# 일반상대성이론에 따른 우주론적 고찰

알베르트 아인슈타인, 1917

## 번역 정보

- 원제: *Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie*
- 영어 저본: *Cosmological Considerations on the General Theory of Relativity*, Perrett·Jeffery 영역, *The Principle of Relativity* (1923), 175–188쪽
- 번역 성격: 공개도메인 영어 번역본을 바탕으로 한 새 한국어 중역
- 편집 원칙: 절 구성과 식 번호를 유지하고, OCR로 훼손된 기호는 문맥과 표준 판본의 수식 형태에 맞추어 정리했다.

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푸아송 방정식

$$
\nabla^2\phi=4\pi K\rho \tag{1}
$$

이 질점의 운동방정식과 결합되어도 아직 뉴턴의 원격작용 이론을 완전히 대신하지 못한다는 것은 잘 알려져 있다. 공간적 무한대에서 퍼텐셜 $\phi$가 일정한 극한값에 가까워져야 한다는 조건도 고려해야 하기 때문이다.

일반상대성이론의 중력이론에서도 사정은 이와 비슷하다. 우주가 공간적으로 무한히 펼쳐져 있다고 보려면, 여기서도 미분방정식에 공간적 무한대의 경계조건을 덧붙여야 한다. 행성 문제를 다룰 때 나는 적절한 기준계를 택하면 공간적 무한대에서 모든 중력 퍼텐셜 $g_{\mu\nu}$가 상수가 된다는 가정을 경계조건으로 삼았다. 그러나 물리적 우주의 훨씬 큰 부분을 고찰할 때도 같은 경계조건을 부과할 수 있는지는 선험적으로 전혀 명백하지 않다.

이 근본적으로 중요한 문제에 관해 내가 지금까지 생각한 바를 다음에 제시하고자 한다.

## §1. 뉴턴 이론

공간적 무한대에서 $\phi$가 일정한 극한값을 갖는다는 뉴턴의 경계조건은 물질의 밀도가 무한대에서 0이 된다는 견해로 이어진다. 우주 공간 어딘가를 중심으로 잡았을 때, 큰 규모에서 본 물질의 중력장이 구대칭이라고 생각해 보자. 그러면 푸아송 방정식에 따라, 중심에서 거리 $r$이 증가할 때 $\phi$가 극한값으로 가까워지려면 평균밀도 $\rho$가 $1/r^2$보다 더 빠르게 0으로 감소해야 한다.[^1]

따라서 이런 의미에서 뉴턴의 우주는 총질량이 무한히 클 수는 있어도 물질 분포의 밀도라는 면에서는 유한하다. 여기서 먼저, 천체가 방출한 복사의 일부는 뉴턴적 우주계를 떠나 방사상으로 무한히 진행하여 아무런 작용도 하지 못한 채 사라질 것이라는 결론이 나온다. 천체 전체도 이와 같은 운명을 겪을 수 있지 않을까?

이 물음에 부정적으로 답하기는 어렵다. 공간적 무한대에서 $\phi$가 유한한 값을 가진다고 가정하면, 유한한 운동에너지를 가진 천체도 뉴턴적 인력을 이겨 내고 무한대까지 도달할 수 있기 때문이다. 별 계 전체의 에너지가 우연히 한 별에 집중되어 그 별을 무한대로 보낼 만큼 커지는 경우는 통계역학에 따라 때때로 일어나야 하며, 그 별은 다시 돌아오지 못한다.

무한대에서 퍼텐셜의 극한값을 매우 크게 잡으면 이 이상한 어려움을 피할 수 있을 듯하다. 그러나 중력 퍼텐셜의 값은 천체 자체에 의해 결정되어야 한다. 실제 관측과 모순되지 않으려면 중력장의 큰 퍼텐셜 차이를 허용할 수 없다. 그 차이가 만들어 내는 별의 속도가 실제 관측되는 속도를 넘지 않을 만큼 작아야 하기 때문이다.

별 계를 열평형 상태의 기체와 비교하여 별에 볼츠만 분포법칙을 적용하면, 뉴턴적 별 계는 존립할 수 없다는 결론에 이른다. 중심과 공간적 무한대 사이의 퍼텐셜 차이가 유한하면 양쪽 밀도의 비도 유한하다. 따라서 무한대에서 밀도가 0이라면 중심의 밀도도 0이어야 한다.

뉴턴 이론의 토대 위에서는 이런 어려움을 극복하기가 거의 불가능해 보인다. 그렇다면 뉴턴 이론을 수정해 문제를 제거할 수 있는지 물을 수 있다. 먼저, 그 자체로 진지하게 받아들이려는 것이 아니라 뒤에 나올 논의를 대비시키기 위한 한 방법을 제시하겠다.

푸아송 방정식 대신 다음 식을 쓰자.

$$
\nabla^2\phi-\lambda\phi=4\pi K\rho. \tag{2}
$$

여기서 $\lambda$는 보편상수다. 질량이 균일한 밀도 $\rho_0$로 분포한다면

$$
\phi=-\frac{4\pi K\rho_0}{\lambda} \tag{3}
$$

는 식 (2)의 해다. $\rho_0$가 우주 물질의 실제 평균밀도와 같다면, 이 해는 물질로 균일하게 채워진 무한한 공간에 해당한다.

평균밀도는 그대로 둔 채 물질이 국소적으로 불균일하게 분포한다고 생각하면, 식 (3)의 일정한 퍼텐셜에 추가 퍼텐셜이 겹쳐진다. $\lambda\phi$가 $4\pi K\rho$에 비해 작을수록 밀집한 질량 가까이의 추가장은 뉴턴장과 더욱 비슷해진다.

이렇게 구성된 우주의 중력장에는 중심이 없다. 공간적 무한대에서 밀도가 감소한다고 가정할 필요도 없고, 평균 퍼텐셜과 평균밀도는 무한대까지 일정하게 남는다. 뉴턴 이론에서 마주친 통계역학과의 충돌도 되풀이되지 않는다. 극히 작지만 일정한 밀도에서는 평형을 유지하기 위한 물질 내부의 힘, 곧 압력이 없어도 물질이 평형에 있을 수 있다.

## §2. 일반상대성이론의 경계조건

이 절에서는 내가 직접 지나온 길로 독자를 안내하고자 한다. 그 길은 다소 거칠고 굽어 있지만, 그렇지 않으면 여행 끝에 얻은 결과가 별 흥미를 끌지 못할 것이다.

내가 도달할 결론은 이렇다. 지금까지 내가 주장해 온 중력장 방정식은 약간 수정되어야 한다. 그래야 §1에서 뉴턴 이론이 맞닥뜨린 근본적 어려움을 일반상대성이론의 토대에서 피할 수 있다. 이 수정은 §1에서 푸아송 방정식 (1)을 식 (2)로 바꾼 것과 정확히 대응한다.

마침내 우리는 공간적 무한대의 경계조건이 완전히 사라진다는 결론을 얻는다. 공간 차원에서 본 우주의 연속체를 유한한 공간적 3차원 부피를 가진 자기완결적 연속체로 보게 되기 때문이다.

얼마 전까지 나는 공간적 무한대의 경계조건을 다음과 같이 생각했다. 일관된 상대성이론에는 ‘공간’에 대한 관성이 있을 수 없고, 질량들이 서로에 대해 갖는 관성만 있을 수 있다. 따라서 어떤 질량이 우주의 다른 모든 질량에서 충분히 멀리 떨어져 있다면 그 관성은 0으로 줄어야 한다. 나는 이 조건을 수학적으로 표현하려 했다.

일반상대성이론에 따르면 운동량과 에너지는 계량 $g_{\mu\nu}$와 질점의 운동으로 표현된다. 특히 중력장을 모든 점에서 공간적으로 등방적으로 쓸 수 있는 명료한 경우에는 선요소를

$$
ds^2=-A(dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2)+Bdx_4^2 \tag{4}
$$

와 같이 둘 수 있다. 작은 속도에 대한 1차 근사에서 운동량 성분에는 $A$가 정지질량의 역할로 들어가고, 정적인 경우 에너지는 $m\sqrt B$에 비례한다.

질점에 고유한 $m$은 위치와 무관한 상수다. 따라서 공간적 무한대에서 관성이 사라지려면 $A$는 0으로 감소하고 $B$는 무한히 커져야 한다. 이 조건은 무한대에서 퍼텐셜에너지가 무한히 커짐을 뜻한다. 그러면 질점은 우주계를 떠날 수 없으며, 더 자세히 조사하면 빛도 마찬가지다. 이런 무한대 거동을 가진 우주계는 뉴턴 이론에서 제기된 소진의 위험을 피할 수 있다.

이 논의를 명료하게 하려고 중력 퍼텐셜에 단순화 가정을 사용했지만 문제의 본질은 더 일반적으로 표현할 수 있다. 나는 수학자 J. 그로머의 도움을 받아 위와 같은 방식으로 무한대에서 퇴화하는 구대칭 정적 중력장을 조사했다. 그러나 더시터가 최근 올바르게 강조했듯이, 별 계에는 그런 경계조건을 적용할 수 없다는 것이 드러났다.

적절한 좌표계를 택하면 별의 속도는 빛의 속도에 비해 매우 작다. 따라서 물질의 에너지텐서에서 공간 성분들은 시간 성분에 비해 매우 작아야 한다. 하지만 이 조건은 선택한 경계조건과 양립하지 않았다. 돌이켜 보면 놀라운 결과가 아니다. 별의 속도가 작다는 사실은 별이 있는 곳의 중력 퍼텐셜이 지구의 것보다 크게 클 수 없음을 뜻하며, 이는 뉴턴 이론에서와 같은 통계적 논증으로도 알 수 있다.

결국 우리의 계산은 공간적 무한대에서 $g_{\mu\nu}$가 퇴화해야 한다는 조건을 부과할 수 없음을 보여 주었다. 이 시도가 실패한 뒤 두 가능성이 남는다.

1. 행성 문제에서처럼 적절한 기준계를 택했을 때 공간적 무한대에서 $g_{\mu\nu}$가 민코프스키 값에 가까워지도록 요구한다.
2. 공간적 무한대에 일반적으로 적용되는 경계조건을 완전히 포기하고, 고찰하는 영역의 공간 경계에서 각 경우마다 $g_{\mu\nu}$를 따로 지정한다. 이는 시간에 대한 초기조건을 각 문제마다 주는 것과 같다.

두 번째 가능성은 문제의 해결을 약속하지 않고 사실상 문제를 포기하는 것이다. 더시터는 현재 이 논쟁의 여지 없는 입장을 취하고 있다. 그러나 이 근본 문제에서 그렇게 완전히 물러서는 것은 내게 어렵다. 만족스러운 견해에 도달하려는 모든 노력이 헛되다고 판명되기 전에는 그렇게 결심하고 싶지 않다.

첫 번째 가능성도 여러 면에서 만족스럽지 않다. 우선 특정한 기준계 선택을 전제하므로 상대성원리의 정신에 어긋난다. 또한 관성의 상대성이라는 요구를 충족하지 못한다. 질점의 관성은 $g_{\mu\nu}$에 의존하지만, 공간적 무한대에서 미리 정한 값과 거의 다르지 않다면 관성은 물질의 영향을 받기는 해도 물질에 의해 결정되지는 않는다. 우주에 단 하나의 질점만 있어도 실제 우주의 다른 질량에 둘러싸였을 때와 거의 같은 관성을 갖게 된다. 마지막으로 뉴턴 이론에서 제기한 통계적 반론도 그대로 남는다.

이로써 나는 공간적 무한대의 경계조건을 정식화하는 데 성공하지 못했다. 그러나 문제를 포기하지 않고도 아직 탈출구가 하나 있다. 우주를 공간 차원에서 유한하고 닫힌 연속체로 볼 수 있다면 그런 경계조건이 전혀 필요하지 않다.

이제 일반상대성 공준과 별의 작은 속도가 공간적으로 유한한 우주 가설과 양립함을 보이겠다. 다만 이를 실행하려면 중력장 방정식을 일반화하여 수정해야 한다.

## §3. 물질이 균일하게 분포한 공간적으로 유한한 우주

일반상대성이론에 따르면 4차원 시공간 연속체의 계량적 성질, 곧 곡률은 각 점의 물질과 그 상태에 의해 정해진다. 실제 물질 분포는 불균일하므로 이 연속체의 세부 계량구조는 극도로 복잡할 것이다. 그러나 큰 규모의 구조만을 다룬다면, 물질이 광대한 영역에 균일하게 분포해 평균밀도가 매우 천천히 변한다고 볼 수 있다. 이는 측지학자가 작은 규모에서 복잡한 지표면을 타원체로 근사하는 것과 비슷하다.

물질 분포에 관한 가장 중요한 경험적 사실은 별들의 상대속도가 빛의 속도에 비해 매우 작다는 것이다. 그러므로 현재로서는 물질이 영구히 정지해 있다고 볼 수 있는 기준계가 존재한다고 근사적으로 가정하겠다. 이 계에서 물질의 에너지텐서는 압력을 무시하면 밀도 $\rho$의 시간 성분만 갖는다.

우주가 공간적으로 유한하다고 가정하면 $\rho$가 위치에 무관하다는 가설이 자연스럽다. 정적 중력장에서 질점이 정지해 있을 수 있으려면 $g_{44}$가 위치에 무관해야 한다. 또한 모든 물리량이 시간좌표 $x_4$와 무관하다고 가정하므로

$$
g_{44}=1 \tag{7}
$$

로 둘 수 있다. 정적 문제에서와 같이

$$
g_{14}=g_{24}=g_{34}=0 \tag{8}
$$

으로 놓는다.

이제 순수한 공간 기하를 정하는 성분들을 구해야 한다. 장을 만드는 질량이 균일하게 분포한다고 가정했으므로 필요한 공간의 곡률은 일정해야 한다. 따라서 일정한 $x_4$에서 $x_1,x_2,x_3$이 이루는 유한 연속체는 곡률반지름 $R$을 가진 구면공간이다.

이를 정의하기 위해 4차원 유클리드 공간의 초구면

$$
\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2+\xi_4^2=R^2 \tag{10}
$$

을 생각할 수 있다. 이 초곡면의 점들이 3차원 구면공간을 이룬다. 처음 도입한 4차원 유클리드 공간은 초곡면을 편리하게 정의하기 위한 도구일 뿐이며, 물리적 관심의 대상은 균일한 물질 분포를 가진 이 3차원 연속체의 계량적 성질이다.

그 공간의 선요소는

$$
d\sigma^2=\gamma_{\mu\nu}dx_\mu dx_\nu \tag{11}
$$

와 같이 쓸 수 있고, 식 (7)·(8)과 결합하면 측정막대·시계·빛의 거동을 정하는 4차원 시공간의 선요소가 완전히 주어진다.

## §4. 중력장 방정식의 추가항

내가 지금까지 제안한 중력장 방정식은 임의의 좌표계에서 개략적으로

$$
G_{\mu\nu}=-\kappa\left(T_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu}T\right) \tag{13}
$$

와 같은 형태다. 식 (7)·(8)·(12)의 $g_{\mu\nu}$와 앞서 제시한 물질 에너지텐서를 대입하면 이 방정식은 만족되지 않는다. 만약 식 (13)이 일반상대성 공준과 양립하는 유일한 방정식이라면, 상대성이론이 공간적으로 유한한 우주 가설을 허용하지 않는다고 결론 내려야 할 것이다.

그러나 일반공변성을 해치지 않고 방정식을 자연스럽게 확장할 수 있다. 식 (13)의 왼쪽에 기본텐서 $g_{\mu\nu}$와 아직 알려지지 않은 보편상수 $\lambda$의 곱을 더할 수 있다. 그러면

$$
G_{\mu\nu}-\lambda g_{\mu\nu}
=-\kappa\left(T_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu}T\right) \tag{13a}
$$

를 얻는다.[^2]

$\lambda$가 충분히 작으면 이 방정식은 태양계에서 얻은 경험적 사실과도 양립한다. 또한 리만 스칼라에 보편상수를 더한 양을 해밀턴 원리에 넣어 얻을 수 있으므로 운동량과 에너지의 보존법칙도 만족한다. 다음 절에서 식 (13a)가 장과 물질에 관한 우리의 가정과 양립함을 보이겠다.

## §5. 계산과 결과

우리 연속체의 모든 점은 동등하므로 한 점, 예컨대 $x_1=x_2=x_3=0$에서만 계산하면 충분하다. 식 (7)·(8)과 구면공간의 계량을 식 (13a)에 대입하면 모든 방정식은 두 관계

$$
\frac{1}{R^2}=\lambda,
\qquad
\lambda=\frac12\kappa\rho \tag{14}
$$

가 만족될 때 성립한다.[^3]

따라서 새로 도입한 보편상수 $\lambda$는 평형을 유지할 수 있는 평균 물질밀도 $\rho$와 구면공간의 곡률반지름 $R$을 함께 결정한다. 구면공간의 부피는 $2\pi^2R^3$이므로 우주의 총질량은 유한하며

$$
M=\rho\,2\pi^2R^3 \tag{15}
$$

이다.

우리의 추론이 실제 우주와 대응한다면 이론적 모습은 다음과 같다. 공간의 곡률은 물질 분포에 따라 시간과 장소에서 달라지지만, 큰 규모에서는 구면공간으로 근사할 수 있다. 이 견해는 적어도 논리적으로 일관되며 일반상대성이론의 관점에서 가장 자연스럽다. 오늘날의 천문학 지식으로 보아 유지될 수 있는지는 여기서 논의하지 않겠다.

이 일관된 견해에 도달하기 위해 우리는 실제 중력에 관한 지식만으로 정당화되지 않는 장방정식의 확장을 도입해야 했다. 다만 추가항을 넣지 않더라도 우리의 결과는 공간의 양의 곡률을 준다는 점을 강조해야 한다. 이 항이 필요한 것은 별들의 작은 속도가 요구하는 준정적 물질 분포를 가능하게 하기 위해서다.

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[^1]: 여기서 $\rho$는 이웃한 항성 사이 거리보다 훨씬 크지만 전체 별 계의 크기보다는 작은 영역에 대해 계산한 평균 물질밀도다.
[^2]: 부호와 상수 정의는 판본에 따라 다르다. 현대에는 보통 $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=(8\pi G/c^4)T_{\mu\nu}$로 쓴다.
[^3]: 1923년 영어 스캔은 기호 인식이 불안정하다. 여기서는 논문의 정적 아인슈타인 우주 관계를 현대적으로 읽을 수 있는 형태로 정리했다.