# 아인슈타인 논문 : 운동하는 물체의 전기역학에 대하여 --- # 운동하는 물체의 전기역학에 대하여 (On the Electrodynamics of Moving Bodies) **알베르트 아인슈타인 (Albert Einstein, 1905)** --- ## 서론 현재 시점에서 구상되는 맥스웰(Maxwell)의 전기역학을 운동하는 물체에 적용하려고 하면, 관측된 현상과 일치하지 않는 비대칭성(Asymmetry)이 나타난다는 것은 잘 알려져 있다. 자석과 도체 사이의 상호 작용을 생각해보자. 이 경우 관측되는 현상은 오직 도체와 자석의 상대 운동에만 의존하지만, 통상적인 개념에 따르면 둘 중 어느 쪽이 운동하고 있는지에 따라 구별이 지어져야 한다. 예를 들어, 자석이 움직이고 도체가 정지해 있는 경우, 자석의 주변에는 특정 에너지 값을 갖는 전기장이 생성되며, 이 전기장은 도체가 존재하는 영역에 전류를 유도한다. 그러나 자석이 정지해 있고 도체가 운동하는 경우에는 자석 주변에 전기장이 생성되지 않고, 도체 내부에 자체적인 에너지를 갖지 않는 기전력(Electromotive force)이 생성된다. 이 기전력은 전기력과 동일한 크기와 성격을 가진 전류를 발생시키는데, 물론 두 경우의 상대 운동이 동일하다고 가정할 때의 이야기이다. 2. "광매질(Light-medium, 에테르)"에 대해 지구의 운동을 입증하려는 시도가 실패한 것과 같은 유사한 사례들은, 역학뿐만 아니라 전기역학에서도 절대 정지라는 개념에 상응하는 관측 사실의 성질이 존재하지 않는다는 추정에 이르게 한다. 즉, 역학 방정식이 성립하는 모든 좌표계에 대해, 이미 1차 크기에 대해 보여진 바와 같이 동등한 전기역학 및 광학 방정식도 성립한다는 것이다. 이하에서 우리는 이러한 가정들을 (이후부터는 상대성 원리(Principle of Relativity)라고 부를 것이다) 채택하고, 첫눈에는 이와 전혀 양립할 수 없을 것처럼 보이는 추가적인 가정을 도입한다. 즉, "빛은 진공 속에서 방출 체의 운동 상태와 무관한 일정한 속력 $c$로 전파된다"는 것이다. 이 두 가지 가정은 정지한 물체에 대한 맥스웰 이론을 바탕으로, 운동하는 물체의 전기역학에 대한 단순하고 일관된 이론을 제공하기에 충분하다. "광에테르(Lightäther)"의 도입은 불필요한 것으로 판명될 것인데, 전개될 개념에 따르면 절대적으로 정지해 있고 특수한 성질을 부여받은 공간을 도입하지도 않을 것이며, 전자기 과정이 일어나는 점에 속도 벡터를 연관시키지도 않을 것이기 때문이다. 3. 전기역학의 다른 모든 이론과 마찬가지로, 이 이론도 강체(Rigid bodies)의 운동학에 기초하고 있다. 모든 이론의 진술에서 우리는 강체(좌표계), 시계, 그리고 전자기 과정 사이의 관계를 다루게 된다. 이러한 상황에 대한 불충분한 고려가 현재 운동하는 물체의 전기역학이 직면하고 있는 어려움들의 원인이다. --- ## I. 운동학적 부분 (KINEMATICAL PORTION) ### § 1. 동시성의 정의 (Definition of Synchronism) 뉴턴 방정식이 성립하는 좌표계를 하나 생각하자. 이후에 도입될 또 다른 시스템과 구별하기 위해, 우리는 이를 항상 "정지계(Stationary system)"라고 부를 것이다. 이 시스템에서 어떤 질점이 정지해 있다면, 그 위치는 측정 막대를 사용하여 유클리드 기하학의 방법이나 데카르트 좌표계로 표현할 수 있다. 질점의 운동을 서술하려면, 그 좌표들의 값이 시간에 대한 함수로 표현되어야 한다. 이러한 수학적 정의가 물리적 의미를 가지려면, '시간'이 무엇을 의미하는지 명확한 개념을 가지고 있어야 한다는 점을 항상 명심해야 한다. 우리는 시간과 관련이 있는 우리의 개념들이 항상 동시성(Synchronism)에 대한 개념이라는 사실을 고려해야 한다. 예를 들어, 우리는 기차가 7시에 도착한다고 말하는데, 이는 내 시계의 작은 바늘이 정확히 7을 가리키는 것과 기차의 도착이 동시적인 사건임을 의미한다. 시간의 정의와 관련된 모든 어려움이 시간 대신 내 시계 바늘의 위치를 대치함으로써 제거될 수 있는 것처럼 보일 수 있다. 그러한 정의는 시계가 놓여 있는 장소에 대해서만 배타적으로 시간을 정의해야 할 때는 실제로 충분하다. 그러나 서로 다른 장소에서 일어나는 사건들을 시간으로 연결해야 할 때, 혹은 시계로부터 떨어진 장소에서 일어나는 사건들의 발생을 시간을 통해 추정해야 할 때는 그러한 정의로 충분하지 않다. 이제 시간 추정이라는 이 시도에 관해, 우리는 다음과 같은 방식으로 이를 충족할 수 있다. 좌표 원점에 시계를 둔 관측자가, 공간을 통해 그에게 도달하며 시간이 추정되어야 할 사건을 증거하는 광선을, 시계 바늘의 해당 위치와 연관시킨다고 가정해 보자. 그러나 이러한 연관성은 결함이 있는데, 우리가 경험을 통해 알고 있듯이 시계를 구비한 관측자의 위치에 의존하기 때문이다. 우리는 다음의 처리를 통해 좀 더 실용적인 결과에 도달할 수 있다. A점에 시계를 둔 관측자가 있다면, 그는 그 사건과 동시적인 시계 바늘의 위치를 확인함으로써 A의 바로 근처에서 발생하는 사건의 시간을 추정할 수 있다. B점에 시계를 둔 관측자가 있다면 (여기서 시계는 A에 있는 것과 동일한 성질의 것이라고 덧붙인다), 그는 B 부근에서 발생하는 사건의 시간을 추정할 수 있다. 그러나 추가적인 전제 없이는, 시간과 관련하여 B에서의 사건과 A에서의 사건을 비교하는 것은 불가능하다. 지금까지 우리는 A-시간과 B-시간을 가지고 있지만, A와 B에 공통된 시간은 없다. 이 후자의 시간(즉, **공통 시간**)은, A에서 B로 이동하는 데 빛이 필요로 하는 시간이 B에서 A로 이동하는 데 빛이 필요로 하는 시간과 같다고 정의함으로써 정의될 수 있다. 예를 들어, 한 광선이 A-시간 $t_A$에 A를 출발하여 B를 향해 나아가고, B-시간 $t_B$에 B에 도착하여 반사되며, A-시간 $t'_A$에 A로 돌아온다. 정의에 따라, 다음 관계가 성립할 때 두 시계는 동시적이다. $$t_B - t_A = t'_A - t_B$$ 우리는 임의의 수의 점들에 대해 이 동시성의 정의가 모순 없이 가능하다고 가정하며, 따라서 다음 관계들이 성립한다. 1. B의 시계가 A의 시계와 동시적이라면, A의 시계는 B의 시계와 동시적이다. 2. A의 시계와 B의 시계가 모두 C의 시계와 동시적이라면, A와 B의 시계 서로 동시적이다. 이와 같이 일정한 물리적 경험의 도움으로 우리는 서로 다른 장소에 정지해 있고 서로 동시적인 시계들에 대해 우리가 무엇을 이해하는지 확립하였으며, 이를 통해 동시성과 시간에 대한 정의에 도달했다. 경험에 따라 우리는 다음 양이 보편 상수 $c$와 같다고 가정한다. $$\frac{2AB}{t'_A - t_A} = c$$ 우리는 정지계에 정지해 있는 시계를 가지고 본질적으로 시간을 정의했다. 정지계에 대한 적합성 때문에, 이 방식으로 정의된 시간을 "정지계의 시간"이라고 부른다. --- ### § 2. 길이와 시간의 상대성 (On the Relativity of Length and Time) 다음의 고찰들은 상대성 원리와 빛의 속력 불변 원리에 기초하며, 두 원리를 다음과 같이 정의한다. 1. 물리 시스템의 성질이 변화하는 법칙은 이러한 변화가 서로에 대해 등속 병진 운동을 하는 두 좌표계에 참조되는 방식과 무관하다. 2. 모든 광선은 "정지 좌표계"에서 동일한 속력 $c$로 이동하며, 이 속력은 이 광선이 정지한 물체에 의해 방출되었는지 아니면 운동하는 물체에 의해 방출되었는지 여부와 무관하다. 따라서 다음과 같다. $$\text{속력} = \frac{\text{빛의 경로}}{\text{시간 간격}}$$ 여기서 '시간 간격'이란 § 1에서 정의된 시간을 의미한다. 정지해 있는 강체 막대가 있다고 하자. 이것은 정지한 측정 막대로 측정했을 때 길이 $l$을 가진다. 이 막대의 축이 정지계의 X축을 따라 놓여 있다고 가정하고, 이제 X축과 평행한 등속도 $v$를 부여한다. 이제 운동하는 막대의 길이에 대해 문의해 보자. 이것은 다음 두 가지 조작 중 하나로 얻을 수 있다. (a) 측정 막대를 갖춘 관측자가 측정할 막대와 함께 이동하며, 직접 겹쳐서 막대의 길이를 측정한다. 마치 관측자, 측정 막대, 그리고 측정될 막대가 모두 정지해 있는 것처럼 말이다. (b) 관측자는 정지계에 놓인 시계들(§ 1에서 정의된 대로 동시적인 시계들)의 도움으로, 측정될 막대의 끝부분들이 특정한 시간 $t$에 이 시스템의 어느 지점에 위치하는지 알아낸다. 이전에 사용되었던 측정 막대(이번에는 정지 상태임)로 측정한 이 두 지점 사이의 거리가 하나의 길이이며, 이를 "막대의 길이"라고 부를 수 있다. 상대성 원리에 따르면, a) 조작으로 찾아낸 길이는 (우리가 "운동계에서의 막대의 길이"라고 부를 수 있는 것) 정지계에서의 막대의 길이 $l$과 같다. 두 번째 방법에 의해 찾아낸 길이는 "정지계에서 측정한 운동하는 막대의 길이"라고 부를 수 있다. 이 길이는 우리의 원리에 기초하여 추정되어야 하며, 우리는 그것이 $l$과 다르다는 것을 알게 될 것이다. 일반적으로 인정되는 운동학에서는, 이 두 가지 조작에 의해 정의된 길이들이 서로 같다고, 즉 시간 $t$라는 시점에서 운동하는 강체는 정지 상태에서 그것을 대체할 수 있는 동일한 체로 기하학적으로 대체 가능하다고 암묵적으로 가정한다. #### 시간의 상대성 (Relativity of Time) 정지계의 시계들과 동시적인 두 시계가 막대의 양 끝 A와 B에 각각 가져다 놓여 있다고 가정하자. 즉, 시계들의 시간은 도달한 지점에서 정지계의 시간과 일치하며, 따라서 이 시계들은 정지계에서 동시적이다. 우리는 또한 두 시계 곁에 각각 두 명의 관측자가 있어 함께 이동하고 있으며, 이 관측자들이 두 시계에 동시성 기준을 적용한다고 상상한다. 시간 $t_A$에 A에서 광선이 출발하여, $t_B$ 시간에 B에서 반사되고, $t'_A$ 시간에 다시 A로 돌아온다. 빛의 속력 불변 원리를 고려하면 다음과 같다. $$t_B - t_A = \frac{r_{AB}}{c - v}$$ $$t'_A - t_B = \frac{r_{AB}}{c + v}$$ 여기서 $r_{AB}$는 정지계에서 측정한 운동하는 막대의 길이이다. 따라서 시계들과 함께 있는 관측자들은 시계들이 동시적이라고 판단하지 않을 것인 반면, 정지계의 관측자는 시계들이 동시적이라고 선언해야 한다. 그러므로 우리는 동시성이라는 개념에 절대적인 의미를 부여할 수 없음을 알게 된다. 하나의 시스템에서 볼 때 동시적인 두 사건은, 이 시스템에 대해 상대적으로 운동하는 시스템에서 볼 때는 동시적이지 않게 된다. --- ### § 3. 정지계에서 등속도로 상대 운동하는 시스템으로의 좌표 및 시간 변환 이론 정지계에 두 개의 좌표계, 즉 한 점에서 출발하는 상호 수직인 세 직선의 두 계열이 주어진다고 하자. 각 좌표계의 X축은 서로 일치하고, Y축과 Z축은 서로 평행하다고 하자. 각 시스템에 강체 측정 막대와 다수의 시계가 주어져 있으며, 각 시스템의 막대와 시계는 서로 완전히 동일하다고 하자. 시스템 중 하나($k$)의 원점이 다른 시스템(정지계 $K$)의 X축 방향으로 일정한 속도를 가지며, 이 운동은 시스템($k$) 내의 막대와 시계들에도 전달된다고 하자. 정지계 $K$의 임의의 시간 $t$는 운동계 축들의 확정된 위치에 해당하며, 이 운동계 축들은 항상 정지계의 축들과 평행하다. $t$로써 우리는 항상 정지계의 시간을 의미한다. 우리는 정지계에 놓인 정지 측정 막대와 운동계에 놓인 운동 측정 막대에 의해 공간이 측정된다고 가정하며, 이를 통해 정지계의 좌표 $(x, y, z)$와 운동계의 좌표 $(\xi, \eta, \zeta)$를 얻는다. 정지계의 각 점(시계가 구비된 곳)의 시간 $t$는 § 1에서 서술한 광신호의 도움으로 정지계에 배치된 시계들을 통해 결정된다. 또한 운동계의 각 점(운동계에 대해 정지해 있는 시계들이 있는 곳)의 시간 $\tau$는 § 1에서 서술한 방식에 따라 이 점들 사이의 광신호 방법에 의해 결정된다. 정지계에서 사건의 위치와 시간을 완전히 결정하는 모든 $(x, y, z, t)$ 값에 대해, 일련의 값 $(\xi, \eta, \zeta, \tau)$가 대응한다. 이제 우리의 문제는 이 양들을 연결하는 방정식을 찾아내는 것이다. 우선 시간과 공간이 지니는 동질성(Homogeneity)의 성질 때문에 이 방정식들이 선형(Linear)이어야 함은 명백하다. 만약 $x' = x - vt$로 놓는다면, 시스템 $K$에 대해 상대적으로 정지해 있는 점에서는 시간에 무관한 일련의 값 $(x', y, z)$를 갖게 된다. 이제 $(x', y, z, t)$의 함수로서 $\tau$를 찾아보자. 이를 위해 우리는 $\tau$가 § 1에서 서술한 방식으로 동시화되어야 하는 시스템 $k$ 내에서 정지해 있는 시계들에 의해 주어지는 시간과 다름없다는 사실을 방정식으로 표현해야 한다. 시간 $\tau_0$에 시스템 $k$의 원점에서 $x'$를 향해 X축을 따라 광선을 발사하고, 시간 $\tau_1$에 그 장소에서 운동 좌표의 원점을 향해 반사되며, 시간 $\tau_2$에 그곳에 도착한다고 하자. 그러면 다음 식이 성립해야 한다. $$\frac{1}{2}(\tau_0 + \tau_2) = \tau_1$$ 이제 $\tau$가 좌표의 함수라는 조건을 도입하고 정지계에서의 빛의 속력 불변 원리를 적용하면 다음을 얻는다. $$\frac{1}{2} \left[ \tau(0, 0, 0, t) + \tau\left(0, 0, 0, t + \frac{x'}{c - v} + \frac{x'}{c + v}\right) \right] = \tau\left(x', 0, 0, t + \frac{x'}{c - v}\right)$$ 좌표 원점 대신 다른 점을 광선의 출발점으로 선택할 수도 있으므로, 위 방정식은 $(x', y, z, t)$의 모든 값에 대해 성립한다는 점에 유의해야 한다. Y축과 Z축에 유사한 개념을 적용할 때, 정지계에서 볼 때 빛이 항상 속력 $\sqrt{c^2 - v^2}$으로 그 축들을 따라 전파된다는 사실을 고려하면 다음 미분 관계를 얻는다. $$\frac{\partial \tau}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \tau}{\partial z} = 0$$ 이 방정식들로부터 $\tau$는 $x'$와 $t$의 선형 함수임을 알 수 있다. 방정식 (1)로부터 다음을 얻는다. $$\tau = a \left( t - \frac{v x'}{c^2 - v^2} \right)$$ 여기서 $a$는 $v$의 알 수 없는 함수이다. 이러한 결과들의 도움으로, 빛이 운동계에서 측정될 때 항상 일정한 속력 $c$로 전파된다는 사실을 방정식으로 표현한다면 (광속 불변 원리와 상대성 원리가 요구하는 바와 같이) 크기들 $(\xi, \eta, \zeta)$를 쉽게 얻을 수 있다. 시간 $\tau = 0$일 때, 광선이 $\xi$가 증가하는 방향으로 발사된다면 다음을 얻는다. $$\xi = c\tau \quad \text{즉,} \quad \xi = ac \left( t - \frac{v x'}{c^2 - v^2} \right)$$ 이제 광선은 정지계에서 측정할 때 $c - v$의 속력으로 $k$의 원점에 대해 상대적으로 이동한다. 따라서 다음이 성립한다. $$\frac{x'}{c - v} = t$$ $\xi$에 대한 방정식에 이 $t$ 값들을 대입하면 다음을 얻는다. $$\xi = a \frac{c^2}{c^2 - v^2} x'$$ 유사한 방식으로, Y축을 따라 이동하는 광선을 고찰함으로써 다음을 얻는다. $$\eta = c\tau = ac \left( t - \frac{v x'}{c^2 - v^2} \right), \quad \frac{y}{\sqrt{c^2 - v^2}} = t$$ 여기서 $x' = 0$이다. 따라서 다음이 성립한다. $$\eta = a \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} y, \quad \zeta = a \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} z$$ $x'$에 대입하여 $x - vt$를 얻으면, 다음을 얻는다. $$\tau = \phi(v) \beta \left( t - \frac{v x}{c^2} \right)$$ $$\xi = \phi(v) \beta (x - vt)$$ $$\eta = \phi(v) y$$ $$\zeta = \phi(v) z$$ 여기서 $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 이고, $\phi(v) = \frac{ac}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{a}{\beta}$는 $v$의 함수이다. 운동계의 초기 위치와 $t$의 영점(Null-point)에 대해 아무런 가정도 하지 않는다면, 우변에 가산 상수(Additive constant)가 추가되어야 한다. 이제 우리는, 만약 $c$가 정지계에서의 속력이라는 우리의 가정이 실제로 타당하다면, 모든 광선이 운동계에서 측정할 때 운동계 내에서도 속력 $c$로 이동한다는 것을 보여주어야 한다. 왜냐하면 우리는 아직 상대성 원리가 광속 불변 원리와 양립할 수 있다는 주장을 뒷받침할 증거를 제시하지 않았기 때문이다. 시간 $\tau = t = 0$일 때 두 좌표계의 공통 원점에서 구면파(Spherical wave)가 발사되어 시스템 $K$에서 속력 $c$로 퍼져나간다고 하자. 파동이 도달한 점이 $(x, y, z)$라면 다음이 성립한다. $$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2$$ 우리의 변환 방정식의 도움으로 이 방정식을 변환하면, 간단한 계산을 통해 다음을 얻는다. $$\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = c^2 \tau^2$$ 따라서 파동은 운동계에서 동일한 속력 $c$로, 그리고 구면파로서 전파된다. 그러므로 우리는 두 원리가 상호 양립 가능함을 증명하였다. 변환 과정에서 우리는 미지의 함수 $\phi(v)$를 얻었으며, 이제 이를 찾아내고자 한다. 이를 위해 $\xi$축과 평행한 운동을 하는 제3의 좌표계 $k'$를 도입하자. 원점의 속력은 $(-v)$로 하자. 시간 $t = 0$일 때 모든 초기 좌표점들은 일치하며, $t = x = y = z = 0$일 때 시스템 $k'$의 시간 $t' = 0$이다. $(x', y', z', t')$가 시스템 $k'$에서 측정한 좌표라고 할 때, 변환 방정식을 두 번 적용함으로써 다음을 얻는다. $$t' = \phi(-v)\beta(-v) \left\{ \tau + \frac{v}{c^2} \xi \right\} = \phi(v)\phi(-v)t$$ $$x' = \phi(v)\beta(v) (\xi + v\tau) = \phi(v)\phi(-v)x \quad \text{등등}$$ $(x', y', z', t')$와 $(x, y, z, t)$ 사이의 관계가 시간을 명시적으로 포함하지 않으므로, K와 $k'$는 서로에 대해 정지해 있다. 시스템 K와 $k'$가 동일하다고 볼 수 있으므로 다음이 성립한다. $$\phi(v)\phi(-v) = 1$$ 이제 $(\xi = 0, \eta = 0, \zeta = 0)$과 $(\xi = 0, \eta = 1, \zeta = 0)$ 사이의 Y축 부분을 주목해 보자. Y축의 이 조각이 시스템 $K$에 대해 속력 $v$로 운동하고 그 축에 수직인 막대로 덮여 있다고 하자. 막대의 양 끝은 다음과 같은 좌표를 갖는다. $$x_1 = vt, \quad y_1 = \frac{l}{\phi(v)}, \quad z_1 = 0$$ $$x_2 = vt, \quad y_2 = \frac{l}{\phi(v)}, \quad z_2 = 0$$ 따라서 시스템 $K$에서 측정한 막대의 길이는 $\frac{l}{\phi(v)}$이다. 속력 $(-v)$로 운동하는 시스템에 대해서도 대칭성에 근거하여 다음이 성립한다. $$\frac{l}{\phi(v)} = \frac{l}{\phi(-v)}$$ $$\therefore \phi(v) = \phi(-v), \quad \therefore \phi(v) = 1$$ --- ### § 4. 운동하는 강체와 운동하는 시계에 대해 얻어진 방정식의 물리적 의미 정지계(K)에 대해 정지해 있고 중심이 K의 원점에 일치하며 반지름이 $R$인 강체 구(즉, 정지계에서 검사했을 때 구형 모양을 가지는 것)를 고찰하자. K에 대해 속력 $v$로 운동하는 이 구의 표면 방정식은 다음과 같다. $$\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = R^2$$ 시간 $t = 0$일 때 이 방정식은 $(x, y, z, t)$를 사용하여 다음과 같이 표현된다. $$\frac{x^2}{\left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2} + y^2 + z^2 = R^2$$ 운동계에서 측정했을 때 구의 형상을 가지는 강체는, 따라서 정지계에서 고찰했을 때 운동 상태에서는 반축(Semi-axes)이 다음과 같은 회전 타원체(Rotational ellipsoid)의 형상을 가진다. $$R\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \quad R, \quad R$$ 따라서 구의 Y 및 Z 차원(따라서 임의의 형상의 차원도)은 운동에 의해 수정되는 것으로 보이지 않지만, X 차원은 $1 : \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$의 비율로 단축된다. 속력이 클수록 단축은 더 커진다. $v = c$일 때 모든 운동하는 물체는 정지계에서 고찰할 때 평면으로 수축한다. 빛의 속력보다 큰 속력에 대해서는 우리의 명제들은 무의미해지며, 우리의 이론에서 $c$는 무한한 속력의 역할을 수행한다. 등속 운동하는 시스템에서 고찰할 때 정지계 내의 정지한 물체에 대해서도 유사한 결과가 성립함은 명백하다. 이제 정지계에 정지해 놓인 시계가 시간 $t$를 가리키고, 운동계에 대해 정지해 놓인 시계가 시간 $\tau$를 가리킬 수 있다고 하자. 이것이 운동계 $k$의 원점에 놓여 있고 $\tau$를 가리키도록 배치되어 있다고 가정하자. 정지계 $K$에서 볼 때 이 시계는 얼마나 늦어지는가(또는 앞서는가)? 우리는 다음을 얻는다. $$\tau = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( t - \frac{v}{c^2} x \right) \quad \text{이고} \quad x = vt$$ $$\therefore \tau - t = \left[ 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right] t \approx -\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} t$$ 따라서 운동의 매 초당 운동 두 번째 근사치에서 시계는 $\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$만큼 늦어진다(손실이 발생한다). 여기서 다음과 같은 기묘한 결과가 뒤따른다. 정지계의 두 점 A와 B에 정지계에서 볼 때 § 3에서 설명한 의미로 동시적인 두 시계가 주어져 있다고 가정하자. A에 있는 시계를 B와 연결하는 선을 따라 운동하게 한다면, B에 도착한 후에 두 시계는 더 이상 동시적이지 않게 되며, A에서 운동을 시작한 시계는 줄곧 B에 있었던 시계보다 여행에 소요된 시간 $t$에 대해 다음 양만큼 뒤처지게 된다. $$\frac{1}{2} t \frac{v^2}{c^2}$$ 우리는 이 결과가 시계가 다각형 경로(Polygonal line)를 따라 A에서 B로 이동할 때나, A와 B가 일치할 때에도 성립함을 즉시 알 수 있다. 만약 다각형 경로에 대해 얻어진 결과가 곡선에 대해서도 성립한다고 가정하면, 다음과 같은 법칙을 얻는다. A에 두 개의 동시적인 시계가 있고, 그중 하나를 닫힌 곡선을 따라 일정한 속력으로 다시 A로 돌아올 때까지 운동하게 하여 여행이 $t$초 만에 완료된다면, 도착 후 후자의 시계는 정지해 있는 시계보다 다음 시간만큼 뒤처지게 된다. $$\frac{1}{2} t \frac{v^2}{c^2} \quad \text{초}$$ 이로부터 우리는 적도에 놓인 시계는 극점에 놓인 유사하게 제작된 시계보다 (다른 모든 조건이 동일할 때) 아주 미세한 양만큼 더 느려야 한다는 결론을 내린다. --- ### § 5. 속력의 덧셈 정리 (Addition-Theorem of Velocities) 시스템 K의 X축을 따라 속력 $v$로 운동하는 시스템 $k$ 안에서 한 점이 다음 방정식에 따라 운동한다고 하자. $$\xi = w_\xi \tau, \quad \eta = w_\eta \tau, \quad \zeta = 0$$ 여기서 $w_\xi$와 $w_\eta$는 상수이다. 시스템 K에 대한 이 점의 운동을 찾아내는 것이 요구된다. 이제 § 3의 방정식 시스템을 이 점의 운동 방정식에 도입하면 다음을 얻는다. $$x = \frac{w_\xi + v}{1 + \frac{v w_\xi}{c^2}}, \quad y = \frac{(1 - \frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}} w_\eta t}{1 + \frac{v w_\xi}{c^2}}, \quad z = 0$$ 속력의 평행사변형 법칙은 제1차 근사치까지만 성립한다. $U^2 = \left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2$, $w^2 = w_\xi^2 + w_\eta^2$ 이고 $\alpha = \tan^{-1}\frac{w_\eta}{w_\xi}$ (즉, $\alpha$는 속력 $v$와 $w$ 사이의 각도)로 놓으면 다음을 얻는다. $$U = \frac{\left[(v^2 + w^2 + 2v w \cos\alpha) - \left(\frac{v w \sin\alpha}{c}\right)^2\right]^{\frac{1}{2}}}{1 + \frac{v w \cos\alpha}{c^2}}$$ 여기서 $v$와 $w$가 속력 표현식에 대칭적으로 들어간다는 점에 주목해야 한다. 만약 $w$가 운동계의 $\xi$축 방향을 가진다면 다음과 같다. $$U = \frac{v + w}{1 + \frac{v w}{c^2}}$$ 이 방정식으로부터 우리는 각각이 $c$보다 작은 두 속력을 결합함으로써 항상 $c$보다 작은 속력을 얻게 된다는 것을 알 수 있다. 만약 $v = c - \chi$와 $w = c - \lambda$로 놓는다면 ($\chi$와 $\lambda$는 각각 $c$보다 작다), $$U = c \frac{2c - \chi - \lambda}{2c - \chi - \lambda + \frac{\chi\lambda}{c^2}} < c$$ 가 된다. 또한 $c$보다 작은 속력을 더함으로써 빛의 속력 $c$가 변경될 수 없음이 명백하다. 이 경우, $$U = \frac{c + v}{1 + \frac{c v}{c^2}} = c$$ 가 된다. 우리는 $v$와 $w$가 동일한 방향을 가질 때의 $U$에 대한 공식을 얻었다. 이는 또한 § 3에 따라 두 개의 변환을 결합함으로써 얻을 수도 있다. 시스템 K와 $k$ 외에도 원점이 $\xi$축과 평행하게 속력 $w$로 운동하는 시스템 $k'$를 도입한다면, $x, y, z, t$와 $k'$의 해당 크기들 사이에 방정식 시스템을 얻게 되는데, 이는 § 3의 방정식들과 비교할 때 $v$ 대신 다음을 대입해야 한다는 점에서만 차이가 난다. $$\frac{v + w}{1 + \frac{v w}{c^2}}$$ 우리는 이러한 평행 변환(Parallel transformation)이 군(Group)을 형성함을 알 수 있다. 우리는 우리에게 필요한 법칙들을 위해 두 가지 기본 원리에 상응하는 운동학을 유도했으며, 이제 전기역학에서의 응용으로 넘어가고자 한다. --- ## II. 전기역학적 부분 (ELECTRODYNAMICAL PART) ### § 6. 순수 진공에 대한 맥스웰 방정식의 변환. 자장에서 운동에 의해 유발되는 기전력의 성질에 대하여 순수 진공에 대한 맥스웰-헤르츠(Maxwell-Hertz) 방정식은 정지계 K에 대해 다음과 같이 성립할 수 있다. $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} [X, Y, Z] = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ L & M & N \end{vmatrix}$$ $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} [L, M, N] = - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \end{vmatrix}$$ 여기서 $[X, Y, Z]$는 전기력의 성분들이고, $[L, M, N]$은 자기력의 성분들이다. 이 방정식들에 § 3의 변환들을 적용하고, 전자기 과정을 속력 $v$로 운동하는 좌표계에 참조시키면 다음을 얻는다. $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ X', \beta \left( Y - \frac{v}{c} N \right), \beta \left( Z + \frac{v}{c} M \right) \right] = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial \xi} & \frac{\partial}{\partial \eta} & \frac{\partial}{\partial \zeta} \\ L', & \beta \left( M + \frac{v}{c} Z \right), & \beta \left( N - \frac{v}{c} Y \right) \end{vmatrix}$$ $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ L', \beta \left( M + \frac{v}{c} Z \right), \beta \left( N - \frac{v}{c} Y \right) \right] = - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial \xi} & \frac{\partial}{\partial \eta} & \frac{\partial}{\partial \zeta} \\ X', & \beta \left( Y - \frac{v}{c} N \right), & \beta \left( Z + \frac{v}{c} M \right) \end{vmatrix}$$ 여기서 $\beta = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$이다. 상대성 원리는 순수 진공에 대한 맥스웰-헤르츠 방정식이 시스템 K에 대해 성립할 때 시스템 $k$에 대해서도 성립할 것을 요구한다. 즉, 그들의 역학적(ponderomotive) 반작용에 의해 정의되는 운동계 $k$ 내의 전하 및 자하(磁荷)에 작용하는 전기력 및 자기력의 벡터들에 대해 동일한 방정식들이 성립한다. 즉, $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial \tau} [X', Y', Z'] = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial \xi} & \frac{\partial}{\partial \eta} & \frac{\partial}{\partial \zeta} \\ L', & M', & N' \end{vmatrix}$$ $$\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial \tau} [L', M', N'] = - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial \xi} & \frac{\partial}{\partial \eta} & \frac{\partial}{\partial \zeta} \\ X', & Y', & Z' \end{vmatrix}$$ 시스템 $k$를 위해 전개된 방정식 시스템 (2)와 (3)은 둘 다 동일한 것들을 표현해야 하는데, 이 두 시스템 모두 시스템 K에 대한 맥스웰-헤르츠 방정식과 동등하기 때문이다. 방정식 시스템 (2)와 (3)이 벡터를 나타내는 기호들까지 일치하므로, 대응하는 자리에 발생하는 함수들은 $v$에만 의존하고 $(\xi, \eta, \zeta, \tau)$과는 무관한 특정 인자 $\psi(v)$까지 일치할 것이다. 따라서 다음 관계들이 성립한다. $$[X', Y', Z'] = \psi(v) \left[ X, \beta \left( Y - \frac{v}{c} N \right), \beta \left( Z + \frac{v}{c} M \right) \right]$$ $$[L', M', N'] = \psi(v) \left[ L, \beta \left( M + \frac{v}{c} Z \right), \beta \left( N - \frac{v}{c} Y \right) \right]$$ 이후 § 3에서 이어진 것과 유사한 추론을 통해 $\psi(v) = 1$임이 증명될 수 있다. 이 방정식들을 해석하기 위해 다음과 같은 논평을 한다. 정지계 K에서 크기가 1인 전기 점전하가 있다고 하자. 즉, 이것은 1 cm 떨어진 곳에 놓인 유사한 양에 대해 단위 힘을 행사한다. 이 전기량이 정지계에서 정지해 있다면, 그것에 작용하는 힘은 전기력의 벡터 $(X, Y, Z)$와 동등하다. 그러나 이 전기량이 운동계에 대해 상대적으로 정지해 있다면 (적어도 고찰되는 순간에는), 그것에 작용하고 운동계에서 측정된 힘은 벡터 $(X', Y', Z')$와 동등하다. 방정식 (1), (2), (3)의 처음 세 개는 다음과 같은 방식으로 표현될 수 있다. 1. 단위 전하를 갖는 점전하가 전자기장에서 운동할 때, 전기력 외에도 기전력이 그것에 작용한다. 이것은 $v/c$의 제곱 및 그 이상의 거듭제곱을 포함하는 항들을 무시하면, 속도 벡터와 자기력을 빛의 속력으로 나눈 값의 벡터곱과 동등하다 (구식 표현 방식). 2. 단위 전하를 갖는 점전하가 전자기장에서 운동할 때, 그것에 작용하는 힘은 단위 전하의 위치에 존재하는 전기력과 동등하며, 이는 전기 단위 전하에 대해 상대적으로 정지해 있는 좌표계로 필드를 변환함으로써 얻어진다 (신식 표현 방식). 자기력에 대해서도 유사한 정리들이 성립한다. 전개된 이론에서 전자기력은 보조적 개념의 역할을 수행하는데, 그 도입은 전기력과 자기력이 좌표계의 운동 성질과 독립된 존재를 갖지 않는다는 사정에서 기인한다는 것을 알 수 있다. 또한 서론에서 언급된, 자석과 도체의 상대 운동에 의해 전류가 유도될 때 발생하는 비대칭성이 사라진다는 점이 명백해진다. 또한 전자기 에너지의 소재에 대한 의문도 아무런 의미가 없는 것으로 판명된다. --- ### § 7. 도플러 효과(Doppler's Principle)와 광행차(Aberration) 이론 시스템 K에서 좌표 원인으로부터 먼 거리에 전자기파의 원천이 있다고 하자. 이것은 원인을 포함하지 않는 공간의 한 부분에서 다음 방정식들에 의해 충분한 근사치로 표현된다. $$X = X_0 \sin\Phi, \quad L = L_0 \sin\Phi$$ $$Y = Y_0 \sin\Phi, \quad M = M_0 \sin\Phi, \quad \Phi = \omega \left( t - \frac{lx + my + nz}{c} \right)$$ $$Z = Z_0 \sin\Phi, \quad N = N_0 \sin\Phi$$ 여기서 $(X_0, Y_0, Z_0)$와 $(L_0, M_0, N_0)$는 파동 열(Train of waves)의 진폭을 결정하는 벡터들이고, $(l, m, n)$은 파면법선(Wave-normal)의 방향 코사인들이다. 운동하는 매질 $k$에서 정지해 있는 관측자에 의해 조사될 때 이 파동들의 구성은 어떠한가? § 6에서 전기력과 자기력에 대해 얻은 변환 방정식들과 § 3에서 좌표와 시간에 대해 얻은 변환 방정식들을 적용함으로써 즉시 다음을 얻는다. $$X' = X_0 \sin\Phi', \quad L' = L_0 \sin\Phi'$$ $$Y' = \beta \left( Y_0 - \frac{v}{c} N_0 \right) \sin\Phi', \quad M' = \beta \left( M_0 + \frac{v}{c} Z_0 \right) \sin\Phi', \quad \Phi' = \omega' \left( \tau - \frac{l'\xi + m'\eta + n'\zeta}{c} \right)$$ $$Z' = \beta \left( Z_0 + \frac{v}{c} M_0 \right) \sin\Phi', \quad N' = \beta \left( N_0 - \frac{v}{c} Y_0 \sin\Phi'\right)$$ 여기서 다음과 같다. $$\omega' = \omega \beta \left( 1 - \frac{lv}{c} \right), \quad l' = \frac{l - \frac{v}{c}}{1 - \frac{lv}{c}}, \quad m' = \frac{m}{\beta \left( 1 - \frac{lv}{c} \right)}, \quad n' = \frac{n}{\beta \left( 1 - \frac{lv}{c} \right)}$$ $\omega'$에 대한 방정식으로부터 다음이 성립한다. 진동수 $\nu$의 파동을 방출하는 무한히 먼 광원에 대해 관측자가 속력 $v$로 운동하며, 광원과 관측자를 연결하는 선이 광원에 대해 정지한 좌표계에 참조된 관측자의 운동 방향과 각도 $\Phi$를 이룬다고 하자. 그러면 관측자가 지각하는 진동수 $\nu'$는 다음 공식으로 표현된다. $$\nu' = \nu \frac{1 - \frac{v}{c} \cos\Phi}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 이것은 임의의 속력에 대한 **도플러 효과**이다. 만약 $\Phi = 0$이라면 이 방정식은 다음과 같은 단순한 형태를 취한다. $$\nu' = \nu \left( \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}} \right)^{\frac{1}{2}}$$ 통상적인 개념과는 달리, $v = -c$일 때 $\nu = \infty$가 됨을 볼 수 있다. 만약 $\Phi'$가 운동계에서의 파면법선(광선의 방향)과 관측자의 운동 방향 사이의 각도라면, $l'$에 대한 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다. $$\cos\Phi' = \frac{\cos\Phi - \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}$$ 이 방정식은 가장 일반적인 형태로 관측 법칙을 표현한다. 만약 $\Phi = \frac{\pi}{2}$라면, 방정식은 다음과 같은 단순한 형태를 취한다. $$\cos\Phi' = -\frac{v}{c}$$ 우리는 여전히 이 방정식들에 나타나는 파동의 진폭을 조사해야 한다. 정지계와 운동계에서의 진폭(전기적 또는 자기적)을 각각 $A$와 $A'$라고 할 때 다음이 성립한다. $${A'}^2 = A^2 \frac{\left(1 - \frac{v}{c}\cos\Phi\right)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$ 만약 $\Phi = 0$이라면 이는 다음과 같은 단순한 형태로 축소된다. $${A'}^2 = A^2 \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}$$ 이 방정식들로부터, 광원을 향해 속력 $c$로 운동하는 관측자에게는 광원이 무한히 강렬하게 나타나야 한다는 점이 드러난다. --- ### § 8. 광선 에너지의 변환. 완전 반사경에 대한 복사 압력(Radiation-pressure) 이론 $\frac{A^2}{8\pi}$는 단위 부피당 빛의 에너지와 같으므로, 운동계에서는 $\frac{{A'}^2}{8\pi}$를 빛의 에너지로 간주해야 한다. 따라서 $\frac{{A'}^2}{A^2}$는 "운동할 때 측정된" 것과 "정지할 때 측정된" 일정한 빛다발(Light-complex)의 에너지 사이의 비율을 나타낼 것이며, K와 k에서 측정된 빛다발의 부피는 같다. 그러나 실제로는 그렇지 않다. 만약 $l, m, n$이 정지계에서 빛의 파면법선의 방향 코사인들이라면, 빛의 속력으로 팽창하는 구면 표면의 표면 요소들을 통과해 지나가는 에너지는 없다. $$(x - clt)^2 + (y - cmt)^2 + (z - cnt)^2 = R^2$$ 따라서 우리는 이 표면이 항상 동일한 빛다발을 둘러싸고 있다고 말할 수 있다. 이제 시스템 k에서 볼 때 이 표면이 둘러싸고 있는 에너지의 양, 즉 시스템 k에 대한 빛다발의 에너지를 고찰하자. 운동계에서 바라볼 때 구면 표면은 시간 $\tau = 0$일 때 다음 방정식을 갖는 타원체 표면이 된다. $$(\beta\xi - l\beta\frac{v}{c}\xi)^2 + (\eta - m\beta\frac{v}{c}\xi)^2 + (\zeta - n\beta\frac{v}{c}\xi)^2 = R^2$$ $S$가 구의 부피이고 $S'$가 이 타원체의 부피라면, 간단한 계산을 통해 다음을 얻는다. $$\frac{S'}{S} = \frac{\beta}{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}$$ 정지계에서 측정한 빛 에너지의 양을 $E$, 운동계에서 측정한 양을 $E'$라고 할 때, 위에서 언급한 표면들에 의해 둘러싸인 이 양들에 대해 다음이 성립한다. $$\frac{E'}{E} = \frac{\frac{{A'}^2}{8\pi} S'}{\frac{A^2}{8\pi} S} = \frac{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$ 만약 $\Phi = 0$이라면 다음과 같은 단순한 공식을 얻는다. $$\frac{E'}{E} = \left( \frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}} \right)^{\frac{1}{2}}$$ 주의할 점은 빛다발의 에너지와 진동수는 관측자의 운동 상태에 따라 동일한 법칙에 따라 변화한다는 것이다. 좌표 평면 $\xi = 0$에 완전 반사성 거울이 있다고 하고, 마지막 문단에서 고찰된 평면파가 이 거울로부터 반사된다고 하자. 이제 반사 표면에 가해지는 복사 압력과 반사 후 빛의 방향, 진동수, 강도에 대해 문의해 보자. 입사광이 크기 $A, \Phi, \nu$ (시스템 K에 참조됨)에 의해 정의된다고 하자. $k$에서 고찰할 때 대응하는 크기들은 다음과 같다. $$\cos\Phi' = \frac{\cos\Phi - \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}$$ $$A' = A \frac{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ $$\nu' = \nu \frac{1 - \frac{v}{c}\cos\Phi}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ 이 과정을 시스템 $k$에 참조시킬 때 반사광에 대해 다음을 얻는다. $$A'' = A', \quad \cos\Phi'' = -\cos\Phi', \quad \nu'' = \nu'$$ 정지계로의 역변환을 통해 반사광에 대해 K를 얻는다. $$A''' = A'' \frac{1 + \frac{v}{c}\cos\Phi''}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = A \frac{1 - 2\frac{v}{c}\cos\Phi + \frac{v^2}{c^2}}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$ $$\cos\Phi''' = \frac{\cos\Phi'' + \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}\cos\Phi''} = -\frac{\left(1 + \frac{v^2}{c^2}\right)\cos\Phi - 2\frac{v}{c}}{1 - 2\frac{v}{c}\cos\Phi + \frac{v^2}{c^2}}$$ $$\nu''' = \nu'' \frac{1 + \frac{v}{c}\cos\Phi''}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \nu \frac{1 - 2\frac{v}{c}\cos\Phi + \frac{v^2}{c^2}}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$ 단위 시간당 거울의 단위 표면에 떨어지는 에너지의 양(정지계에서 측정됨)은 $\frac{A^2}{8\pi(c\cos\Phi - v)}$이다. 단위 시간당 거울의 단위 표면에서 멀어지는 에너지의 양은 $\frac{{A'''}^2}{8\pi(-c\cos\Phi''' + v)}$이다. 이 두 표현식의 차이는 에너지 원리에 따르면 단위 시간당 빛의 압력에 의해 가해진 일의 양이다. 이를 $P \cdot v$ ($P = $ 빛의 압력)와 같다고 놓으면 다음을 얻는다. $$P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \frac{(\cos\Phi - \frac{v}{c})^2}{1 - (\frac{v}{c})^2}$$ 제1차 근사치로서 다음을 얻는다. $$P = 2 \frac{A^2}{8\pi} \cos^2\Phi$$ 이는 사실들 및 다른 이론들과 일치한다. 운동하는 물체의 광학의 모든 문제는 여기서 사용된 방법으로 해결될 수 있다. 본질적인 점은 운동하는 물체에 의해 영향을 받는 빛의 전기력과 자기력이 물체에 대해 정지해 있는 좌표계로 변환되어야 한다는 것이다. 이런 식으로 운동하는 물체의 광학의 모든 문제는 정지한 물체의 광학 문제들의 시리즈로 환원될 것이다. --- ### § 9. 맥스웰-헤르츠 방정식의 변환 다음 방정식들로부터 출발하자. $$\frac{1}{c} \left( \rho u_x + \frac{\partial X}{\partial t} \right) = \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z}, \quad \frac{1}{c} \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial Y}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial y}$$ $$\frac{1}{c} \left( \rho u_y + \frac{\partial Y}{\partial t} \right) = \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x}, \quad \frac{1}{c} \frac{\partial M}{\partial t} = \frac{\partial Z}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial z}$$ $$\frac{1}{c} \left( \rho u_z + \frac{\partial Z}{\partial t} \right) = \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}, \quad \frac{1}{c} \frac{\partial N}{\partial t} = \frac{\partial X}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial x}$$ 여기서 $\rho = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z}$는 전하 밀도의 $4\pi$배를 나타내고, $(u_x, u_y, u_z)$는 전하의 속도 성분들이다. 전기적 질량들이 작고 강한 체들(이온, 전자)에 변하지 않게 결속되어 있다고 가정한다면, 이 방정식들은 로렌츠(Lorentz)의 운동하는 물체에 대한 전기역학 및 광학의 전자기적 기초를 형성한다. 시스템 K에서 성립하는 이 방정식들이 § 3과 § 6에 주어진 변환 방정식들의 도움으로 시스템 $k$로 변환된다면, 다음 방정식들을 얻는다. $$\frac{1}{c} \left( \rho' u_\xi + \frac{\partial X'}{\partial \tau} \right) = \frac{\partial N'}{\partial \eta} - \frac{\partial M'}{\partial \zeta}, \quad \frac{\partial L'}{\partial \tau} = \frac{\partial Y'}{\partial \zeta} - \frac{\partial Z'}{\partial \eta}$$ $$\frac{1}{c} \left( \rho' u_\eta + \frac{\partial Y'}{\partial \tau} \right) = \frac{\partial L'}{\partial \zeta} - \frac{\partial N'}{\partial \xi}, \quad \frac{\partial M'}{\partial \tau} = \frac{\partial Z'}{\partial \xi} - \frac{\partial X'}{\partial \zeta}$$ $$\frac{1}{c} \left( \rho' u_\zeta + \frac{\partial Z'}{\partial \tau} \right) = \frac{\partial M'}{\partial \xi} - \frac{\partial L'}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial N'}{\partial \tau} = \frac{\partial X'}{\partial \eta} - \frac{\partial Y'}{\partial \xi}$$ 여기서 다음과 같다. $$u_\xi = \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{c^2}}, \quad u_\eta = \frac{u_y}{\beta \left( 1 - \frac{v u_x}{c^2} \right)}, \quad u_\zeta = \frac{u_z}{\beta \left( 1 - \frac{v u_x}{c^2} \right)}$$ $$\rho' = \frac{\partial X'}{\partial \xi} + \frac{\partial Y'}{\partial \eta} + \frac{\partial Z'}{\partial \zeta} = \beta \left( 1 - \frac{v u_x}{c^2} \right) \rho$$ 벡터 $(u_\xi, u_\eta, u_\zeta)$는 § 4의 속력 덧셈 정리로부터 쉽게 알 수 있듯이 시스템 $k$에서 측정한 전하의 속도에 다름아니므로, 우리의 운동학적 원리를 기초로 삼음으로써 운동하는 물체의 전기역학에 대한 로렌츠 이론의 전자기적 기초가 상대성 공준(Relativity-postulate)과 일치함이 여기에 증명된다. 본 절에서 전개된 방정식들로부터 다음과 같은 중요한 법칙이 쉽게 도출된다는 점을 간략히 언급할 수 있다. 전기적으로 대전된 물체가 공간에서 임의의 방식으로 운동하고, 함께 운동하는 시스템에서 바라볼 때 그 전하가 변하지 않는다면, 전하틑 정지계 K에서 바라볼 때도 여전히 일정하게 유지된다. --- ### § 10. 전자의 동역학 (천천히 가속되는 경우) 전하 $e$를 가지며 전자기장에서 운동하는 점 형태의 입자(이하 **전자**라고 부름)를 가정하자. 우리는 그 운동 법칙에 관해 다음과 같이 가정한다. 전자가 임의의 확정된 시점에 정지해 있다면, 다음 "시간의 입자(Particle of time)"에서 운동은 다음 방정식들에 따라 일어난다. $$m \frac{d^2 x}{dt^2} = eX, \quad m \frac{d^2 y}{dt^2} = eY, \quad m \frac{d^2 z}{dt^2} = eZ$$ 여기서 $(x, y, z)$는 전자의 좌표들이고, $m$은 그 질량이다. 전자가 특정 시점에 속력 $v$를 소유한다고 하자. 이제 이 시점 직후의 '시간의 입자' 속에서 전자가 운동할 법칙들을 조사하자. 논의의 일반성을 침해하지 않고, 우리는 우리가 고찰하는 순간에 전자가 좌표 원점에 있고 시스템의 X축을 따라 속력 $v$로 운동한다고 가정할 수 있으며, 실제로 그렇게 할 것이다. 이 순간($t = 0$)에 전자는 X축과 평행하게 일정한 속력 $v$로 운동하는 시스템 $k$에 대해 상대적으로 정지해 있음이 명백하다. 위에서 가정한 사항들로부터 상대성 원리와 결합하여, 시스템 $k$에서 고찰할 때 전자는 다음과 같은 방정식들에 따라 운동한다는 것이 명백하다. $$m \frac{d^2 \xi}{d\tau^2} = eX', \quad m \frac{d^2 \eta}{d\tau^2} = eY', \quad m \frac{d^2 \zeta}{d\tau^2} = eZ'$$ 이는 그 순간 바로 다음 순간에 대해 적용되는 것이며, 기호들 $(\xi, \eta, \zeta, \tau, X', Y', Z')$은 시스템 $k$를 참조한다. 만약 $t = x = y = z = 0$에 대해 $\tau = \xi = \eta = \zeta = 0$이라고 확정한다면, § 3 (및 6)에서 주어진 변환 방정식들이 성립하며 다음을 얻는다. $$\tau = \beta \left( t - \frac{v}{c^2} x \right), \quad \xi = \beta(x - vt), \quad \eta = y, \quad \zeta = z$$ $$X' = X, \quad Y' = \beta \left( Y - \frac{v}{c} N \right), \quad Z' = \beta \left( Z + \frac{v}{c} M \right)$$ 이 방정식들의 도움으로 우리는 운동 방정식들을 시스템 $k$에서 시스템 K로 변환하여 다음을 얻는다. $$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{e}{m} \frac{1}{\beta^3} X, \quad \frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{e}{m} \frac{1}{\beta} \left( Y - \frac{v}{c} N \right), \quad \frac{d^2 z}{dt^2} = \frac{e}{m} \frac{1}{\beta} \left( Z + \frac{v}{c} M \right)$$ 이제 통상적인 처리 방법에 따라 운동하는 전자의 종질량(Longitudinal mass)과 횡질량(Transversal mass)을 고찰하자. 방정식 (A)를 다음과 같은 형태로 쓴다. $$m \beta^3 \frac{d^2 x}{dt^2} = eX = eX'$$ $$m \beta^2 \frac{d^2 y}{dt^2} = e\beta \left[ Y - \frac{v}{c} N \right] = eY'$$ $$m \beta^2 \frac{d^2 z}{dt^2} = e\beta \left[ Z + \frac{v}{c} M \right] = eZ'$$ 그리고 첫째로, $eX'$, $eY'$, $eZ'$는 전자에 작용하는 역학적(ponderomotive) 힘의 성분들이며, 이 순간 전자의 속력과 동일한 속력으로 운동하는 운동계에서 고찰된다는 점을 지적하자. 이 힘은 예를 들어 이 후자의 시스템에서 정지해 있는 용수철 저울을 사용하여 측정될 수 있다. 이 힘을 간략히 "전자에 작용하는 힘"이라고 부르고, $$(\text{질량의 수치}) \times (\text{가속도의 수치}) = (\text{힘의 수치})$$ 라는 방정식을 유지하며, 가속도가 정지계 K에서 측정된다고 추가로 확정한다면, 위 방정식들로부터 다음을 얻는다. $$\text{종질량} = \frac{m}{\left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^3}$$ $$\text{횡질량} = \frac{m}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$ 자연스럽게, 힘과 가속도에 대한 다른 정의들이 주어질 때 질량에 대해 다른 수들이 얻어진다. 따라서 우리는 전자의 운동에 대한 다양한 이론들을 비교할 때 매우 주의해서 진행해야 함을 알 수 있다. 우리는 질량에 대한 이 결과가 질량을 갖는 보통 물질(ponderable matter)에 대해서도 성립한다는 점을 지적한다. 우리의 의미에서 질량을 갖는 보통의 질점은 가능한 한 작을 수 있는 전기 전하의 부가에 의해 전자로 만들어질 수 있기 때문이다. 이제 전자의 운동 에너지(Kinetic energy)를 결정해보자. 전자가 시스템 K의 좌표 원인으로부터 초기 속력 0을 가지고 전기력 $X$의 작용 하에 X축을 따라 꾸준히 운동한다면, 정전기장에서 끌어낸 에너지는 $\int eX dx$의 값을 가진다. 전자가 천천히 가속되고, 그 결과 복사 형태로 에너지가 방출되지 않으므로, 정전기장에서 끌어낸 에너지는 운동 에너지 $W$와 같다고 놓을 수 있다. 문제의 전체 운동 과정을 고찰할 때 (A)의 첫 번째 방정식이 성립하므로 다음을 얻는다. $$W = \int eX dx = \int_0^v m \beta^3 v dv = mc^2 \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right]$$ $v = c$일 때 $W$는 무한히 크다. 우리의 이전 결과가 보여주듯, 빛의 속력을 초과하는 속력은 존재할 가능성을 가질 수 없다. 앞서 언급한 논거들의 결과로서, 운동 에너지에 대한 이 표현식은 무게가 있는 질량들에 대해서도 성립해야 한다. 이제 우리는 방정식 (A)로부터 도출되며 실험적 검증에 이용 가능한 전자 운동의 특성들을 열거할 수 있다. 1. (A)의 두 번째 방정식으로부터, 전기력 $Y$와 자기력 $N$은 $Y = \frac{N v}{c}$일 때 속력 $v$로 운동하는 전자에 대해 동일한 편향(Deflexions)을 생성한다는 것이 뒤따른다. 따라서 우리의 이론에 따르면 다음 법칙을 적용함으로써 자기 편향 $A_m$과 전기 편향 $A_e$의 비율로부터 전자의 속력을 얻는 것이 가능하다. $$\frac{A_m}{A_e} = \frac{v}{c}$$ 이 관계는 전자의 속력이 빠르게 진동하는 전기장과 자기장의 도움으로 직접 측정될 수 있기 때문에 실험을 통해 검증될 수 있다. 2. 전자의 운동 에너지에 대해 유도된 값으로부터, 전자가 전위차 $P$를 통과해 떨어질 때 획득되는 속력 $v$는 다음 관계에 의해 주어진다는 것이 뒤따른다. $$P = \int X dx = \frac{m}{e} c^2 \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right]$$ 3. 편향시키는 유일한 힘이 속도에 수직으로 작용하는 자기력 $N$인 경로의 곡률 반지름 $R$을 계산한다. (A)의 두 번째 방정식으로부터 다음을 얻는다. $$-\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{v^2}{R} = \frac{e}{m} \frac{v}{c} N \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \quad \text{즉,} \quad R = \frac{m v \beta c}{e N}$$ 이 세 가지 관계는 위 이론에 따른 전자의 운동 법칙에 대한 완전한 표현식이다.