# 중력장 방정식 지은이: A. 아인슈타인 *역주: 이 논문은 아인슈타인이 1915년 11월 25일 프로이센 과학아카데미에 제출한 "Die Feldgleichungen der Gravitation"(중력장 방정식)으로, 그해 11월에 발표한 네 편의 보고 가운데 마지막 것이며, 일반상대성이론의 최종적인 중력장방정식이 처음으로 완전한 형태로 제시되는 논문이다. 저본은 Wikisource의 영역본("The Field Equations of Gravitation")이며, 원문(1915년 발표)과 그 영역본 모두 1931년 이전 발표작으로서 미국에서 퍼블릭 도메인임이 자료 자체에 명시되어 있다. 이 짧은 논문에서 아인슈타인은 크리스토펠 기호 제2종을 나타내는 데 옛 브레이스(중괄호) 표기 $\{^{im}_{\ l}\}$를 사용하다가, (4)식에 이르러서야 이를 $\Gamma^l_{im} = -\{^{im}_{\ l}\}$로 놓아 새 기호 $\Gamma$를 도입한다. 이 번역에서는 앞선 「일반상대성이론의 기초」 번역과의 일관성을 위해, 그리고 학생들이 읽기 쉽도록 처음부터 $\Gamma^l_{im}$ 표기로 통일하였다(이 변환이 원문 (3)식의 결과와 정확히 일치함을 직접 확인하였다). "에너지텐서(Energy tensor)"·"운동량-에너지 법칙(Momentum-Energy theorem)"·"발산(divergence)" 등은 현재 한국 대학 물리학에서 표준적으로 쓰이는 용어를 따랐다. 수식 번호 (1)–(10)과 각주 [1], [2]는 원문의 것을 그대로 보존하였다.* --- 나는 최근 발표한 두 편의 보고서$^{[1]}$에서, 일반상대성 공준—즉 시공간 변수의 임의의 치환에 대해 그 일반형이 공변(共變)인 성질—에 부합하는 중력의 장방정식에 어떻게 도달할 수 있는지를 보인 바 있다. 그 전개 과정은 다음과 같았다. 나는 처음에 뉴턴의 이론을 근사로서 포함하고, 행렬식이 1인 임의의 치환에 대해 공변인 방정식들을 찾아냈다. 그 뒤 나는, 이 방정식들이 "물질"의 에너지텐서의 스칼라가 사라진다면 일반적으로 공변방정식에 대응한다는 것을 알아냈다. 좌표계는, $\sqrt{-g}$를 1로 만든다는 단순한 규칙에 따라 특수화해야 했으며, 이로써 이론의 방정식들은 두드러진 단순화를 겪었다. 그러나 이 과정에서는 물질의 에너지텐서의 스칼라가 사라진다는 가설을 도입해야만 했다. 그런데 나는 최근, 물질의 에너지텐서를 앞선 두 보고서에서와는 다소 다른 방식으로 장방정식 안에 채워 넣는다면, 물질의 에너지텐서에 관한 그 가설을 굳이 두지 않아도 된다는 것을 발견하였다. 내가 수성의 근일점 운동에 대한 설명의 근거로 삼았던, 진공에 대한 장방정식은 이번 수정으로도 그대로 유지된다. 나는 독자가 앞선 보고서들을 끊임없이 다시 찾아보지 않아도 되도록, 이 자리에서 전체 논의를 다시 제시하고자 한다. 잘 알려진 리만의 4계 공변텐서로부터, 다음과 같은 2계 공변텐서가 유도된다. $$G_{im} = R_{im} + S_{im} \tag{1}$$ $$R_{im} = \sum_l \frac{\partial \Gamma^l_{im}}{\partial x_l} + \sum_{l\rho} \Gamma^\rho_{il}\Gamma^l_{m\rho} \tag{1a}$$ $$S_{im} = -\sum_l \frac{\partial \Gamma^l_{il}}{\partial x_m} - \sum_{l\rho} \Gamma^\rho_{im}\Gamma^l_{\rho l} \tag{1b}$$ 우리는 $$G_{im} = 0 \tag{2}$$ 이라 둠으로써, "물질"이 존재하지 않는 공간에서의 중력장에 대한 10개의 일반공변방정식을 얻는다. 이 방정식들은, 기준계를 $\sqrt{-g}=1$이 되도록 선택하면 더 단순한 형태로 만들 수 있다. 그러면 (1b)식에 의해 $S_{im}$이 사라지므로, (2)식 대신 다음을 얻는다. $$R_{im} = \sum_l \frac{\partial \Gamma^l_{im}}{\partial x_l} + \sum_{\rho l} \Gamma^l_{i\rho}\Gamma^\rho_{ml} = 0 \tag{3}$$ $$\sqrt{-g} = 1 \tag{3a}$$ 여기서 우리는 $$\Gamma^l_{im} = -\left\{^{im}_{\ \ l}\right\} \tag{4}$$ 라 놓으며, 이 양들을 중력장의 "성분"이라 부르기로 한다. 고려하는 공간에 "물질"이 존재한다면, 그 에너지텐서가 (2)식 또는 (3)식의 우변에 나타난다. 우리는 다음과 같이 놓는다. $$G_{im} = -\varkappa\left(T_{im} - \frac{1}{2}g_{im}T\right) \tag{2a}$$ 여기서 $$\sum_{\rho\sigma} g^{\rho\sigma}T_{\rho\sigma} = \sum_\sigma T^\sigma_\sigma = T \tag{5}$$ 라 둔다. $T$는 "물질"의 에너지텐서의 스칼라이며, (2a)식의 우변은 텐서이다. 좌표계를 다시 통상적인 방식으로 특수화하면, (2a)식 대신 이와 동치인 다음의 방정식을 얻는다. $$R_{im} = \sum_l \frac{\partial \Gamma^l_{im}}{\partial x_l} + \sum_{\rho l} \Gamma^l_{i\rho}\Gamma^\rho_{ml} = -\varkappa\left(T_{im} - \frac{1}{2}g_{im}T\right) \tag{6}$$ $$\sqrt{-g} = 1 \tag{3a}$$ 언제나 그렇듯, 우리는 물질의 에너지텐서의 발산이 일반미분법의 의미에서 사라진다고 가정한다(운동량-에너지 법칙). (3a)식에 따라 좌표 선택을 특수화하면, 이로부터 $T_{im}$이 다음의 조건을 만족해야 함이 따라 나온다. $$\sum_\lambda \frac{\partial T^\lambda_\sigma}{\partial x_\lambda} = -\frac{1}{2}\sum_{\mu\nu} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}T_{\mu\nu} \tag{7}$$ 또는 $$\sum_\lambda \frac{\partial T^\lambda_\sigma}{\partial x_\lambda} = -\sum_{\mu\nu} \Gamma^\mu_{\sigma\nu}T^\nu_\mu \tag{7a}$$ (6)식에 $\dfrac{\partial g^{im}}{\partial x_\sigma}$를 곱하고 $i$와 $m$에 대해 합하면, (7)식을 고려하고 (3a)식으로부터 따라 나오는 관계 $$\frac{1}{2}\sum_{im} g_{im}\frac{\partial g^{im}}{\partial x_\sigma} = -\frac{\partial\, \lg\sqrt{-g}}{\partial x_\sigma} = 0$$ 를 고려하면,$^{[2]}$ 물질과 중력장을 합한 보존법칙을 다음의 형태로 얻는다. $$\sum_\lambda \frac{\partial}{\partial x_\lambda}\left(T^\lambda_\sigma + t^\lambda_\sigma\right) = 0 \tag{8}$$ 여기서 $t^\lambda_\sigma$(중력장의 "에너지텐서")는 다음과 같이 주어진다. $$\varkappa\, t^\lambda_\sigma = \frac{1}{2}\delta^\lambda_\sigma \sum_{\mu\nu\alpha\beta} g^{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\mu\beta}\Gamma^\beta_{\nu\alpha} - \sum g^{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\mu\sigma}\Gamma^\lambda_{\nu\alpha} \tag{8a}$$ 내가 (2a)식과 (6)식의 우변에 둘째 항을 도입하게 된 이유는, 앞서 언급한 자리(p. 785)에서 제시한 것과 완전히 유사한 다음의 고찰에서 분명해진다. (6)식에 $g^{im}$을 곱하고 지표 $i$와 $m$에 대해 합하면, 간단한 계산을 거쳐 다음을 얻는다. $$\sum_{\alpha\beta} \frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} - \varkappa(T+t) = 0 \tag{9}$$ 여기서 (5)식에 대응하여, 약칭으로 $$\sum_{\rho\sigma} g^{\rho\sigma}t_{\rho\sigma} = \sum_\sigma t^\sigma_\sigma = t \tag{8b}$$ 라 둔다. 이 추가항으로부터, (9)식에서는 중력장의 에너지텐서가 물질의 에너지텐서와 나란히 같은 방식으로 나타남을 알 수 있는데, 이는 전게 논문의 (21)식에서는 성립하지 않았던 사실이다. 더 나아가, 전게 논문의 (22)식 대신, 그곳에서 에너지방정식의 도움을 받아 제시한 것과 같은 방식으로, 다음의 관계를 유도할 수 있다. $$\frac{\partial}{\partial x_\mu}\left[\sum_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g^{\alpha\beta}}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} - \varkappa(T+t)\right] = 0 \tag{10}$$ 우리가 도입한 추가항으로부터, 이 방정식들이 (9)식에 대해 어떠한 새로운 조건도 담고 있지 않다는 것이 따라 나온다. 그러므로 물질의 에너지텐서에 관해서는, 그것이 운동량-에너지 법칙에 부합해야 한다는 조건 외에 다른 어떠한 전제도 둘 필요가 없다. 이로써 일반상대성이론은 하나의 논리적 구조물로서 마침내 완결되었다. 시공간 좌표를 물리적으로 무의미한 매개변수로 만드는, 그 일반형에서의 상대성 공준은, 엄정한 필연성을 가지고 수성의 근일점 운동을 설명하는 매우 특정한 중력이론으로 이어진다. 그러나 일반상대성 공준 자체는, 다른 자연 과정들의 본질에 관해서는, 특수상대성이론이 이미 가르쳐 주지 않은 어떠한 새로운 것도 제공하지 않는다. 이 문제에 관해 내가 최근 이 자리에서 표명했던 견해는 잘못된 것이었다. 특수상대성이론과 부합하는 모든 물리이론은, 절대미분법을 통해 일반상대성이론 안에 포함될 수 있다. 다만 후자가 그 이론의 타당성에 대한 어떤 기준을 제공해 주지는 않는다. --- ## 주(註) 1. Sitzungsber. XLIV, p. 778 및 XLVI, p. 799, 1915년. *(역주: 각각 1915년 11월 4일, 11월 11일에 발표된 앞선 두 편의 보고를 가리킨다.)* 2. 유도 과정에 관해서는 Sitzungsber. XLIV, 1915년, p. 784/785를 참조하라. 이어지는 내용에 대해서는, 독자가 p. 785에 제시된 유도 과정을 비교하며 참고하기를 청한다.