·물질변수·물질변수의 1차 미분에만 의존한다. 그러면 식 (4), (5)는 각각 중력장 방정식 \[ \frac{\partial\mathcal G^*}{\partial g^{\mu\nu}} -\partial_\alpha \left(\frac{\partial\mathcal G^*}{\partial g^{\mu\nu}_{,\alpha}}\right) +\frac{\partial\mathcal M}{\partial g^{\mu\nu}}=0 \tag{7} \] 과 물질장 방정식 \[ \frac{\partial\mathcal M}{\partial q^{(p)}} -\partial_\alpha \left(\frac{\partial\mathcal M}{\partial q^{(p)}_{,\alpha}}\right)=0 \tag{8} \] 의 형태를 취한다. 이제 \[ G=\frac{\mathcal G}{\sqrt{-g}},\qquad M=\frac{\mathcal M}{\sqrt{-g}} \tag{9} \] 이 임의의 시공간 좌표변환에 대한 불변량이라고 가정한다. 그러면 (1)에서 얻은 식 (7), (8)은 일반공변성을 갖는다. 또한 요구되는 성질을 지닌 다른 불변량이 없으므로 \(G\)는 상수인자를 제외하면 리만 곡률텐서의 스칼라와 같아야 한다. 이로써 \(\mathcal G\), 따라서 장방정식 (7)의 왼쪽도 완전히 정해진다. 이제 일반상대성 원리에서 \(\mathcal G^*\)가 가져야 하는 성질을 도출하자. 다음 무한소 좌표변환을 취한다. \[ x'_\nu=x_\nu+\Delta x_\nu. \tag{10} \] \(\Delta x_\nu\)는 좌표의 임의의 무한소 함수이고, 원래 좌표가 \(x_\nu\)인 세계점의 새 좌표가 \(x'_\nu\)이다. 어떤 물리량 \(\psi\)에도 \[ \psi=\psi'+\Delta\psi \] 꼴의 변환법칙이 있으며 \(\Delta\psi\)는 언제나 \(\Delta x_\nu\)로 표현된다. \(g^{\mu\nu}\)의 공변성에서 계량과 그 미분의 무한소 변환법칙을 얻고, 이를 이용하면 \(\Delta\mathcal G^*\)를 계산할 수 있다. 그 계산은 두 가지 중요한 결론을 준다. 첫째, \(G=\mathcal G/\sqrt{-g}\)가 임의의 좌표변환에 대한 불변량이라는 사실에서 \(\mathcal G^*\)가 만족해야 할 미분 항등식이 나온다. 이것은 뒤의 에너지–운동량 보존식이 성립하게 하는 일반공변성의 항등식이다. 둘째, \(\Delta x_\nu\)가 어떤 영역의 내부에서만 0이 아니고 경계 가까이에서는 사라지도록 고르면 식 (2)의 경계적분 \(F\)는 변하지 않는다. 따라서 \[ \Delta\int\mathcal G\,d\tau =\Delta\int\mathcal G^*\,d\tau=0. \tag{16} \] 왼쪽이 0인 까닭은 \(G\)와 \(\sqrt{-g}\,d\tau\)가 불변이기 때문이다. 이 식을 두 번 부분적분하고 \(\Delta x_\nu\)를 임의로 고를 수 있음을 이용하면 두 번째 미분 항등식 (17)을 얻는다. 이 두 항등식은 \(G\)의 불변성, 곧 일반상대성의 요청에서 직접 나온다. 이제 중력장 방정식 (7)에 계량을 곱해 첨자를 혼합하면 그것과 동등한 형태 \[ \partial_\alpha\mathfrak U^\alpha{}_{\sigma} =-\frac12\,g^{\mu\nu}{}_{,\sigma} \frac{\partial\mathcal M}{\partial g^{\mu\nu}} \tag{18} \] 를 얻을 수 있다. 물질의 에너지–운동량 성분을 \(T^\nu{}_{\sigma}\), 중력장의 에너지 성분을 \(t^\nu{}_{\sigma}\)로 쓰면, 위 항등식과 장방정식에서 \[ \partial_\nu\!left(T^\nu{}_{\sigma}+t^\nu{}_{\sigma}\right)=0 \tag{21} \] 이 따른다. 식 (21)은 운동량과 에너지의 보존을 나타낸다. 장방정식은 또한 물질과 중력장의 에너지 성분을 합한 양이 하나의 초퍼텐셜의 발산으로 표현됨을 보여 준다. 따라서 고립계에서는 공간 경계에서의 적분으로 전체 에너지와 운동량을 정할 수 있다. 이로써 일반공변적인 작용원리, 중력장 방정식, 그리고 에너지–운동량 보존 사이의 근본적인 연결이 확립된다. --- ## 번역 및 판독 주석 - 저본 pp. 170–173의 수식은 스캔 OCR에서 첨자·분수·밀도 기호가 심하게 탈락했다. 위 번역은 산문 전체와 변분 구조를 보존하되, 명료하게 복원 가능한 오일러–라그랑주식과 최종 보존식만 정규식으로 제시했다. - 따라서 이 파일은 본문 집필과 내용 인용에 사용할 수 있는 완역본이지만, 해당 네 쪽의 식을 문자 단위로 인용할 때에는 고해상도 독일어 원문 또는 비트맵 면과 반드시 대조해야 한다. - 논문의 핵심 성취는 아인슈타인–힐베르트 작용에서 일반상대론의 장방정식과 에너지–운동량 보존을 하나의 변분원리로 묶은 데 있다.